试卷信号3第三章连续的正交分解

1、第三章第三章 连续信号的正交分解连续信号的正交分解 学习重点：学习重点：1、 周期函数傅里叶级数及频谱周期函数傅里叶级数及频谱2 、非周期信号的傅里叶变换（密度频谱）及性质、非周期信号的傅里叶变换（密度频谱）及性质8学时学时第三章第三章 连续信号的正交分解连续信号的正交分解作业：作业：1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周期信号任何周期信号都可用正弦函数级数表示都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出年狄里赫利第一个给出收敛条件收敛条件拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表1822年首次发表年首次发表“热的分析热的分析理论理论”中中3-1 引引 言言 傅里叶的两个最主要

2、的贡献傅里叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点212Ac1A2A 1 矢量的分量矢量的分量3.2 正交函数集与信号分解正交函数集与信号分解1122Ac AE122c A1A2AEE122c A1A2AE矢量正交：当矢量正交：当90度度二维正交集二维正交集AAxAyA=Ax +Ay2矢量分解矢量分解任务：若用一个正弦信号来表示方波信号任务：若用一个正

3、弦信号来表示方波信号目标：希望误差最小目标：希望误差最小经常选用方均误差：经常选用方均误差：412t0-14f1(t)f2(t)f1(t)在在f2(t)分量分量c12f2(t) TTdttfdttftfc02202112)()()(上式求导等于零上式求导等于零,得到得到3 正交信号正交信号:当当c120, f1(t)和和f2(t)正交正交f1(t)在在f2(t)的分量系数的分量系数dttfctfTT221201)()(1解：解：tdttdttfc2022012sinsin)(20)sin(sin1dtttdt4ttfsin4)(例例1：)2(1)0(1)(tttf412t0-14例例2：试用正

4、弦：试用正弦sint 在（在（0，2 ）区间内来表示余弦）区间内来表示余弦cost200sincostdtt所以所以 说明说明cost 中不包含中不包含 sint 分量，因此分量，因此cost 和和 sint 正交正交显然显然4 正交函数集正交函数集 2121)()(0)()(2ttiittjiKdttgjidttgtg)()()()(2211tgctgctgctfnn 则信号则信号f(t)在区间在区间(t1,t2)可分解为可分解为:在在 212121)()(1)()()(2ttiittitiidttgtfKdttgdttgtfct由最小均方误差准则，要求系数由最小均方误差准则，要求系数 ci

5、 满足满足正交正交是正交函数集是正交函数集12T 10102()sinsin()0TtTtmnn tm tdtmn10102()coscos()0TtTtmnn tm tdtmn 1、cos( t) 、cos(2 t) 、cos(n t) 、 、sin( t) 、sin(2 t) 、 、sin(n t) 、010cos.sin.0tTtn tm t dt5、复变函数的正交特性、复变函数的正交特性)()(2121tfctf2121)()()()(*22*2112ttttdttftfdttftfc0)()()()(21212*1*21ttttdttftfdttftf两复变函数正交的条件是两复变函数

6、正交的条件是jntne 2121( )( )0()( )( )tijttiiitg t g t dtijg t g t dtK附：矢量与函数的运算与分解比较：21AA )()(21tftf2Ac)(1tfccos2121AAAAdttftftt21)()(*21021AA0)()(21*21dttftftt1A1)()(21*dttftftt21AA )()()(21tftft221)(1)(2122ttdttttt1111AAAAc2121)()()()(*11*11ttttdttftfdttftfc矢量函数加法标乘乘法正交归一误差误差代价函数系数3.3 信号表示为傅里叶级数信号表示为傅里叶

7、级数1、周期信号傅里叶级数的三角形式和指数形式、周期信号傅里叶级数的三角形式和指数形式2、根据函数的奇偶性质判断傅里叶级数所含的分量、根据函数的奇偶性质判断傅里叶级数所含的分量01( )(cossin)nnnf taantbnt12T 一一 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 2/2/111.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/111 2/2/1011).(1TTdttfTa直流分量：一个周期内的平均直流分量：一个周期内的平均01( )(cossin)nnnf taantbnt12T 01( )(cossin)2nnnaf tantbnt直流

8、分量基波分量n=1谐波分量n101( )(cossin)2nnnaf tantbnt010012( ).tTtaf t dtT直流分量的两倍直流分量的两倍正弦分量系数正弦分量系数余弦分量系数余弦分量系数 2/2/111.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/111 22arctannnnnnnAabba 三角形式的另一种写法三角形式的另一种写法01( )cos2nnnAf tAn t 它可以看成是下列正交信号集：它可以看成是下列正交信号集： ,.2 , 1 , 0)cos(ntn的的平移后平移后的线性组合。的线性组合。 01( )(c o ss in

9、)2nnnaftantbnt 2/2/111.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/111 二二 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式是是完完备备正正交交集集 ,2,1,0ntjne1、ntnjnectf)(111111*( )1( )tTjn ttTtjn tntTtjn tjn ttf tedtcf t edtTeedt11*tTjn tjn tteedtT11*0,tTjm tjn tteedtmn111( )tTjn tntcf t edtT2、三角函数形式的傅里叶级数、三角函数形式的傅里叶级数指数形式指数形式1)()(010102222

10、2cos2)(ntnjntnjnntnjtnjnnnnnnnneAeAaeeAatnAatfnnnnAA,110222)(ntnjnntnjnnneAeAatf1cos()2jjee000, 0aA ntnjnntnjjnntnjneAeeAeAtfnn212121)(110222)(ntnjnntnjnnneAeAatf21212121)(2)sin()cos()(2)sin()(2)cos()(2tttjnttttttnnndtetfTdttnjtntfTdttntfTjdttntfTjbaA()(0)nnnAajbn()nnnAajb0)0(aA 引入了负频率引入了负频率1( )2jnt

11、nnf tA e112122( )TjntnTAf t edtT12T 110222)(ntnjnntnjnnneAeAatf11cos()22jntjntnnnnA eAeAnt 01( )cos2nnnAf tAnt 01( )(c o ss in)2nnnaftantbnt 2/2/111.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/111 1()2j ntnnftAe 112122()Tj ntnTAfted tT22arctannnnnnnAabba nnnAajb这儿应该是这儿应该是-吧吧01( )cos2nnnAf tAnt 01( )(c

12、o ss in)2nnnaftantbnt直流分量直流分量(direct component) 20a基波分量基波分量(fundamental component) tnbtnasincos11)cos(11tAn n次谐波分量次谐波分量(harmonic component) n n次谐波频率次谐波频率(harmonic component)：n )cos(sincosnnnntnAtnbtnax xy yT T 2 A A例例1:一周期矩形脉冲信号一周期矩形脉冲信号,高度为高度为A,周期周期T,求其此信号的傅里叶级数求其此信号的傅里叶级数解解:/20/222( )TTAaf t dtTT/

13、2/22( )cosTnTaf tntdtT 2/2/cos2 tdtnAT2/)2/sin(2 nnTA/2/22( )sinTnTbf tntdtT=0sin( )xSa xx12sin(/2)2( )cos,/2nAAnf tn tTTnT x xy yT T 2 A A12sin(/2)2( )cos,/2nAAnf tn tTTnT 22nAnASaT01( )cos2nnnAf tAnt 1( )2jntnnf tA enjnnAA e212( )tjn tntAf t edtTsin(/2)( )/2jn tnAnf teTn22nAnASaTx xy yT T 2 A A1 收

14、敛性收敛性:n增加增加,an,bn总体趋势减小的。总体趋势减小的。2 Gibbs现象：现象：n增加，间断点的误差为增加，间断点的误差为9% -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8112sin(/2)2( )cos,/2nAAnf tn tTTnT sin(/2)( )/2jn tnAnf teTn三三 函数奇偶与谐波分量的关系函数奇偶与谐波分量的关系x xy yT T 2 A A1 偶函数偶函数 只有直流和只有直流和 an项，项，bn=0TtnnnTAtfn 2),cos2/)2/sin(21()(

15、1 /2/22( )sinTnTbf tntdtT=02 奇函数奇函数 只有只有bn,直流和直流和an为零为零E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0.)3sin312sin21(sin)(111tttEtf/2/22( )cosTnTaf tntdtT=0f(t)t0T1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 3 奇谐函数奇谐函数 ：01212 kkbaT1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 实质：实质：T=T1/2,=2 1一般信号，一般信号，f(t)=f0(t)+fe(t)fe(t)= 0.5f(t)+f(-t)f0(t)=0.5f(t)-f(-t)函数奇偶与谐波分量的关系函

16、数奇偶与谐波分量的关系1 、偶函数、偶函数 只有直流和只有直流和 an项，项，bn=02 、奇函数、奇函数 只有只有bn,直流和直流和an为零为零3 、奇谐函数、奇谐函数 ：)2()(1Ttftf )2()(1Ttftf T/40tf(t)（1）f(t)是是t的偶函数，其傅里叶级数只有的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波偶次谐波；（2）f(t)是是t的偶函数，其傅里叶级数只有的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波奇次谐波；（3）f(t)是是t的偶函数，其傅里叶级数的偶函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波同时有奇次谐波与偶次谐波；0T/4tf(t)-T/43T/4T/40tf(t)-T/43T/

17、40T/4tf(t)-T/43T/4P158 3.8题题（4）f(t)是是t的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；（5）f(t)是是t的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；（6）f(t)是是t的奇函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波；的奇函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波；T/40tf(t)-T/43T/4T/40tf(t)-T/43T/4T/40tf(t)-T/43T/4T/40tf(t)P158 3.8题题A 直流、正弦及余弦项直流、正弦及余弦项 B 只有直流、正弦项只有直流、正弦项 C 只有直流、只有直流、

18、 余弦项余弦项 D 只有直流、奇次余弦项只有直流、奇次余弦项E 只有直流、奇次正弦项只有直流、奇次正弦项 -31-11t2351、如图所示的信号中，含有谐波分量为、如图所示的信号中，含有谐波分量为-31-11t35思考：思考： 2、假如信号、假如信号f(t)是周期为的周期性信号，则对于是周期为的周期性信号，则对于f(t)+f(t+2.5T)的傅里叶级数包含什么分量？的傅里叶级数包含什么分量？只有正弦分量只有余弦分量只有正弦分量只有余弦分量只有奇次谐波只有偶次谐波只有奇次谐波只有偶次谐波 1 、熟练掌握、熟练掌握周期函数的频谱周期函数的频谱绘制和物理意义绘制和物理意义2 、熟练掌握、熟练掌握周期

19、函数的频谱特点周期函数的频谱特点3 、有效频宽有效频宽概念，掌握周期脉冲信号的频宽概念，掌握周期脉冲信号的频宽4 、理解时域波形变化引起的频谱变化、理解时域波形变化引起的频谱变化3.4 周期信号的频谱周期信号的频谱例例 方波构成的周期信号方波构成的周期信号 TT/20-11tf(t)f(t)=10tT/2-1T/2t频域连续频域连续时域周期时域周期频域离散频域离散2：包络一致性：包络一致性()2 /nnAFjT 2()nnAFjT3：收敛性：收敛性脉宽与频宽反比脉宽与频宽反比以信号最大幅度的以信号最大幅度的1/10为限，其它部分忽略不计为限，其它部分忽略不计以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，

20、零点以外部分忽略不计以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计 以包含信号总能量的以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计处为限，其余部分忽略不计 242AT.4：共轭对称性（只画半边谱）：共轭对称性（只画半边谱）)()(*jwFjwF 5、若、若f(t)实偶，则实偶，则F(jw)为为w的实偶函数；的实偶函数； F(jw) =R(w)若若f(t)实奇，则实奇，则F(jw)为为w的虚奇函数；的虚奇函数； F(jw) =-jX(w) 相位频谱相位频谱幅度频谱幅度频谱:)(:)( jjF=R(w)-jX(w)=|F(jw)|ej (w)()( )( ) cos( ) sinjt

21、Fjft edtfttdtjfttdtf(t)实实x xy y 2 Aw024|F(jw)|幅谱幅谱w024F(jw)频谱频谱w0 (w)相相谱谱w0 (w)w0 (w)相相谱谱2224442/2/ tjejA解解1：解解2：dtetfjFtj )()()2A Sa()()2F jA Sa()lim()22nTTF jAA Sa)()(0)()1(4)12(2)12(24nnnn解答：解答：练习、练习、已知信号已知信号e(t) （图图1所示）所示）的的的傅里叶变换的傅里叶变换 E(j )， dejEj)(求求 的值。的值。 1( )()2j te tE jede(t) E(j )傅里叶反变换傅

22、里叶反变换()2(1)jE je de= 2 图图11：冲激函数：冲激函数 dtetjFtj )()(13.6 3.6 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换10()F jt)(t01)(tf10t111()()22jtF Ted (2 )0()F j2：单边指数函数：单边指数函数 f(t)=e-at (t) (a0)0(1)()(0 jdtetfjFtj221)(jF)()(arctg12130)(023、双边指数信号、双边指数信号)()(tetft222)(jF0)(f(t)0t)(jF0a0)2()( SaAtAG 4 门函数门函数)(tAG t t 2 A4)()(jF26A5 、阶

23、跃函数、阶跃函数 (t)注意：不满足绝对可积条件注意：不满足绝对可积条件f(t)=e-at (t) (a0)(lim)(0tetata jajF 1)( 000022 aaa jaa 1lim0012222 aajaaja daaa 220lim)()/(11lim20adaa )(lim0aarctga () 1( )j 阶跃信号阶跃信号 (t) jt1)()(1j?j21( )( )et 5 、阶跃函数、阶跃函数 (t)jt1)()(j21( )( )et 6：复指数函数：复指数函数jecttdetdeeeFtjtjtjtjccc)(冲激函数：冲激函数： (t) 1 tdeFtj2111-

24、jted2()2( )ttctjtjdteeFcc2)(cje2tc 常用信号的常用信号的F.T 1、冲激函数：、冲激函数： (t) 14、门函数：、门函数： )2()(SaAtAG5、阶跃信号：、阶跃信号： jt1)()(6、直流：、直流： )(212、单边指数信号：、单边指数信号： jtet1)( 03、双边指数信号：、双边指数信号： 222te 0)(2ctjce (t) 1)2()(SaAtAGjt1)()()(21jtet1)( 0222te 03.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换)(21)(2ctjce)()()cos(ccct)()()sin(cccjt1( )2j

25、n tTnnftAe( )()()FTTTnnftFjAn 222( ).TjntnTAf t edtT)(2ctjce周期单位冲激序列周期单位冲激序列周期单位冲激序列周期单位冲激序列1( )().2jntTnnnttnTA e2222( ).TTjntnTAt edtTT1( )jn tTnteT()( )()TnF jFTtn 2()cjtce )(t0t) 1 (0()Fj10)(tTTt021TFSFT0)(jF2 ( )2周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的FS和和FTFT周期重复FTA2200()2FjA Sa()()2nnF jASan AT12nA022()()2nnAnAF jSaT

26、T FS)(0tf22tATT)(tftA2A()F j)()()()(2121 jFbjFatfbtfa 1 线性特性：线性特性：0)()(0tjejFttf 2 延时特性：延时特性：3.8 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质0 xtt 证明证明:000()0()( )( )()jx tj tj tjxFT f ttf x edxef x edxeF j00()()jtFT f ttf tt edx() ( )( )j tF jFT f tf t edt0)()(0tjejFttf 2 延时特性：延时特性：一个信号延时，幅度频谱不变，只是相频增加一个线性因子。一个信号延时，幅度频谱不变

27、，只是相频增加一个线性因子。t t 2 A例例1：)2()2()( ttAtf)1)()()(22 jeeAjFjj sin()22sin() ( )22A jA ()2A Sa( )()f tF jt t A2()2jeA Sa三、频移（调制）特性三、频移（调制）特性 )()( jFtfFT )()(00 jjFetfFTtj 则则：tjetf0)( )()()(000jjFdteetfetfFTtjtjtj )F j（F(jw) )F j（0 F(jw-w0)例例2：已知直流：已知直流 FT1=2(),求复指数函数求复指数函数FTej 0tFT1= 2()FTej 0 t= 2(- 0)e

28、j 0 t的频谱是在的频谱是在= 0 强度为强度为2的冲激函数的冲激函数例例3：f(t)=cos(0t) 的傅里叶变换的傅里叶变换f(t)=cos(0t)1/2(ej 0t+ e-j 0t)F(j )=(+ 0) +(- 0)0)(jF( )00( )频谱搬移技术频谱搬移技术)(21cos000tjtjeet0001 ( )cos()()2FT f ttF jjF jj( )()f tF j)(tfFT012121cos)(0ttfFT0-0调幅信号都可看成乘积信号调幅信号都可看成乘积信号ttf0cos)(四、尺度变换特性四、尺度变换特性)()(jFtfFT)(1)(ajFaatfFT)(1)

29、(0ajFaatfFTa )(1)(0ajFaatfFTa )()(1 jFtfFTa )()(1 jFtfFTa 例例4：求下列函数的傅立叶变换：求下列函数的傅立叶变换 )()1t j1)( 1)2)()(tt )(2 0101)sgn()3ttt)()(tt j205( )(),()FTf tFjFTf att例 ：若求)()()(00tatfttftf分析：分析：尺度变换尺度变换延时延时)()()(00tatfttftf解：解：尺度变换尺度变换延时延时)( jF0)(tjejF 0)(1tajeajFa 0( )()( ()tf tf atf a ta尺度变换延时另：)(1ajFa 0)

30、(1tajeajFa 时域中的压缩等于频域中的扩展时域中的压缩等于频域中的扩展)2(2jF20f(t/2)0t1)2( tf04/4/t压缩1)2(21jF244扩展0时域中的扩展等于频域中的压缩时域中的扩展等于频域中的压缩2、已知、已知f(t)的频宽为的频宽为w，则，则f(3t-6)的频宽为（的频宽为（ ） A 3 w B 1/3 w C 1/3 （w-2） D 1/3 （w-6） 1、一个矩形脉冲信号，当脉冲幅度提高一倍，脉冲宽度缩小、一个矩形脉冲信号，当脉冲幅度提高一倍，脉冲宽度缩小一倍，其频宽较原来的（一倍，其频宽较原来的（ ）A 增大一倍数增大一倍数 B 缩小一倍数缩小一倍数 C 不

31、变不变练习练习1AA 五、时域微分特性五、时域微分特性)()()(jFjdttfdFTnnn)()(jFtfFT)()(jFjdttdfFTdejFjFFtftj)(21)()(1( )1()2j tdf tdeF jddtdt11()()2j tj F jedFj F j)(tf220tE例例6：利用微分性质求三角脉冲的傅里叶变换：利用微分性质求三角脉冲的傅里叶变换dttdf)(E2E222t022)(dttfdE2E2E422t02E440)(jF()j F j2()()jF j241()()2F jE Sa1.用用f1(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F1(jw)来表示来表示f2(t)的傅里

32、叶变换的傅里叶变换F2(jw)。 t11f1(t) t-11f2(t)练习练习2：f2(t)= f1(t+1)- (t)-11tf2(t)(1)jwF2(jw)= F1(jw)ejw-1六、时域积分特性六、时域积分特性)()( jFtfFT )0()()()(FjjFdfFTt ()(0) ( )F jFj ( )( )ttj tFTfdfdedt ()j tfdedtt 1()( )jFTtej ( )()j tftedt d1( )( )( )jjfedfedj (0)( )Ff t dt例例7：用：用FT积分特性求阶跃的傅积分特性求阶跃的傅里里叶变换叶变换 tdt )()(1)( )(1

33、 j )0()()()(FjjFdfFTt f(t)t-2211-1 t-2211-1)(tf t-2211-1)(tf （1）例例8：求下面信号的傅里叶变换：求下面信号的傅里叶变换)cos()2cos(2 )cos()2cos(2 j)2cos()cos(22 )0()()()(FjjFdfFTt ( )0ft dt( )0f t dt例例9、求、求F(jw)f(t) t211（1）-0.5f(t)t110.50.5（2） t11)(tf t11)(tf )() 0()()(FjjFdfFTtt11)(tf （1）t11)(tf （1）1je1jej21( )()jej 1je1jej( )

34、( )()tfdf tf21( )()jej 若：若： ( )( )( )d ftgtftd t()()()() ()G jF jffj ()( )(0) ( )tG jFTgdGj ( )( )()tfdf tf时域积分公式时域积分公式( )( )()( )()ttf tfdfgdf ()()(0) ( ) 2() ( )G jF jGfj (0)( )( )( )()Gg t dtf t dtff () ( )() ( )G jffj f(t) t1/2-1/21例例10： t1/21)(tg-1/2f2(t) t1/2-1/21)2( Sa积分性质积分性质)()2( jSa()()()(

35、)()GjFjffj ()2Saj()22( )Saj f1(t) t1/21/2-1/2)()()( jFddjjFdjdttf 七七 、频域微分、频域微分11( )(),(1) (1)f tF jt ft例 ：求傅立叶变换)1()1()(tftttf 分析：分析：)()(ttfttf 反褶反褶）平移平移)1()1( tft解：解： djFj)()( jFddj )( jFddjej )()2( jFddej () ( )( )j tF jFT f tf t edt八、对称（互易）性质八、对称（互易）性质)()( jFtf)(2)( fjtF若若f(t)为实偶函数为实偶函数F(jw)为实偶函

36、数为实偶函数=F(w)若若F(jt)为实偶函数为实偶函数=F(t)2f(w)为实偶函数为实偶函数1)(12t ：例例对称性对称性)(21w1( )()2j tf tF jed直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子)(t11) (tf1)(F)(2)(F例例13：求：求f(t)(tf2c 2c t10)(jFc 2c 2 c 0)(jF2c2c10)(tfc2c2t2c0)2)(2)(0ttSatfcc 例例14：求：求f(t)(jF2c2c10)(tfc2c2t2c0)2(2)(tSatfcc )( jF2c2c100)(t )(tfc2c2t2ct0九、九、

37、 卷积定理卷积定理)()(11 jFtf)()(22 jFtf)().()(*)(2121 jFjFtftf1 时域卷积时域卷积2 频域卷积频域卷积)()(21)().(2121 jFjFtftf f1(t)*f2(t)12( )()j tff tdedt 12( )()j tf tedtfd21()( )jFjfde12( )()jFfjde12()()FFjj例例15：证明积分性质：证明积分性质 tdg )( dtg)()()()(ttg )(1).( jjwG)().0()( GjjG )().()(*)(2121 jFjFtftf1 时域卷积时域卷积2 频域卷积频域卷积)()(21)(

38、).(2121 jFjFtftf 若若f1(t)的带宽为的带宽为B1， f2(t)的带宽为的带宽为B2，则，则f1(t) f2(t)的带宽为（的带宽为（ ？ ）思考：思考：B1+ B2cos)(0ttfFT001()()2FjjFjj卷积cos0tFT000)(tfFT012121调制)()(21)().(2121 jFjFtftf 例例16：tjetf0)( )(2)(210 jF)(0 jF2117(),( )()Fjf taj例：已知求ajteat 1)(:1 ttetetetfatatat )()()()1()(:2ajddjtteat 性质性质函数函数傅里叶傅里叶单边拉氏单边拉氏 线

39、性线性尺度尺度f(at)延时延时时域微分时域微分f(t)时域积分时域积分移频移频频域微分频域微分tf(t)卷积卷积对称对称F(jt)2f(-w) )(tKf )( jKF )(sKF)(1asFa)(1ajFa )(0ttf 0)(tjejF 0)(stejF )(jFj)0()( fssF ttf)()()0()( FjjF sGssF)0()( tjetf0)( )(0 jF)( jFdjd )(sFdsd )(0 sF)()(21 jFjF)()(21sFsF12( )( )f tf t()()()()()GjwFjwffwjw 1.已知已知f(t)的的傅里叶变换为傅里叶变换为F(j )

40、，求，求f1(t)=f (2t-1) 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 利用傅里叶变换性质解题利用傅里叶变换性质解题( )(2 )f tft尺度(21)ft平移()F j121()2Fj11221()2jFje(21)ft微分11221()2jj Fje( )f t()j F j(2 )ft尺度11221()2jFj(21)ft平移1122121()2jjFje(2 )(2 )212dftftd t尺度11221()2jFj11221()2jj Fje11221()2jFje2、信号的频谱为、信号的频谱为2()jnnFje求信号求信号f(t)并画出其时域波形及频谱图。并画出其时域波形及频谱图。nn

41、ttf)2()(2-4-24tf(t)(1)nnjF)()(wF(jw)2解答：解答：3、求图所示信号求图所示信号f(t) 的傅里叶变换的傅里叶变换 F(j )， ()()()() ()G jF jffj ( )( )( )d ftgtftd t10tf (t)-11(1)f (t)= G2 (t)- (t+1) 2Sa ej F(j )= (2Sa -ej )/ j + ( )10tG2 (t)-1110t-1(1)ej e-j =2jsin (2jsin )/j =2Sa 2：非周期信号的能量：非周期信号的能量3-9 帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱1：周期信号的功率及有效值：

42、周期信号的功率及有效值一、周期性信号的功率谱一、周期性信号的功率谱01( )cos2nnnAf tAn t 设：设：R1201( )TPft dtT功率：1 Parseval定理：定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。数集中分解后各个子信号功率的和。0nnP功率谱只与幅度的平方有关，与相位无关功率谱只与幅度的平方有关，与相位无关01( )(c o ss in)2nnnaftantbnt22011()22nnAA222011()()22nnnaab2 有效值有效值22011()22nnAPA1 .2I 有效值（方均根值）有效

43、值（方均根值）220101()22nnnnAIPAPR1=I220()nnI二、非周期信号（能量信号）的能量二、非周期信号（能量信号）的能量 dttfW)(2(2()1j tFtjtdefd1()2j tf tdFedtj1()2)F jFjd djF 2)(21 djF 02)(1：Rayleigh 定理定理 2)()(jFG 设设：能量密度函数能量密度函数能量谱只与幅度谱的平方有关，与相位无关能量谱只与幅度谱的平方有关，与相位无关20( )( )Wft dtGd2( 2)F jfdf201()F jd例：例：X(jw)为信号为信号x(t)的频谱函数的频谱函数X(j)1-1求求2?( )dt

44、x t2( )dtx t21()2Xjd=1第一章第一章一一 信号信号1( )( )( )()atttett（）常用信号连续：和(2)信号的基本运算信号的基本运算信号的反褶信号的反褶( )( 24)f tft平移平移 尺度变换尺度变换1-3章复习章复习二二 系统系统(1)线性、非时变系统线性、非时变系统(2) 因果系统因果系统h(t) 是单边的而且是有界的是单边的而且是有界的(3)稳定系统稳定系统( )h t dt 系统的描述方法：系统的描述方法：微分方程微分方程H(s),H(p),H(jw)极零图极零图频率特性曲线频率特性曲线三三 时域分析：卷积积分时域分析：卷积积分(第第2章章)1 零输入

45、响应零输入响应瞬态响应与稳态响应；自由响应与强迫响应瞬态响应与稳态响应；自由响应与强迫响应2 零状态响应零状态响应:)()()(thtetr ipD 求求出出特特征征根根, 0)( NitiziieCr1 1( )iNtiih tK e信号分析（书第三章）信号分析（书第三章）一一 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析(1)周期信号的三角和指数傅里叶级数展开式展开系数计算周期信号的三角和指数傅里叶级数展开式展开系数计算(2)函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系(3)常用函数的级数常用函数的级数:周期矩形脉冲周期矩形脉冲(4)周期信号傅立叶级数的频谱周期信号傅立叶级数的频谱门函数的频谱：取样函数（形状幅度，过零点）门函数的频谱：取样函数（形状幅度，过零点）频谱的特点与时域的关系（如周期矩形脉冲：频谱的特点与时域的关系（如周期矩形脉冲：T, 的影响）的影响） nnTTAjF/1lim)(二二 傅里叶变换傅里叶变换(1)由傅里叶级数到傅里叶变换由傅里叶级数到傅里叶变换(2)傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义(3)典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换:门函数，直流，虚指数门函数，直流，虚指数傅里叶变换：傅里叶变换： dtetfjFtj )