第2章 控制系统的数学模型

1、自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型系统的系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出变是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。式。 描述各变量动态关系的表达式称为动态数描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。学模型。常用的数学模型为微分方程。常用的数学模型为微分方程。 第二章第二章 控制系统的数学模控制系统的数学模型型自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建立系统数学模型的方法，一般采用建立系统数学模型的方法，一般采用解解析法析法和和实验法实验法 。所谓所

2、谓解析法解析法，即依据系统及元部件各变量，即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。立系统的数学模型。 实验法实验法是对系统或元件输入一定形式的信是对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。数据处理而辨识出系统的数学模型。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学

3、模型线性定常系统的数学模型微分方程传递函数频率特性脉冲传递函数状态方程微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 首先必须了解系统的组成、工作原理，首先必须了解系统的组成、工作原理，然后根据支配各组成元件的物理定律，列然后根据支配各组成元件的物理定律，列写整个系统输入变量与输出变量之间的动写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式，即微分方程。态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤：分析系统和各个元件的工作原理，找出分析系统和各个元件的工

4、作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。和各元件的输入、输出变量。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型从输入端开始，按照信号的传递顺序，从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写动态关系式，一般为一个微分律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。方程组。对已建立的原始方程进行处理，忽略对已建立的原始方程进行处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。程进行线性化等。消除

5、中间变量，写出关于输入、输出消除中间变量，写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式，即微分方变量之间关系的数学表达式，即微分方程。程。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型CRur(t)uc(t)i(t)根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。无源网络的微分方程。rcc( )( )( )1( )( )du tRi tu tu ti ttC 输入量为电压输入量为电压ur(t),输出量为电压输出量为电压uc(t)i( (t) )为流经电阻为流经电阻R和电容和电容C的电流，消去中的电流，消去中间变量间变量i(

6、 (t) )，可得可得自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型ccrd( )( )( )du tRCu tu tt令令RC=T，则上式又可写为则上式又可写为ccrd( )( )( )du tTu tu tt式中式中：T称为无源网络的时间常数称为无源网络的时间常数,单位为秒单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边一般情况下把输出变量写在等式的左边, ,输输入变量写在等式的右边。入变量写在等式的右边。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型m mk kF(t)F(t)x(t)x(t)位移位移阻尼系数阻尼系数f f阻尼器

7、阻尼器弹簧弹簧例：机械平移系统，求在外力例：机械平移系统，求在外力F(t)F(t)作用下，作用下，位移位移x(t)x(t)物体的运动轨迹。物体的运动轨迹。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型maFtx fFtkxF而)()(21mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力首先确定：输入首先确定：输入F(t),F(t),输出输出x(t)x(t)其次：理论依据其次：理论依据1. 1.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积与加速度的乘积 2. 2.牛顿第三定律牛顿第三定律

8、作用力等于反作用力作用力等于反作用力, ,现在我们单现在我们单独取出独取出m m进行分析，这里不考虑重力的影响。进行分析，这里不考虑重力的影响。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得 通常按照惯例把微分方程写成标准形式，通常按照惯例把微分方程写成标准形式，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。而且方输出量有关的各项写在方程的左边。而且方程两边微分的次数由高到低排列程两边微分的次数由高到低排列 。机械平移系统

9、的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 拉氏变换拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具统的一个重要数学工具,它可以把时域中的它可以把时域中的微分方程微分方程变换成复域中的变换成复域中的代数方程代数方程，从而使，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。递函数、频率特性

10、等概念。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程初始条件方程的解代数方程方程的解拉氏变换拉氏反变换t 域s域用拉氏变换解微分方程示意图用拉氏变换解微分方程示意图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、一、 拉氏变换的定义和存在定理拉氏变换的定义和存在定理1. 定义定义设函数设函数f(t)在在t0时有定义，如果线性积分时有定义，如果线性积分 0( )edstf tt ()js为为复复变变量量存在，则由此积分所确定的函数可写为存在，则由此积分所确定的函数可写为-0( )( )e dstF sf tt 自动控制原理自

11、动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型( ) ( )F sf t L LF(s)称为称为f(t)的象函数，而的象函数，而f(t)称为称为F(s)的原函的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作换，记作 1( )( )f tF s L L称其为函数称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作的拉普拉斯变换，并记作自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2. 拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理若函数若函数f(t)满足下列条件：满足下列条件：在在t0的任一区间上分段连续。的任一区间上分

12、段连续。在在t充分大后满足不等式充分大后满足不等式|f(t)|Mect，其中其中M、c都是实常数。则都是实常数。则f(t)的拉氏变换的拉氏变换在平面上在平面上Re(s)c一定存在，此时右端的积一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。为解析函数。-0( )( )e dstF sf tt 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1. .单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)数学表达式为数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 tOf(t)1000(

13、 ) ( )( )ed1111 ede01stststF sf tf tttsss L L10( )1( )00tf ttt 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2. .单位斜坡函数单位斜坡函数tOf(t)斜率=1数学表达式为数学表达式为 0( )1( )00ttf tttt 其拉氏变换为其拉氏变换为 00002( ) ( )( )eded111e1 ed001ststststF sf tf ttttttssss L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.等加速函数等加速函数tOf(t)数学表达式为数学表达式为

14、 其拉氏变换为其拉氏变换为 210( )200ttf tt 200200231( ) ( )( )eded21 1eed211100ststststF sf tf tttttttssss L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4.指数函数指数函数e-at数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 e0()( )00attaf tt 为为实实数数0()0( )eeed1edatatsts a tF sttsa L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. .正弦函数正弦函数sin t ( (cos t?

15、 ) )正弦函数定义为正弦函数定义为sin0sin00tttt 其拉氏变换为其拉氏变换为 0jj022( )sinsined1eeed2j1112jjjstttstF sttttsss L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6. 单位脉冲函数单位脉冲函数( 函数函数) 函数的表达式为函数的表达式为0( )( )d100ttttt 且且tO (t)其拉氏变换为其拉氏变换为 0( ) ( )( )ed1stF sttt L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、拉氏变换的基本法则三、拉氏变换的基本法则1.1.线

16、性法则线性法则 设设F1=L L f1(t)，F2=L L f2(t)，a和和b为常为常数，则有数，则有121212( )( )( )( )( )( )af tbftaf tbftaF sbF sLLLLLL自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2.微分法则微分法则 设设F=L L f (t)，则有则有d ( )( )(0)df tsF sftL L222d( )( )(0)(0)df ts F ssfft L L式中：式中：f(0), f (0), ,f (n-1)(0)为为f(t)及其各阶及其各阶导数在导数在t=0处的值。处的值。( )1(1)(

17、)( )(0)(0)nnnnfts F ssffL L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.积分法则积分法则 设设F(s)=L L f(t) ，f(0)=0 ，则有则有1( )d( )f ttF ss L L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4. . 终值定理终值定理若若F(s)=L L f(t)，且当且当t时，时，f(t)存在一个存在一个确定的值，则其终值确定的值，则其终值 0lim( )lim( )tsf tsF s 该式为求系统的稳态误差（即该式为求系统的稳态误差（即t ）提供了提供了方便。方便。 0(

18、)lim ( )lim( )tsee tsE s 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 位移定理位移定理设设F(s)= L L f(t)，则有则有00()e( )sf tF s L L及及e( )()atf tF sa L L分别称为时域中的位移定理和复域中的分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。位移定理。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、拉氏反变换四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下拉氏反变换的定义如下 j1j1( )( )( )e d2jstF sf tF st L L一般由一般由F(s)求求f

19、(t)，常用部分分式法。首常用部分分式法。首先将先将F(s)分解成一些简单的有理分式函分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型F(s)通常是通常是s的有理分式函数，即分母多项的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一的一般式为般式为1011111( )mmmmnnnnb sb sbsbF ssa sasa 式中式中a1、a2、an及及b

20、0 、b1、b2、bm为实数，为实数，m、n为正数，且为正数，且mn。如果如果F(s)可分解成下列分量可分解成下列分量12( )( )( )( )nF sF sFsF s自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型并且并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反变换的拉氏反变换可以很容易地求出，则可以很容易地求出，则 11111212( )( )( )( )( )( )( )nnF sF sFsF sf tftftLLLLLLLL自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例2.1 求求 的拉氏反变换的拉氏反变换。22( )4

21、3sF sss 解解：222( )43(1)(3)1/21/213ssF sssssss进行反变换得进行反变换得311( )ee22ttf t自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：方程的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是程中初始条件是t=0-时的值。时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。解

22、代数方程，求出象函数的表达式。用部分分式法进行反变换，求得微分用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。方程的解。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程。0( )2 ( )( )0,(0)0, (0)x tx tx txxx解解：对微分方程两端进行拉氏变换对微分方程两端进行拉氏变换2( )(0)(0)2( )2 (0)( )0s X ssxxsX sxX s代入初始条件，求出象函数代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式的表达式022( )21sX sxss 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统

23、的数学模型控制系统的数学模型将将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出表，求出x(t)。0020( )(1)1( )(1)(0)txxX sssx tx tet 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2 传递函数传递函数 微分方程输出相应给定外作用和初始条件(计算机求解)结构或参数变化时全部信息传递函数自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、传递函数的概念及定义一、传递函数的概念及定义CRur(t)uc(t)i(t)ccrd( )( )( )du tTu tu tt无源无源R

24、C网络的微分网络的微分方程为方程为设初始值设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换,得得 ccrcr( )( )( )(1)( )( )TsUsUsUsTsUsUs自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型cr1( )( )1UsUsTs cr( )( )( )UsG s Us 令令1( )1G sTs 则则cr( )( )( )UsG sUs 传递函数传递函数自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型G(s)Ur(s)Uc(s)传递函数的定义：传递函数的定义： 线性定常系统在零初始条件下，输出信线性定常系统在

25、零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为系统比称为系统(或元部件或元部件)的传递函数。的传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型设线性定常系统的微分方程一般式为设线性定常系统的微分方程一般式为 10111011ddddddddnnnnnmmmmmac tac ta c tttbr tbr tb r ttt 式中式中c(t)为系统的输出量，为系统的输出量，r(t)为系统的输为系统的输入量，入量，a0, a1,an 及及b0 , b1, , bm 均为系均为系统结构参数决定的常数。统结构参数决定的

26、常数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型设所有初始条件均为零的条件下，对上式设所有初始条件均为零的条件下，对上式两端进行拉氏变换，得两端进行拉氏变换，得 101101( )( )nnnmmma sa saC sb sb sbR s 按照定义得系统的传递函数按照定义得系统的传递函数 101101( )( )( )mmmnnnb sb sbC sG sR sa sa sa 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、对传递函数的说明二、对传递函数的说明 1. 传递函数是复域传递函数是复域(s域域)中的一个表达式，中的一个

27、表达式，它通过系统结构参数使线性定常系统的输它通过系统结构参数使线性定常系统的输出和输入建立联系，而与输入形式无关。出和输入建立联系，而与输入形式无关。只适用于线性定常系统。只适用于线性定常系统。 2. 传递函数分母多项式阶次总是大于或等于传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即分子多项式的阶次，即nm，这是由于系统这是由于系统中含有较多的储能元件及受能源的限制所造中含有较多的储能元件及受能源的限制所造成的。分母多项式的最高阶次为成的。分母多项式的最高阶次为n，称该系称该系统为统为n阶系统。如阶系统。如n1、2，称为一、二阶系称为一、二阶系统。统。自动控制原理自动控制原理 第二

28、章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3. 传传递递函数只描述系统输入函数只描述系统输入- -输出之间的输出之间的关系，但不反映系统内部结构的任何信息。关系，但不反映系统内部结构的任何信息。因此因此，不同的物理系统完全可能有相同形不同的物理系统完全可能有相同形式的传递函数，这就给数学模拟创造了条式的传递函数，这就给数学模拟创造了条件。件。 4. 同一系统不同观测点的输出信号对输入同一系统不同观测点的输出信号对输入信号之间的传递函数的形式具有相同的分信号之间的传递函数的形式具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多项式称母，所不同的只是分子。把分母多项式称为为特征式特征式，记为，记为D(

29、s) 。101( )nnnD sa sa sa 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 传递函数与微分方程具有相通性。传递函数与微分方程具有相通性。6. 传递函数传递函数G(s)的拉氏反变换为该系统的的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数脉冲响应函数g(t)，脉冲响应是系统在单脉冲响应是系统在单位脉冲位脉冲 (t)输入时的输出响应，此时输入时的输出响应，此时R(s)=L L (t)=1，所以有所以有111( ) ( ) ( ) ( ) ( )g tC sG s R sG s LLLLL L自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的

30、数学模型7. 传递函数的描述有一定的局限性：只传递函数的描述有一定的局限性：只能研究单入、单出系统，对于多入、多能研究单入、单出系统，对于多入、多出系统要用传递矩阵表示；只能表示输出系统要用传递矩阵表示；只能表示输入、输出的关系，对系统内部其他各变入、输出的关系，对系统内部其他各变量无法得知量无法得知(经典控制理论的不足经典控制理论的不足)；只能；只能研究零初始状态的系统特性，对非零初研究零初始状态的系统特性，对非零初始状态的系统运动特性不能反映。始状态的系统运动特性不能反映。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型求取求取传递函数传递函数的方法与步骤：的方

31、法与步骤： 1. 首先确定出系统的输出信号首先确定出系统的输出信号(被控量等被控量等)和输入信号（如给定值、干扰等）。和输入信号（如给定值、干扰等）。2. 把系统分成若干个典型环节，求出各环把系统分成若干个典型环节，求出各环节的传递函数，填写在方框内。用信号线节的传递函数，填写在方框内。用信号线把这些方框连接起来，得到系统的动态结把这些方框连接起来，得到系统的动态结构图。构图。3. 对动态结构图进行变换，得到所要求的对动态结构图进行变换，得到所要求的传递函数。传递函数。 三、求取系统传递函数的方法三、求取系统传递函数的方法 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数

32、学模型四、传递函数的零点和极点四、传递函数的零点和极点1011010120121*1( )( )( )()()()()()()()()mmmnnnmnmjjniib sb sbC sG sR sa sa sab szszszaspspspszKsp pi: 极点，用极点，用“ ”表示表示零极点零极点分布图分布图zj: 零点，用零点，用“ ”表表示示 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型若传递函数若传递函数42( )(1)(2)sG sss 该传递函数的该传递函数的 极点为极点为p1 =1， p2=2; 零点为零点为z1=0.5j1-1-1-2Op1p2z

33、1零极点分布图零极点分布图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.3 动态结构图及其等效变换动态结构图及其等效变换 一、动态结构图一、动态结构图(或称方块图、方框图或称方块图、方框图) 动态结构图是表示组成控制系统的各个元动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。件之间信号传递动态关系的图形。1. 定义定义2. 组成组成信号线：带有箭头的直线，信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向，信箭头表示信号传递方向，信号线上标信号的原函数或象号线上标信号的原函数或象函数。函数。U(s)自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的

34、数学模型控制系统的数学模型方框：表示输入、输出信号之间的传递方框：表示输入、输出信号之间的传递关系。关系。引出点引出点(测量点测量点)：表示信：表示信号引出或测量位置，从同一号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同。点引出的信号完全相同。G(s)R(s)C(s)U(s)U(s)自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型比较点比较点(综合点综合点)：表示两个或两个以上：表示两个或两个以上的信号，在该点相加、减。注意，比较点的信号，在该点相加、减。注意，比较点处信号的运算符号必须标明处信号的运算符号必须标明正正(+ +)、负负(- -)，一般不标者取正号。同时

35、进行运算的信号一般不标者取正号。同时进行运算的信号必须具有相同的量纲。必须具有相同的量纲。U(s)B(s)U(s)B(s) 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3.3.系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立 (1) 建立系统各元部件（或典型环节）的建立系统各元部件（或典型环节）的微分方程。微分方程。 ( (2) ) 对各微分方程在零初始条件下进行拉对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并做出各元部件的方框图。氏变换，并做出各元部件的方框图。 (3) 按照系统中各变量的传递顺序，依次按照系统中各变量的传递顺序，依次用信号线将各元件的方框图连接起来。系用

36、信号线将各元件的方框图连接起来。系统的输入变量在左端，输出变量（即被控统的输入变量在左端，输出变量（即被控量）在右端，便得到系统的动态结构图。量）在右端，便得到系统的动态结构图。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如如RC网路的微分方程网路的微分方程 rcc( )( )( )d( )( )du tRi tu tu ti tCt 对上式进行拉氏变换，得对上式进行拉氏变换，得 rcrccc1( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )UsUsRI tI sUsUsRI sCsUsUsI sCs 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制

37、系统的数学模型控制系统的数学模型绘制上式各子方程的方框图绘制上式各子方程的方框图 Ur(s)Uc(s)Ur(s)-Uc(s)I(s)-Ur(s)-Uc(s)1R1CsI(s)Uc(s)将方框图连接起来将方框图连接起来, ,得出系统的动态结构图。得出系统的动态结构图。 Ur(s)Uc(s)Ur(s)-Uc(s)I(s)-1R1Cs自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、结构图的等效变换三、结构图的等效变换 进行结构变换首先应明确以下四点：进行结构变换首先应明确以下四点：1. 结构变换的等效性。即结构变换的等效性。即变换前、后输入变换前、后输入输出总的数学关

38、系应保持不变输出总的数学关系应保持不变。2. 所得结果所得结果(传递函数传递函数)的惟一性；结构图的惟一性；结构图的多样性的多样性(不惟一性不惟一性)。3. 信号传递的单向性。信号传递的单向性。4. 多输入系统的叠加性。多输入系统的叠加性。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型动态结构图的等效变换法则：动态结构图的等效变换法则： l. .串联变换法则串联变换法则 n个传递函数依次串联的等效传递函数，个传递函数依次串联的等效传递函数，等于等于n个传递函数的乘积个传递函数的乘积 。G1(s)R(s)C(s)G2(s)Gn(s).C(s)G1(s)G2(s).

39、Gn(s)R(s)自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.并联变换法则并联变换法则 n个传递函数并联，其等效传递函数为该个传递函数并联，其等效传递函数为该n个传递函数的代数和。个传递函数的代数和。 G1(s)R(s)C(s)G2(s)Gn(s)C(s)G1(s)+G2(s)+ +Gn(s)R(s).自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型称为闭环传递函数称为闭环传递函数3.反馈变换法则反馈变换法则 R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s) ( )1( )( )G sG s H sC(s)R(s)( )( )(

40、)( )1( )( )C sG ssR sG s H s自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4. .比较点移动法则比较点移动法则 比较点前移比较点前移“加倒数加倒数”；比较点后移；比较点后移“加本身加本身”。 R(s)B(s)G(s) R(s)G(s) 1( )G sB(s)C(s)C(s)R(s)B(s)G(s) R(s)G(s) B(s)C(s)C(s)G(s)前移前移后移后移自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5. 引出点移动法则引出点移动法则 引出点前移引出点前移“加本身加本身”；引出点后移；引出点后移“加

41、倒加倒数数”。 R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)G(s)C(s)G(s)C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)1( )G sR(s)自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6. 相邻的比较点之间可以随意调换位置，亦相邻的比较点之间可以随意调换位置，亦可综合为一个比较点。相邻的引出点之间亦可综合为一个比较点。相邻的引出点之间亦可互相调换位置。可互相调换位置。 7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置。相邻的比较点和引出点之间可以调换位置。 R(s)X(s)C(s)C(s)R(s)X(s)C(s)X(s)C(s)_自动控制原理

42、自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型动态结构图等效变换需注意的问题动态结构图等效变换需注意的问题:(1)串联、并联、反馈三种典型结构可直接串联、并联、反馈三种典型结构可直接用公式用公式;不是典型结构不可直接用公式。不是典型结构不可直接用公式。(2)向同类移动：比较点和引出点。向同类移动：比较点和引出点。(3)由里向外变换：由里向外变换：对多回路结构，由内回对多回路结构，由内回路向外回路进行变换，逐个减少内回路，路向外回路进行变换，逐个减少内回路，直到变换成一个等效的方块。直到变换成一个等效的方块。 (4)多输入变换多次：多输入变换多次：系统有多个输入量，系统有多个输

43、入量，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。换，求得各自的传递函数。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例：例：求下图所示系统被控量求下图所示系统被控量C(s)对各输入信号的对各输入信号的传递函数传递函数C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G2G3R(s)C(s)N1(s)N2(s)+-+-解解：(1)求求C(s)/R(s)。N1(s)设设N1=0，N2=0设设N1=0，N2=0把比较点前移把比较点前移G1G2G3C(s)N1N2+-+-N1R(s)+N2-+11

44、G把比较点前移把比较点前移再进行并联和内回路反馈变换再进行并联和内回路反馈变换自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型G1G3R(s)C(s)-111GG 221GG 串联后再作反馈变换串联后再作反馈变换R(s)C(s)111GG 12321231G G GGG G G进行串联变换进行串联变换R(s)C(s)1232123(1)1G G GGG G G 1232123(1)( )( )1G G GC sR sGG G G 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型( (2) )求求C(s)/N1(s) ，设设R(s)=0，N

45、2(s)=0，得得 321212311C sGGNsGG G G 因此，因此，自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(3) 求求 ，设，设R(s)=0，N1(s)=0N2(s)信号只能单向传递信号只能单向传递 2( )( )C sNs所以，所以，2( )1( )C sNs 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 已知一控制系统的微分方程组为已知一控制系统的微分方程组为 121211323223d( )( )( )d( )( )( )d ( )( )( )dxtr tc tx tTx tK x ttx tx tK c

46、 tc tTc tK x tt 试画出其动态结构图，并求系统的传递函试画出其动态结构图，并求系统的传递函数数C(s)/R(s) )。 解：解：r(t)为输入信号，为输入信号，c(t)为输出信号为输出信号自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型对系统微分方程进行拉氏变换对系统微分方程进行拉氏变换, ,得到相应得到相应的代数方程的代数方程112211323223( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )XsR sC sT sXsXsK XsXsXsK C sT sC sC sK Xs 根据各个代数方程组画出相应的方块图，根据各个代数

47、方程组画出相应的方块图，然后连接起来就得到系统的动态结构图。然后连接起来就得到系统的动态结构图。 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型引出点前移，进行内回路变换，然后再进引出点前移，进行内回路变换，然后再进行外回路反馈变换得系统的传递函数行外回路反馈变换得系统的传递函数 12122312( )( )(1)(1)K KC sR sT sT sK KK K 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、用梅森（四、用梅森（S. J. Mason）公式求传递函数公式求传递函数 方块图方块图系统的传递函数系统的传递函数等效变换等

48、效变换方块图的复杂程度方块图的复杂程度变换过程的复杂和困难变换过程的复杂和困难梅森公式梅森公式1( )1( )( )nkkkC ssPR s 式中：式中： (s) 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数 特征式特征式 ，且，且 =1- La+ LbLc- LdLeLf+自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型11( )nkkksP Pk第第k条前向通道的传递函数。条前向通道的传递函数。 k余子式，即在特征式中把与余子式，即在特征式中把与Pk前向通前向通道道接触的回路所在项除去接触的回路所在项除去(置为零置为零)后余下后余下的式子。的式子。n前向通道数。前向通道

49、数。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型明确几个概念：明确几个概念：回路回路闭的通闭的通道道，即在结构图中信号可以，即在结构图中信号可以沿箭头方向闭合流动且经过的任一沿箭头方向闭合流动且经过的任一元件不多于一次的闭合回路。元件不多于一次的闭合回路。互不接触回路互不接触回路 相互间没有共同相互间没有共同接点接点的回的回路。路。前向通道前向通道由输入端单向由输入端单向( (沿箭头沿箭头) )传递至传递至输出端的信号通道被称为前向输出端的信号通道被称为前向通道。通道。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例 求图示系统的

50、传递函数求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。 解解：(1)前向通道有前向通道有1 1条条: :1123456PG G G G G G 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型(2)(2)单独回路有单独回路有4个：个：11234561LG G G G G G H 2232LG G H 3453LG G H 4344LG G H 有有2个回路互不接触，所以有个回路互不接触，所以有 23232453234523()()bcL LL LG G HG G HG G G G H H 123456123245334423452311abcLL LG G G G G G

51、 HG G HG G HG G HG G G G H H 特征式：特征式：自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型余子式：余子式：11 ( (不存在与不存在与P P1 1不接触的回路不接触的回路) )(3)闭环传递函数闭环传递函数C(s)/R(s)为为 1234561234561232453344234523( )( )1G G G G G GC sR sG G G G G G HG G HG G HG G HG G G G H H 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型利用梅森公式求传递函数的注意事项：利用梅森公式求传

52、递函数的注意事项：(1) k条前向通道，是指从输入信号到输出条前向通道，是指从输入信号到输出信号前向通信号前向通道道的总数，不要漏掉，也不要的总数，不要漏掉，也不要错划。错划。通过节点只有一次，不得重复。通过节点只有一次，不得重复。(2) 单独回路数，互不接触回路数，不要漏单独回路数，互不接触回路数，不要漏掉，也不要重复。掉，也不要重复。 与与 k 应计算无误。应计算无误。(3) 反馈的极性应体现在回路传递函数的正反馈的极性应体现在回路传递函数的正负上，一定要注意符号。负上，一定要注意符号。自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.4 典型环节的典型环节的

53、传递函数传递函数 一、比例一、比例( (放大放大) )环节环节 比例环节方块图比例环节方块图 其微分方程为其微分方程为 ( )( )c tKr t K为常数，称比例系数或增益。为常数，称比例系数或增益。 传递函数为传递函数为 ( )G sK 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运算放大器：运算放大器： 2f11URKUR 电位器：电位器： mmU sEKs自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、积分环节二、积分环节 微分方程为微分方程为 dc tr tt 传递函数为传递函数为 1G ss 积分器积分器 电压的传递函

54、数电压的传递函数2f111fi1( )11( )UsC sUsRR C sTs 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型空载油缸空载油缸 流量流量 fd( )dxQ tAt f1( )( )X sKAQ sss小惯性电动机小惯性电动机 mma( )( )sKUss 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、理想微分环节三、理想微分环节 微分方程微分方程 d ( )( )dr tc tt 传递函数传递函数 ( )G ss 测速发电机测速发电机 tt( )( )( )( )u tKtU sK ss 自动控制原理自动控制原理

55、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、惯性环节四、惯性环节 微分方程微分方程 d ( )( )( )dc tTc tr tt传递函数传递函数 1( )1G sTs 运算放大器运算放大器 ffff211f1ff11( )( )11RRC sC sUsUsRRRKR C sTs 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 21( )1( )111111111UsKUsKRCsK RCsRCsRCssRCRCsKsKK 五、一阶微分环节五、一阶微分环节 微分方程微分方程 d ( )( )( )dr tc tr tt 传递函数传递函数 ( )1G ss

56、 在放大器上加以在放大器上加以RC网络反馈网络反馈, ,当当增益增益K足够大时足够大时 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型六、振荡环节六、振荡环节 微分方程微分方程 222nnn2d( )d2( )( )( )ddc tc tc tr ttt传递函数传递函数 2n22nn( )2G sss 式中式中: : 相对阻尼比相对阻尼比( (无量纲无量纲) ) n无阻尼自然频率（无阻尼自然频率（s-1-1） 221( )21G sT sTs 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2212n222nn( )1( )1112Us

57、UsLCsRCsLCRssssLLC RLC网络网络自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼动力系统阻尼动力系统 牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma 22dd( )( )( )( )ddF tky tfy tmy ttt取拉氏变换取拉氏变换, ,整理后得整理后得 2() ( )( )msfsk Y sF s2n2222nn1( )1( )( )2kKY sk mG sfkF smsfskssssmm 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型七、二阶微分环节七、二阶微分环节 微分方程微分方程

58、222dd( )( )2( )( )ddc tr tr tr ttt传递函数传递函数 22( )21G sss二阶微分环节的方框图二阶微分环节的方框图自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 闭环控制系统的典型结构图闭环控制系统的典型结构图 R(s)指令信号，输入信号，作用于系统输入端。指令信号，输入信号，作用于系统输入端。N(s)干扰信号，一般是作用在被控对象上。干扰信号，一般是作用在被控对象上。C(s)被控量被控量,输出信号输出信号B(s)反馈信号反馈信号E(s)误差信号误差信号自动控制原理自动控制原理 第二章

59、第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型一、系统开环传递函数一、系统开环传递函数 断开系统的主反馈通路。把断开系统的主反馈通路。把G1(s)G2(s)H(s)之积称为该系统的开环传递函数。之积称为该系统的开环传递函数。定义定义12( )( )( )( )( )B sG s G s H sE s 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型二、二、R(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数 12C R12( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G sC ssR sG s G s H s 令令N(s) =0，此时此时C(s)对对R(s)的

60、闭环传递函的闭环传递函数为数为 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型三、三、N(s)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 12C112212( )( )1( )( ) 1( )( )( )( )1( )( )( )NG s G ssG sG s G s H sG sG s G s H s 令令R(s) =0，并把并把N(s)前移到输入端前移到输入端 自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型四、系统的总输出四、系统的总输出 C RC N1221212( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )(