等差数列前项和的公式

1、等差数列前项和的公式第一页，课件共51页复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq第二页，课件共51页 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大

2、奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现 问题1第三页，课件共51页 问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？） 这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯第四页，课件共51页探究

3、发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？ 第五页，课件共51页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。第六页，课件共51页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：第七页，课件共51页问题3:求:1+2+

4、3+4+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS第八页，课件共51页设等差数列a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导第九页，课件共51页由此得到等差数列的an前n项和的公式2)(1nn

5、aanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda知三求二第十页，课件共51页（2） 1+3+5+（2n-1）=（1） 1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn =SnSn第十一页，课件共51页 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当d0时,Sn是常数项为零

6、的二次函数21()22nddSnan则 Sn=An2+Bn令1,22ddABa第十二页，课件共51页【说明】推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；等差数列的前n项和公式类同于 ；an为等差数列 ，这是一个关于 的没有 的“ ” 倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）第十三页，课件共51页例1 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中 a1=1 , a120=

7、120.根据等差数列前n项和的公式，得260 72)1201 (120120S答：V形架上共放着 7 260支铅笔。第十四页，课件共51页例2：在等差数列an中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32 n=265.604226)325.14(26 S（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 105021010210)(10110aaS第十五页，课件共51页 由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.已知等差数列an中,已知

8、a6=20,求S11=?例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 18=144 答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式第十六页，课件共51页例4 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一个本题实质是反用公式，解一个关于关于n 的一元二次函数，注意的一元二次函数，注意得到的项数得到的项数n 必须是正整数必须是正整数.第十七页，课件共51页解：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列

9、的前n项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列前n项和公式：112()nn nsnad- -= =+ +26270,整整理理后后 得得nn- - -= =解得n1=9, n=3(舍去)因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.设该数列前n 项和为54得5442)1(10nnn第十八页，课件共51页例5 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.220 119020310451011dada6, 41da解： S10=310，S20=1 220nnnnnSn2362)1(4第十九页，课件共51页巩固练习1、已知 a6+a9+a12+a15=19

10、2,求 S202、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角为 100，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或 9 a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20 a1+a20=969609610220)(20120aaS由题意，得 :解得 n=8 或 n=9（舍） B180)2(210) 1(100nnnn第二十页，课件共51页3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四 项和是67，求这个数列的和。22467211naa解：39622236nS第二十一页，课件共51页4 求集合M=m|m=7n, n是正整数, 且m100的元素个数, 并

11、求这些元素的和.解:由7n100得 n1007,.7214n 由于满足它的正整数n共有14个, 集合M中的元素共有14个. 即7, 14, 21, , 91, 98.这是一个等差数列, 各项的和是2)987(1414S答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.=735第二十二页，课件共51页1()2nnn aaS公式11(1)(1)22nnn nn nSnadnad公式2等差数列的前n项和公式： 熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题 小 结第二十三页，课件共51页2.等差数列an前n项和的性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为在等差数列a

12、n中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇= ,SS 奇奇偶偶n2dnd1nnaa 第二十四页，课件共51页性质2:(2)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S奇S偶= ,SS 奇奇偶偶两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab 性质3: 为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 第二十五页，课件共51页例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=

13、36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27B3.等差数列an前n项和的性质的应用第二十六页，课件共51页210na偶奇1例 ：已知等差数列中，共有项,S =15,S =12.5,求a 与d。10111:10,12110921512.51021211,22SSSSSaaa偶奇偶奇解该等差数列的项数为项=nd即15-12.5=5d,解得d又即解得d第二十七页，课件共51页3290,261.na奇偶例 ：已知等差数列中，共有2n-1项,S =S =求项数与中间项。:21,290261,29290,10126112 10 119nSSaaaSnnnSnn 奇偶中中中奇偶解该

14、等差数列的项数为项即又即解得项数为第二十八页，课件共51页 ,1,na奇偶1课堂练习：已知等差数列中，共有2n+1项,S =51S =42.5，a求项数及通项公式。2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90A3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .5第二十九页，课件共51页例4.两等差数列an 、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn 求 和 . 55abnnab556463ab 146823nn

15、anbn 等差数列an前n项和的性质的应用第三十页，课件共51页例5.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .例6.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差数列an前n项和的性质的应用第三十一页，课件共51页练习：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使 Sn1时： 212)1(21) 1(21221nnnnnssannn 当n=1时： 231211211 sa也满足式.12.2n

16、naan数列的通项公式为32.2na 是以 为首项，公差由此可为 的等知：列差数列数第三十四页，课件共51页变 式 训 练21 1,2nannn已知数列的前n项和为S求这个数列的通项公式.当n 1时： 212 1) 1(21) 1(121221nnnnnssannn 当n=1时： 2511211211 sa不满足式.5(1)2 12(1)2nnnaann数列的通项公式为：点评：11,(1)(1)nnnnSanSSnn已知前 项和S可求出通项公式：分类讨论思想第三十五页，课件共51页例: 若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。1.na2nnn已知数列的前项和S

17、=2n -23n,（1）求其通项公式a ；（2）求S 的最值。巩固练习第三十六页，课件共51页nandnnasddnn2122211 观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:)2( ,2abnansn其中公差为 将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值: a10 a10, d0最大值 无 有最小值 有 无nsnnsna10,最小值 a10,d0,最大值第三十七页，课件共51页例6：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。等差数列的前n项的最值问题第三十八页，课件共51页等差数列的

18、前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当n=7时,Sn取最大值49.第三十九页，课件共51页等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn第四十页，课件共51页等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2当n=7时,Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由100nnaa 得152132nn 第四十一页，课件共51页a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得当n=7时,Sn取最大值49.a