正方形的有关提高练习题

1、11 / 7正方形专题1、已知正方形 ABCD和等腰直角三角形 BEF, BE=EF, / BEF=90 ° ,按图1放置， 使点E在BC上，DF DF的中点G,连接EG, CG.(1)延长EG交DC于H,试说明：DH=BE .(2)将图1中 BEF绕B点逆时针旋转 45° ,连接 DF ,取DF中点G (如图2), 莎莎同学发现：EG=CG且EGLCG.在设法证明时他发现：若连接 BD ,则D,巳 B三点共线.你能写出结论“ EG=CG且EG，CG”的完整理由吗？请写出来.(3)将图1中4BEF绕B点转动任意角度a ( 0V a V 90° ),再连接DF ,取

2、DF 的中点G (如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成 立，也请说明理由.F图1图2图4 *2、(2011?鸡西)在正方形 ABCD的边AB上任取一点 E,作EFXAB交BD于点F, 取FD的中点 G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EGLCG.(1)将 BEF绕点B逆时针旋转90° ,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.(2)将 BEF绕点B逆时针旋转180° ,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.3、已知：如图，在菱形 ABCD中，点E

3、在对角线 AC上，点F在BC的延长线上, EF=EB , EF与CD相交于点 G.(1)求证：EG?GF=CG?GD;(2)连接DF,如果EFXCD,那么/ FDC与/ ADC之间有怎样的数量关系？证明 你所得到的结论.4、已知：如图，在正方形 ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接 AG ,分别交 BD、CD 于点 E、F.(1)求证：/ DAE= / DCE ;(2)当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.5、已知正方形 ABCD和等腰RtABEF, BE=EF , / BEF=90 ° ,按图放置，使点 F在BC上，取DF的中点G,连接EG、CG

4、 .(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图中4 BEF绕B点顺时针旋转45° ,再连接DF,取DF中点G (如图)， 问(1)中的结论是否仍然成立.证明你的结论；(3)将图中4 BEF绕B点转动任意角度(旋转角在 0°到90°之间)，再连接 DF,取DF的中点G (如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论.6、已知E是正方形 ABCD的一边 AB上任一点，AC与BD是正方形 ABCD的对角 线 EGLBD 于 G, EFXAC 于 F, AC=10 厘米，贝U EF+EG=。7、(1)如图1,已知矩形 ABCD中，点E是BC上的一动点

5、，过点 E作EFXBD 于点F, EGXAC于点G, CHXBD于点H,试证明 CH=EF+EG ;(2)若点E在BC的延长线上，如图 2,过点E作EFXBD于点F, EGXAC的延 长线于点G, CHLBD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直 接写出你的猜想；(3)如图3, BD是正方形 ABCD的对角线，L在BD上，且 BL=BC ,连接 CL , 点E是CL上任一点，EFLBD于点F, EG, BC于点G,猜想EF、EG、BD之间 具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线

6、段，并满足(1)或(2)的结论，写出相关题设的条件和 结论.8、已知正方形 ABCD和等腰直角三角形 BEF,按图放置，使点 F在BC上，取 DF的中点G,连接EG、CG.(1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由；(2)将图中 BEF绕B点顺时针旋转 45°得图，连接 DF,取DF的中点G, 问(1)中的结论是否成立，并说明理由；(3)将图中4 BEF绕B点转动任意角度(旋转角在 0°到90°之间)得图， 连接DF,取DF的中点G,问(1)中的结论是否成立，请说明理由.9、已知：如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF .(1)求证：B

7、E=DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点G,使OG=OA，连接EG、FG.判断四 边形AEGF是什么特殊四边形？并证明你的结论.10、如图，已知正方形 ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连 接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.(1)求证：DP平分/ADC;(2)若/ AEB=75 ° , AB=2 ,求 DFP 的面积.11、如图，正方形 ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点 G是边CD上一点，BE=2ED , CF=2BF ,连接AE并延长交 CD于G,连接AF、EF、 FG.给出下列五个结论： DG=GC;/ FGC=/AGF

8、;$ ABF=S FCG ; AF=2EF ;/ AFB= ZAEB ,其中正确结论的个数是()A、5 个 B、4jC、3 个 D、2 个12、如图，点P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，PE± BC于点E, PF± CD于 点F,连接EF,给出下列五个结论： AP=EF;APEF; APD 一定是等腰三角形；/ PFE=/BAP;PD=2EC.其中正确结论的序号是13、(2011?重庆)如图，梯形 ABCD 中，AD / BC , Z DCB=45 ° , CD=2 , BD !CD.过点C作CEXAB于E,交对角线 BD于F,点G为BC中点，连接EG、A

9、F .(1)求EG的长；(2)求证：CF=AB+AF .2013年6月柯老师的初中数学正方 形组卷一.解答题(共9小题)1 .以4ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形. 他们分别是正方形 ABDI ,BCFE, ACHG ,试探究：(1)如图中四边形 ADEG是什么四边形？并说明理由.(2)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是矩形？(3)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是正方形？2 .如图，正方形 ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于Q.(1)如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出 PB与PQ所

10、满足的数量关系；并 加以证明；(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出 PB与PQ满足的数量关 系，请证明你的猜想.5.在图1到图3中，点。是正方形 ABCD对角线AC的中点， MPN为直角三角 形，/MPN=90°.正方形 ABCD保持不动，4MPN沿射线AC向右平移，平移过 程中P点始终在射线 AC上，且保持PM垂直于直线 AB于点E, PN垂直于直线BC 于点F.(1)如图1,当点P与点。重合时，OE与OF的数量关系为 ;(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；(3)如图3,当点P在AC的延长线上时，OE

11、与OF的数量关系为 ;位置关系为.9.已知：如图，在正方形 ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接 AG , BD、CD 于点 E、F.(1)求证：/DAE=/DCE;分别交6.如图，正方形 ABCD ,动点 (1)求证：BF=DE;(2)当点E运动到AC中点时 殊四边形？说明理由.E 在 AC 上,AFLAC,垂足为 A, AF=AE .(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特3.如图，在正方形 ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且 BM=DN .点E为MN的中点，DE的延长线与 AC相交于点F.试猜想线段 DF与 线段AC的关系，并证你的猜想.7. (2005?

12、乌兰察布)图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的直线分别与 BCi、BE交于点M、N,且图1被直线MN分成面积相等的上、下两 部分.(1)求专吃的值;4.已知，四边形 ABCD是正方形，/MAN=45 °,它的两边 AM、AN分别交CB、 DC与点 M、N ,连接 MN ,作AH，MN ,垂足为点 H(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；(2)如图 2,已知/ BAC=45 °, AD ± BC 于点 D,且 BD=2 , CD=3 ,求 AD 的长； 小萍同学通过观察图 发现，4ABM和4AHM关于AM对称，4AHN和4ADN

13、 关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？(2)求MB、NB的长；(3)将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图2)后，求点M、N间的距离.8.如图所示，有四个动点 P, Q, E, F分别从正方形 ABCD的四个顶点出发，沿 着AB, BC, CD, DA以同样速度向 B, C, D, A各点移动.(1)试判断四边形 PQEF是否是正方形，并证明；(2) PE是否总过某一定点，并说明理由.(2)当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论2013年6月柯老师的初中数学正方 形组卷参考答案与试题解析

14、一.解答题(共9小题)1.以4ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形. 他们分别是正方形 ABDI , BCFE, ACHG ,试探究：(1)如图中四边形 ADEG是什么四边形？并说明理由.(2)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是矩形？(3)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是正方形？(3)当四边形 ADEG是正方形时， /DAG=90°,且AG=AD . 由(2)知，当 Z DAG=90。时,/ BAC=135 °,四边形ABDI是正方形，AD= V2AB .又四边形ACHG是正方形，AC=AG , AC=VAB .当/ BAC=135 °

15、;且AC=&AB时，四边形 ADEG是正方形.点评：本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点.解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°.2.如图，正方形 ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过 点B,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于Q. Z BPF+Z QPF=90°, Z BPF+Z BPE=90 °, /BPE=/QPF, RtAPQFRtAPBE,PB=PQ.点评：此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质. 此题综合 性较强，注意数形结合

16、思想.(1)如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出 PB与PQ所满足的数量关系；并 加以证明；(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出 PB与PQ满足的数量关 系，请证明你的猜想.考点：正方形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定； 矩形的判定.分析：(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得BDE ABAC ,所以全等三角形的对应边DE=AG .然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知/ EDA+ / DAG=180 °,易证ED / GA ;最后由'组对边平行且相等 ”的判定定 理证得结论；(2)根据 矩形的内角都是直角"易证/DA

17、G=90;然后由周角的定义求得/ BAC=135 °(3)由 正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证/DAG=90°,且AG=AD ,由CABDI和CACHG 的性质证得， AC二4五AB .解答：解：(1)图中四边形 ADEG是平行四边形.理由如下：四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，AC=AG , AB=BD , BC=BE , Z GAC= Z EBC= Z DBA=90 °.Z ABC= Z EBD (同为 ZEBA 的余角).在 BDE和 BAC中，|fBD=EAZDBE=ZABC,I BE=EC BDE ABAC (SAS),

18、DE=AC=AG , / BAC= / BDE .AD是正方形ABDI的对角线，/ BDA= / BAD=45 °. / EDA= / BDE - / BDA= / BDE - 45°,/ DAG=360 - / GAC - / BAC - / BAD=360 - 90 - / BAC - 45°=225 - / BAC / EDA+ / DAG= / BDE - 45 +225 - / BAC=180 °DE / AG ,四边形ADEG是平行四边形(一组对边平行且相等).(2)当四边形 ADEG是矩形时，/ DAG=90 °.贝U / BAC

19、=360 / BAD / DAG / GAC=360 - 45 - 90° - 90 =135 °,即当Z BAC=135。时，平行四边形 ADEG是矩形；考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)过 P 作 PEBC, PFXCD,证明 RtAPQF RtAPBE,即可;(2)证明思路同(1)解答：(1) PB=PQ,证明：过 P 作 PEL BC, PFXCD, P, C为正方形对角线AC上的点， PC 平分 /DCB, Z DCB=90 °,PF=PE,四边形PECF为正方形， Z BPE+ ZQPE=90 °, Z QPE+Z

20、 QPF=90 °,/ BPE=/QPF, RtAPQFRtAPBE, PB=PQ;(2) PB=PQ,证明：过 P 作 PEL BC, PFXCD, P, C为正方形对角线AC上的点， PC 平分 /DCB, Z DCB=90 °, PF=PE,四边形PECF为正方形，3.如图，在正方形 ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且 BM=DN .点E为MN的中点，DE的延长线与 AC相交于点F.试猜想线段 DF与 线段AC的关系，并证你的猜想.考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.专题：探究型.分析：猜想：线段 DF垂直平分线

21、段 AC ,且DF=! AC ,过点M作MG /AD ,与DF2的延长线相交于点 G,作GHLBC,垂足为H,连接AG、CG.根据正方形 的性质和全等三角形的证明方法证明AMG ACHG即可.解答：猜想：线段 DF垂直平分线段 AC,且DF=| AC,证明：过点 M作MG / AD ,与DF的延长线相交于点 G.贝U / EMG= / N, / BMG= / BAD , / MEG= / NED, ME=NE , MEG NED, MG=DN . BM=DN , MG=BM .作GHXBC,垂足为 H,连接 AG、CG. 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA , / BAD= / B

22、= / ADC=90 °, Z GMB= /B=/GHB=90 °, 四边形MBHG是矩形. MG=MB ,四边形MBHG是正方形， . MG=GH=BH=MB , / AMG= / CHG=90 °, .AM=CH ,AAMG ACHG.GA=GC .又 DA=DC ,DG是线段AC的垂直平分线. / ADC=90 °, DA=DC ,DF= TC z即线段DF垂直平分线段 AC ,且DF=AC ./把 E=ADN，RE 二 DNAABEAADN （SAS）,.1. / 1 = /2, AE=AN ,/BAD=90 °, Z MAN=45 &

23、#176;,/ 1 + Z3=90 - / MAN=45 °,Z 2+7 3=45 °,即 / EAM=45 °,在EAM 和ANAM 中，irAE=AN/EJm二/NAU ,I EAM NAM （SAS）,又 EM和NM是对应边，AB=AH （全等三角形对应边上的高相等）程中P点始终在射线 AC上，且保持PM垂直于直线 AB于点E, PN垂直于直线 BC 于点F.(1)如图1,当点P与点。重合时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ;(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；(3)如图3,当点P在AC的

24、延长线上时，OE与OF的数量关系为OE=OF ;位置关系为 OELOF .考点：正方形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质； 平移的性质.分析：(1)根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；(2)当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系；(3)继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似.解答：(1)解：OE=OF (相等)；(1分)点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质， 垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大， 但题型较好，训练了学

25、生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力.(2)作4ABD关于直线 AB的对称4ABE ,作4ACD关于直线 AC的对称 ACF ,4.已知，四边形 ABCD是正方形，/MAN=45 °,它的两边 AM、AN分别交CB、 DC与点 M、N ,连接 MN ,作AH，MN ,垂足为点 H(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；(2)如图 2,已知/ BAC=45 °, AD ± BC 于点 D,且 BD=2 , CD=3 ,求 AD 的长； 小萍同学通过观察图 发现，4ABM和4AHM关于AM对称，4AHN和4ADN 关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将

26、图形如图进行翻折变换，解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换(折叠 问题).分析：(1)延长CB至E使BE=DN ,连接AE,由三角形全等可以证明AH=AB ;(2)作4ABD关于直线 AB的对称4ABE ,作4ACD关于直线 AC的对称 ACF,延长EB、FC交于点G,则四边形 AEGF是矩形，又 AE=AD=AF , 所以四边形 AEGF是正方形，设 AD=x ,则EG=AE=AD=FG=x ,所以BG=x 2; CG=x 3; BC=2+3=5 ,在 RtBGC 中，(x 2)2+ (x 3) 2=52解之

27、得X1=6, x2= - 1,所以AD的长为6.解答：(1)答：AB=AH ,证明：延长 CB至E使BE=DN ,连接AE, 四边形ABCD是正方形，Z ABC= Z D=90 °,/ ABE=180 - / ABC=90 °又AB=AD , 在4ABE 和 4ADN 中， AD 是 4ABC 的高，/ ADB= / ADC=90 °/ E=Z F=90 °, 又 / BAC=45 °/ EAF=90 °延长EB、FC交于点G,则四边形 AEGF是矩形, 又 AE=AD=AF四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2

28、, FC=DC=3 , 设 AD=x ,贝U EG=AE=AD=FG=x ,BG=x - 2; CG=x - 3; BC=2+3=5 , 在 RtABGC 中，（x-2） 2+ （x 3） 2=52 解得 x1=6 , x2= - 1, 故AD的长为6.（2）解：OE=OF, OEXOF; （3 分）证明：连接BO,在正方形ABCD中，。为AC中点，BO=CO , BOX AC , Z BCA= Z ABO=45 °, （4 分） BC, Z BCO=45 °, ，/FPC=45°, PF=FC.正方形 ABCD , / ABC=90 °, PFXBC

29、, PEXAB ,/ PEB=ZPFB=90 °.四边形PEBF是矩形， .BE=PF. （5 分）BE=FC .AOBEAOCF,OE=OF, /BOE=/COF, （ 7 分） / COF+ / BOF=90 °, / BOE+ ZBOF=90 °,/ EOF=90 °, OEXOF. （8 分）圄点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,题目的综合性很强，难度中(3) OE=OF (相等)，OEOF (垂直).(10 分)点评：本题考查了正方形的性质， 解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想.6.如图，正方形 ABCD ,动点E

30、在AC上，AFLAC,垂足为 A, AF=AE .(1)求证：BF=DE;(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特 殊四边形？说明理由.5.在图1到图3中，点。是正方形 ABCD对角线AC的中点， MPN为直角三角 形，/MPN=90°.正方形 ABCD保持不动，4MPN沿射线AC向右平移，平移过兀二次方程的应考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.分析：（1）根据正方形的性质判定 ADEABF后即可得到BF=DE ;（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可.解答：（1）证明：二.正方形ABCD ,AB=AD , / BA

31、D=90 °, AFLAC ,/ EAF=90 °,/ BAF= / EAD , AF=AE , ADE ABF , BF=DE ;（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形 AFBE是正方形， 理由：二.点E运动到AC的中点，AB=BC , BEXAC , BE=AE=&C,2 AF=AE ,BE=AF=AE ,又BE LAC, Z FAE= ZBEC=90 °,BE / AF , BE=AF , 得平行四边形 AFBE , / FAE=90 °, AF=AE , 四边形AFBE是正方形.点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用

32、正方形的性质.7. （2005?乌兰察布）图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的直线分别与 BC1、BE交于点M、N,且图1被直线MN分成面积相等的上、下两 部分.（2）求MB、NB的长；（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离.考点：正方形的判定与性质；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质.专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合.分析：（1）本题可通过相似三角形 A1B1M和NBM得出的关于NB , A1B1, MB, MB 1的比例关系式来求，比例关系式中A1B1, BB1均为正方形的边长，长度都是1,因此可将它们的值代入比例关系

33、式中，将所得的式子经过变形即可得 出所求的值；（2）由于直线 MN将图（1）的图形分成面积相等的两部分，因此 4BMN的 面积为 占 由此可求出 MB?NB的值，根据（1）已经得出的 MB+NB=MB ?NB可求出MB+NB的值，由此可根据韦达定理列出以MB, NB为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB的值；（3）根据（2）的结果，不难得出 B1M=EN ,由于折叠后 E与B点重合，因 此B1M=BN ,那么四边形 B1MNB是个矩形，因此 MN的长为正方形的边长. 解答：解：（1）AA1B1MANBM 且 A1B1=BB1=1,整理，得 MB+NB=MB ?NB , 两边同除以MB

34、?NB得即 MB ?NB=5 ,又由(1)可知 MB+NB=MB ?NB=5 ,.MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根.解方程，得X1 = 54. 5 X2=上&22 | MB VNB, MB=二 一 'NB= 1 ' MB, NB= ,22（3）由（2）知 B1M= 6 一正J 一”22EN=4 -=:,22图（2）中的BN与图（1）中的EN相等，BN=B 1M ;四边形BB1MN是矩形，MN的长是1.点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质,用等知识点，综合性比较强.8.如图所示，有四个动点 P, Q, E, F分别从正方形 ABCD的

35、四个顶点出发，沿 着AB, BC, CD, DA以同样速度向 B, C, D, A各点移动.（1）试判断四边形 PQEF是否是正方形，并证明；（2） PE是否总过某一定点，并说明理由.考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.专题：动点型.分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形.（2）证PE是否过定点时，可连接 AC,证明四边形 APCE为平行四边形，即 可证明PE过定点.解答：解：（1）在正方形 ABCD 中，AP=BQ=CE=DF , AB=BC=CD=DA , BP=QC=ED=FA .又/ BAD= / B= / BCD= / D=90 °,AAFPABPQ ACQEADEF.FP=PQ=QE=EF , / APF= / PQB .四边形PQEF是菱形，/ FPQ=90 °,四边形PQEF为正方形.（2）连接AC交PE于O,AP平行且等于 EC,四边形APCE为平行四边形.O为对角线AC的中点，对角线PE总过AC的中点.点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化， 在证明过程中，可适当加入辅助线.9.已知：如图，在正方形 ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接 AG ,分别交 BD、CD 于点 E、F.（1