末质量评估二

1、 (时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知a，b，c都是正数，且abbcca1，则下列不等式中正确的是()A.(abc)23 B.a2b2c22C.2 D.abc解析用3(abbcca)(abc)23(a2b2c2)易得.答案A2.若x>1，则函数yx的最小值为()A.16 B.8 C.4 D.非上述情况解析yx，令tx>2(因x>1).yt28.当且仅当t，即t4时取等号.答案B3.若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值是()A.2 B. C. D.解析(1·1·1·)2(121212

2、)(abc)3因此，.当且仅当，即abc时取等号.答案C4.已知a，b，c(0，)，Aa3b3c3，Ba2bb2cc2a，则A与B的大小关系为()A.AB B.ABC.AB D.A与B的大小不确定解析取两组数：a，b，c与a2，b2，c2，显然a3b3c3是顺序和，a2bb2cc2a是乱序和，所以a3b3c3a2bb2cc2a，即AB.答案A5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是()A.1 B.大于1且小于10的某个自然数C.10 D.11答案C6.已知函数f(x)，记数列an的前n项和为Sn，且a1f(1)，当n

3、2时，Sn(n25n2)，则通过计算a1，a2，a3的值，猜想an的通项公式an等于()A.n1 B.n1 C.n2 D.n2答案A7.设a，b，c，d为正数，abcd1，则a2b2c2d2的最小值为()A. B. C.1 D.解析由柯西不等式(a2b2c2d2)(12121212)(abcd)2，因为abcd1，于是由上式得4(a2b2c2d2)1，于是a2b2c2d2，当且仅当abcd时取等号.答案B8.设a1，a2，a3为正数，m，na1a2a3，则m与n的大小关系为()A.mn B.mn C.m>n D.mn解析不妨设a1a2a3>0，于是，a2a3a3a1a1a2.由排序

4、不等式：顺序和乱序和，得：·a2a3·a3a1·a1a2a1a2a3.故选B.答案B9.用数学归纳法证明“1”时，由nk的假设证明nk1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()A.B.C.D.答案D10.用数学归纳法证明命题“1> (nN)”时，命题在nk1时的形式是()A.1>B.1>C.1>D.1>答案D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11.用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标是_.解析当nk1时，.答案12.设x22y21则u(x，y)x2y的最小值是_；最大值是_.解析

5、由柯西不等式，有|u(x，y)|1·x·y|·得umin，umax分别在，时取得.答案13.已知a，b，c(0，)，且abc1，则的最小值是_.解析abc1，(abc)3，32229，则9110.答案1014.设实数a1，a2，a3满足条件a1a2a32，则a1a2a2a3a3a1的最大值为_.解析由柯西不等式，(aaa)(121212)(a1a2a3)24，于是aaa.故a1a2a2a3a3a1(a1a2a3)2(aaa)×22(aaa)2×.答案15.函数ycos2x(1sin x)的最大值为_. 解析y(1sin2x)(1sin x)(1

6、sin x)(1sin x)·(1sin x)4(1sin x)··44×等号成立1sin xsin x.答案16.已知函数f(x)，数列an满足a11，anf(an1) (n>1，nN)，则数列an的通项公式为_.答案an三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)17.利用柯西不等式解方程：2.解由柯西不等式(2)2(2· )222()26×6×15.等号成立x.经检验，x为原方程的根.18.已知a，b，c为正数，求证：abc.证明根据所证明的不等式中a，b，c的“地位”的对称性，不妨设abc，则，bcca

7、ab，由排序原理：顺序和乱序和，得，即abc，a，b，c为正数，abc>0，abc>0.于是abc.19.设a1，a2，an是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：1a1.证明设b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列，且满足b1<b2<<bn，因b1，b2，bn是互不相同的正整数，故b11，b22，bnn.又因为1>>>>，故由排序不等式；得a1b11×12×3×n·1.20.已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合

8、Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1，2，3，4，5，6；若a2，则b1，2，4，6；若a3，则b1，3，6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN).下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立；假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a.若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b.若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c.若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；d.若k16t3，则k6t2，此