基本函数公式与高阶导数ppt课件

1、一、基本导数公式一、基本导数公式二、高阶导数二、高阶导数第三节第三节基本函数公式与高阶导基本函数公式与高阶导数数一、基本函数公式一、基本函数公式基本初等函数公式(1)0();CC为常数2(7)(tan )sec;x x(5)(sin )cos ;x x11(4)(log |),(ln |);lnaxxxax(3)()ln (0,1);(e )exxxxa aa aa1(2)();aax ax(6)(cos )sin ;x x 21(11)(arcsin );1x x21(13)(arctan );1x x(9)(sec )sectan ;x xx(10)(csc )csccot ;x xx 2

2、1(12)(arccos );1x x 21(14)(arccot ).1x x 2(8)(cot )csc;x x 基本求导法则()线性法则: 为常数;(), ,aubv aubv a b();uv uvuv2( ),0;uuvuvvvv ( ) ( ) ( );f u xf u x u x 其中 表示复合函数fu(x)对x求导, 表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x). ( )f u x( ) ( )( )|u u xf u xf u()链式法则:()商法则:()积法则:()反函数法则: 其中y=f(x)为 的反函数.1( ),( )0,( )f x y y( )xy3333dd(

3、 ) ( ) ddyf xyf xxx二、高阶导数二、高阶导数 一般地,如果函数y=f(x)的导函数 在点x处可导,则称导函数 在点x的导数为函数f(x)的二阶导数,记为( )f x( )f x2222dd( ) ( ) ddyf xyf xxx或或或 类似的,定义y=f(x)的二阶导数 的导数为三阶导数,记为( )f x或或或 如果函数y=f(x)的n1阶导数存在且可导,则称y的n1阶导数的导数为y=f(x)的n阶导数,记为( )( )dd( ) ( ) ddnnnnnnyf xyfxxx或或或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n阶导

4、数.n阶导数(n=1,2,)在点x0处的值记为00( )( )00d()d| | () ddnnnnx xx xnnf xyyfxxx或或或例例3.16 设设y=(asin x+bcos x)ex,其中其中a,b为常数为常数.试证试证:220yyy证证 由于由于( cossin )e( sincos )exxyaxbxaxbx()sin()cos exabxabx()cos()sin e()sin ()cos exxyabxabxabxabx2( cossin )exaxbx所以222( cossin )e 2()sin()cos e 2( sincos )exxxyyyaxbxabxabxa

5、xbx=2 cossin()sin ()cossincos e0 xaxbxabxabxaxbx例例3.17 求下列函数的求下列函数的n阶导数阶导数:(1)y=ax (a0,a1); (2)y=sin x;(3)y=ln(1+x).解解 (1)lnxyaa一般地,有y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n, n=1,2,特别地,a=e时,有(ex)(n)=ex,n=1,2,2(ln )xyaa23(ln )ln(ln )xxyaaaaa(2)(sin )yx cossin()2xxcos()2yxsin(2)2x sin()22x一般地,有( )( )(sin )nnyxsin(),1,2,2nxn一般地,有( )( )ln(1)nnyx其中,按规定 0！=