概率论与数理统计第一章答案

1、习题一1 .用三个事件A,B,C的运算表示下列事件：(1) A，B，C中至少有一个发生；(2) A，B，C中只有A发生;(3) A，B，C中恰好有两个发生；4) A，B，C 中至少有两个发生;(5) A，B，C中至少有一个不发生；(6) A，B，C 中不多于一个发生 解：(1)aJbJc (2)ABC ABC U ABC J CABabJbcJca AljBUC(6) 而IjBCUCAx 1,A ，12.在区间0,2上任取一数x,记 x|21 3B x | x 42 ,求下列事件的表达式：(1)AB ； (2) AB ； (3) AU B .解：(1)x|1/4 x 1/2或 1 x 3/2(

2、2)x|0 x 1/4或 1/2 x 13 .已知 P(A) 0.4,P(BA) 0.2, P(CAB) 0.1 求 P(aUbUc).解：0.2 P(A) P(AB),P(ABC)0.1 P(C AB) P(C (A Jb) P(C) P(CA JcB) P(C) P(CA) P(CB) P(aJbIJc) P(A) P(B) P(C) P(AB) P( BC) P(CA) P(ABC)0.4 0.2 0.1 0.74 .已知 P(A) 0.4,P(B) 0.25,P(A B) 0.25 求 P(B A)与P(AB)解：P(A B) P(A) P(AB) 0.25, P(AB) 0.15P(

3、B A) P(B) P(AB) 0.25 0.15 0.1 ,P(AB) P(aJb) 1 P(A) P(B) P(AB)1 0.4 0.25 0.15 0.55 .将13个分别写有A, A, A,C, E, H ,I ,I ,M ,M ,n,T,T的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“ MATHEMATICIAN ”的概率.2 3 2 2 248解:13!13!166.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取 3件产品，求其中恰好有 1件次品的概率.解:7.C5c4599P -3-C530392某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概解:

4、8.312P 彳 12解:设A表示第i次取到次品，i 1,2,395 94 5P(AiA2 A3)0.046100 99 989.两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率解:C 1112p 2 2 211410.两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要 6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率24 6 23 2解：p 1 F 1 (4)在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率11.任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于9,且它们和不大于1的概率.xy12,

5、 x x 解:x y 1 ,所以 3,33 2 .1 2. o13dxln 23 9x3 9312.设 P(A)a, P(B)b，证明:P(A|B)证明:P(A B)P(AB)P(B)P(A) P(B) P(AJB)P(B)P(A) P(B) 1 a b 1P(B)b13 .有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为0.3，0.2, 0.1，0.4 .若坐火车来，迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是 0.3；若坐汽车来，迟到的概率是 0.1 ；若坐飞机来，则不 会迟到.求他迟到的概率.解：0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.14514 .设10个考题签中

6、有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：(1)甲抽到难签；(2)甲未抽到难签而乙抽到难签；(3)甲、乙、丙均抽到难签.426 444 3 21p p p解；(1)10 5 (2)109 15 (3)10 983015 .发报台分别以概率和发出信号和“ ”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号，而是分别以概率和收到信号和“ ”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以和收到信号"”和“*” .求：(1)收报台收到信号“*”的概率；(2)当收到信号“*”时，发报台确实是发出信号“*”的概率解：(1)0.6 0.8 0.4 0.1 0.520

7、.4812(2)052 1316 .设A，B相互独立， P(aUb)06P(B) 0.4,求 P(A).解：P(aJb) 0.6 P(A) P(B) P(AB) 0.4 P(A) P(AB)10.2 P(A) 0.4P(A)( ) 3,17 .两两独立的三事件 A, B,C满足ABC ，并且-1P(A) P(B) P(C) -2.P(a|Jb|Jc)916 ,求 P(A).92解：w 3P3P2 _16P (A) 16P(A) 3 02 ,1P(A) 2(舍)，P(A) 1 3418、证明:(1)若 P(A|B) P(A),则 P(B|A) P(B).若P(A|B) P(A|B)则事件a与B相

8、互独立.P(AB) 证明：(1) P(B)P(A)P(AB) P(A)P(B)P(B A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)P(B)_P(AB) P(A B)P(AB) P(AB)HpbT 1 P(B)P(AB) P(A)P(B)19 .甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为，.又飞机中1弹，2弹，3弹 而坠毁的概率分别为，1.若三人各向飞机射击一次，求:(1)飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁，求飞机被击中 2弹的概率.0.2(0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7)0.6(0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6

9、 0.5 0.7) 0.4 0.5 0.70.2 0.36 0.6 0.41 0.14解：(1)0.458(2)0.6 0.410.4580.5410 1 18 10.4解：(1)50 2 30 220 .三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为，.求此密码能被译出的概率0.25 0.35 0.4 0.25 0.65 0.6 0.75 0.35 0.60.75 0.65 0.4 0.25 0.35 0.6 0.25 0.65 0.4解： 0.75 0.35 0.40.035 0.0975 0.1575 0.195 0.0525 0.065 0.10521.在试验E中，事件A发生的概率为P

10、(A)0.7075p ,将试验E独立重复进行三次，若在三次试验中“ A1919解：27至少出现一次的概率为 27 ”，求p ._ 00331C3P (1 p) 1 (1 p)22.已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率._3_1_2_解.0.2C30.8 0.20.0830.80.04 0.10423.设有两箱同种零件，在第一箱内装 50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次 1个，求:(1)第一次取出的零件是一等品的概率；(2)已知第

11、一次取出的零件是一等品，第二次取出的零件也是一等品的概率.5 1 10 91 18 175 1 91 172 2 50 49 2 30 294 5 49 5 294(4929)261 2499 0.4856568421.箱中有 个白球和个黑球，从中不放回地接连取k 1(k 1)次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.(1)(2) |( k) 解：)(川( k)22. 一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在 2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有 6位乘客,并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率:(1)某一层有两位乘客离开；(2)没有两位及以上的乘客在同一

12、层离开；(3)至少有两位乘客在同一层离开.466C2/、2 24 C2 9P01 压C6( ) ( )C661解：(1)101010(2) 10! (3)10!23.将线段(0，a)任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率(x, y) 0 x a,0 y a,0 x y aa a aA (x,y)0 x 2,0 y -,2 x y a22 21 2 a224.设平面区域D由四点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)围成的正方形，现向D内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线y x2和直线yx所围成的区域 D1的概率.1P解： 0(x x2)dx 16睨沙钟g/)9666 65 10 10 5 91 (-)(-)166 6( 29296875 八1 0.526046617659 1561025.设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7份、5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率;1 31 71 5293103153 25