九年级数学圆与相似的专项培优易错难题练习题(含答案)

1、九年级数学圆与相似的专项培优 易错 难题练习题 （含答案 ）、相似AE=EF=FD.（1）求 EG ：BG 的值（2）求证： AG=OG（3）设 AG =a ,GH =b， HO =c，求 a : b : c 的值【答案】 （1）解： 四边形 ABCD是平行四边形，AO= AC， AD=BC， AD BC， AEGCBG， = = AE=EF=FD，BC=AD=3AE，GC=3AG，GB=3EG，EG： BG=1： 3（2）解： GC=3AG（已证），AC=4AG，AO= AC=2AG，GO=AOAG=AG（3）解： AE=EF=FD， BC=AD=3AE，AF=2AE ADBC， AFH C

2、BH，= = = ，= ，即 AH= ACAC=4AG，a=AG= AC，b=AHAG= AC AC= AC，c=AOAH=AC AC= AC，a：b：c=：=5：3： 2解析】 【分析】（ 1）根据平行四边形的性质可得AO= AC， AD=BC， ADBC，从而可证得 AEGCBG，得出对应边成比例，由 AE=EF=FD可得 BC=3AE，就可证得 GB=3EG，即 可求出 EG：BG 的值。（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得 AC=4AG，从而可得 AO=2AG，即可证得结论。（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG= AC， AH= AC，结合AO

3、= AC，即可得到用含 AC的代数式分别表示出 a、b、c，就可得到 a：b：c 的值。2如图，在 ABC中， C=90°， ABC的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE的垂线交 AB 于点 F，O 是BEF的外接圆1）求证： AC 是O 的切线；2）过点 E 作 EHAB，垂足为 H，求证： CD=HF；3）已知： CD=1，EH=3，求 AF 的长 答案】 （1）证明：如图，连接 OEBE 平分 ABC， CBE=OBE， OB=OE， OBE=OEB， OEB=CBE， OEBC， AEO= C=90 ，° AC是O 的切线；2）解：如图，连结 DECBE=O

4、BE，ECBC于C，EHAB于 H， EC=EH CDE+ BDE=180 ，°HFE+BDE=180 ，° CDE= HFE在 CDE与HFE中， CDE HFE（ AAS）， CD=HF（3）解：由（ 2）得， CD=HF又 CD=1 HF1在 RtHFE中， EF=EFBE BEF=90 ° EHF=BEF=90 ° EFH=BFE EHF BEFBF=10在 Rt OHE中， 在 Rt EOA中，【解析】 【分析】（ 1 ）连接 OE利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE BC，从而得 AEO= C=90°，可得到证明；（2）连

5、结 DE利用 AAS可证 CDE HFE，从而得到证明；（3）证 EHF BEF，由相似三角形的性质可求得BF，从而得到 OE，在 RtOHE 和EOA 中，由 cosEOA可求出 OA，从而求出 AF.3如图 1，以 ABCD的较短边 CD为一边作菱形 CDEF使, 点 F落在边 AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G.（2）延长 DE,BA交于点 H，其他条件不变， 如图 2，若 ADC=60°，求 的值； 如图 3，若ADC=（0°<<9）0,°直接写出的值 .（用含 的三角函数表示）【答案】 （1）解：，理由如下：四边形 是平行四边形，.四边

6、形是菱形，.，. . 又 ， .2）解：方法 1：过点 作 ，交 于点 ，.， .由（ 1）结论知.四边形为菱形， .四边形是平行四边形， .，.， 即 . 是等边三角形。 .方法 2：延长 ， 交于点 ，四边形为菱形，.四边形为平形四边形， . .即 . 为等边三角形 . .四边形 CFED是菱形，EC AD， FD=2FO， 设 FG=a， AB=b，则 FG=a， EF=ED=CD=b，Rt EFO中， cos = ， OF=bcos ， DG=a+2bcos ，过 H作 HMAD于 M， ADC=HAD=ADH=，AH=HD， AM= AD= （ 2a+2bcos ）=a+bcos ，

7、Rt AHM 中，cos = ，AH=， = =cos 【解析】 【分析】（ 1）利用菱形和平行四边形的性质可得出ABCDEF， AB=CD=EF，再利用平行线的性质可证得 ABG=FEG，然后利用 AAS可证得 ABGFEG，由全等三角 形的性质可证得结论。（2） 过点 G 作 GM BH ，交 DH 于点 M ，易证GMEBHE。得出对应边成比例， 求出 MG 与 BH 的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG，即可解答； 连接 EC交 DF 于 O，利用菱形的性质可得出 ECAD，FD=2FO，设 FG=a， AB=b，可表示 出 FG， EF=ED=CD=b， Rt E

8、FO 中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG，过 H 作HM AD 于 M，易证 AH=HD， AM=a+bcos ，再在 Rt AHM 中，利用锐角三角函数的定义 求出 AH的长，继而可得出 DG与 BH的比值，可解答。4如图，在四边形 ABCD中， B=C=90°， AB> CD， AD=AB+CDBM+MN 的最小值。（1）利用尺规作 ADC的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（ 1）的条件下， 证明： AE DE； 若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB上的动点，求答案】 （1）2） 证明：在 AD 上取

9、一点 F使 DF=DC，连接 EF，DE 平分 ADC， FDE=CDE，在 FED和CDE中，DF=DC，FDE=CDE，DE=DE FED CDE（ SAS）， DFE=DCE=90 ，° AFE=180 -°DFE=90 ° DEF=DEC，AD=AB+CD，DF=DC，AF=AB，在 Rt AFE Rt ABE（HL） AEB=AEF， AED= AEF+ DEF= CEF+ BEF= （CEF+BEF）=90 。° AE DE 解：过点 D 作 DP AB 于点 P，由 可知， B，F关于 AE对称， BM=FM， BM+MN=FM+MN ，当

10、 F，M，N 三点共线且 FN AB时，有最小值， DPAB，AD=AB+CD=6， DPB= ABC= C=90 ，°四边形 DPBC是矩形，BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在 RtAPD中， DP= ，FNAB，由 可知 AF=AB=4， FNDP， AFNADP即，解得 FN= ，BM+MN 的最小值为【解析】 【分析】（ 1）根据角平分的做法即可画出图.（ 2） 在 AD 上取一点 F 使DF=DC，连接 EF；角平分线定义得FDE=CDE；根据全等三角形判定 SAS 得 FED CDE，再由全等三角形性质和补角定义得DFE=DCE=AFE=90°，DEF=

11、DEC；再由直角三角形全等的判定HL 得 RtAFERtABE，由全等三角形性质得AEB=AEF，再由补角定义可得 AE DE. 过点 D作 DPAB于点 P；由 可知， B，F关于 AE对称，根据对称性质知 BM=FM， 当 F，M，N 三点共线且 FNAB时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN ；在 RtAPD中， 根据勾股定理得 DP= = ；由相似三角形判定得 AFNADP，再由相似三角形性质得 ，从而求得 FN，即 BM+MN 的最小值 .5在ABC中， ACB90°，（1）如图 1，折叠 ABC 使点S ABC 9S DHQ ， 求 HQ 的长（2）如图 2，折叠

12、 ABC 使点FM AC，求证：四边形 AEMF 是菱形； （3）在 （1）（2）的条件下，线段 CQ上是否存在点 P， 出 PQ 的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）解：如图 1 中，A 落在 AC 边上的点A 落在 BC 边上的点H，若D 处，M 处，折痕交 AC、AB 分别于 E、F若使得 CMP 和HQP 相似？若存在，求AB 25， BC15，AC20，设 HQx ， HQBC ，AQ x ，SABC9SDHQ ， × 20 ×915× ×x× x ， x5 或 5 （舍弃）， HQ5，故答案为 5AEEM， AFFM ， AF

13、E MFE ，FMAC ， AEF MFE ， AEF AFE ， AE AF ， AEAFMFME ， 四边形 AEMF是菱形FB 5m ，设 AE EM FMAF4m ， 则 BM 3m ， 4m+5m25，mAE EM，EC20CMQG 5， AQ ，设 PQ xQCHQP MCP ，解得：x当时， HQP PCM ，解得： x 10 或 ， 经检验： x10 或 是分式方程的解，且正确，综上所，满足条件长QP 的值为10 或解析】 【分析】（ 1）利用勾股定理求出 AC，设 HQ=x，根据 SABC=9S DHQ ， 构建方程即可解决问题；（ 2）想办法证明四边相等即可解决问题；（3）

14、设 AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m ， FB=5m，构建方程求出 m 的值，分两种情形分别求解即可解决问题6在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0）， C（0，6）作矩形 OABC、连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DF DE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E从 A点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB上移动，设移动时间为 t（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中， DEF 的大小是否发生变化？如果变 化，请说明理由；如果不变，请求出tan DE

15、F的值（3）连结 AD，当 AD将DEF分成的两部分的面积之比为 1： 2时，求相应的 t 的值 【答案】 （1）解：当 t=3 时，点 E为 AB 的中点，A（8，0）， C（ 0，6），OA=8，OC=6，点 D 为 OB 的中点，DEOA，DE= OA=4，DE OA， DE= OA=4，四边形 OABC是矩形，OAAB，DEAB， OAB= DEA=90 ，°又 DF DE， EDF=90 ，°四边形 DFAE是矩形，DF=AE=3 （2）解： DEF的大小不变；理由如下： 作 DMOA于 M，DNAB于 N，如图 2所示：四边形 OABC是矩形，OAAB，四边形

16、DMAN 是矩形， MDN=90 °，DMAB，DNOA，点 D 为 OB 的中点，M、N 分别是 OA、 AB的中点，DM= AB=3， DN= OA=4， EDF=90 ，° FDM= EDN，又 DMF= DNE=9°0 ， DMFDNE， EDF=90 ，tanDEF=（3）解：作 DMOA 于 M ， DN AB于 N，若 AD将 DEF的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF于点 G，则点 G 为 EF的三等分点； 当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示， NE=3 t，由DMFDNE得： MF= （3t），AF=4+MF= t+ ，点 G为

17、 EF的三等分点，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，把 A（8，0）， D（4，3）代入得：解得： ，把 G（）代入得：t=直线 AD 的解析式为 y=x+6，NE=t 3， 当点 E越过中点之后，如图 4 所示，由DMFDNE得： MF= （t3），AF=4MF= t+ ，点 G为 EF的三等分点，G（），代入直线 AD的解析式 y= x+6 得：t= ；综上所述，当 AD将DEF分成的两部分的面积之比为 1：2时， t的值为或【解析】 【分析】（ 1）由 t=3 可得此时 E 为 AB 的中点，进而可得 DE 为ABO 的中位 线，从而可得 DE OA，DE的长，再由矩形的性质和判断

18、可得四边形DFAE是矩形，进而求出 DF的长；（2）作 DMOA 于 M ， DN AB 于 N，可证得四边形 DMAN 是矩形，则 DMAB， DNOA，再由平行线分线段成比例和已知可求出DM 和 DN 的长，由两角相等可证DMFDNE，可得 DF：DE=DM：DN，由三角函数可求出 tan DEF的值；（3）作 DMOA于 M，DN AB于 N，若 AD将DEF的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF于点 G，则点 G 为 EF的三等分点；分点 E到达中点之前、点 E越过中点之后两种情 况来求 .都先求出直线 AD的解析式，由DMFDNE求出用 t 的代数式表示的点 G 的坐 标，

19、代入直线 AD 的解析式可求出 t 的值.7在 中， 为 边上一点，过点 作 交 于点 ，以 为折线，将 翻折，设所得的 与梯形 重叠部分的面积为 1）如图（甲），若，则 的值为2）如图（乙），若， ， 为 中点，则 的值为的函数解析式（3）若求 与若没有，请说明理由 是否有最大值，若有，求出答案】（1）（2）12（ 3）解：如图 a，作于点 ，在 中， ， ， ， ，当 落在 上时， 为 的中点：即 故分以下两种情况讨论： 当 时，如图 b ， ， ， ，即，当时， 当 时，如图 c ，设 ， 分别交 于，由折叠可知，由 同理得又。当时， 值最大，最大值为 解析】 【解答】解：()，边上的高

20、为为的中点， ， 分析】（ 1）ADE与梯形 DBCE重叠部分的面积 y 就是 ADE的面积。用勾股定理求得 另一直角边 AC=8，由折叠的性质可得 ?ADE ? DE，因为 DEBC，由相似三角形的判定 可得 ADE ABC， 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得 ADE 的面积= ABC的面积，则 ? DE 的面积即可求解；（2） 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解；（3）作 AH BC于点 H，在 Rt ABH中，解直角三角形 ABH可求得 AH的长， ABC的面 积可求解，当 A落在 BC 上时， D 为 AB 的中点，即 x=5 故分以下两种情况讨论： 当 0&l

21、t;x5时，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得ADE ABC， 由 相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解； 当 5<x<10 时， 设 DA，EA分别交 BC于 M，N，由折叠可知， ADE ADE，MANDAE， 由相似 三角形的性质即可求解。8如图，已知抛物线过点 A 和 B ，过点 A作直线 AC/x 轴，交 y 轴与点 C。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D，连接 OA，使得以 A， D，P 为顶点的三角形与 AOC相似，求出对应点 P的坐标；（ 3）抛物线上是否存在点Q，使

22、得?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】 （1）解： 点 A、B 在抛物线上，解得：抛物线解析式为：2）当 P在直线 AD 上方时，设 P 坐标为（ x，则有 AD=x- ，PD=当 OCA ADP 时，整理得： 3x2-9 x+18=2 x-6，3x2-11 x+24=0，解得： x=即 x=或 x= （舍去） ,此时 P（）当 OCAPDA时，即整理得：， 即 x2-解得：，即 x=4 或 （舍去），此时 P（ 4 ,6）；当点 P（ 0,0）时，也满足 OCAPDA；当 P 在直线 AD 下方时，同理可得， P 的坐标为（），综上， P 的坐标为（）或（ 4 ,6）

23、或（）或（ 0,0 ）（3）解： A AC= ,OC=3， OA=2 , h= ，又 = ， AOQ 边 OA上的高 =3h= 过O作OMOA,截取 OM= ，过点 M 作MNOA交y轴于点 N ，过 M 作HMx轴,（如 图），AC= ,OA=2 , AOC=30 ，°又 MN OA， MNO=AOC=30 ，°OM MN ， ON=2OM=9，NOM=60 °， 即 N（ 0,9 ）， MOB=30 °，MH=OM=设直线 MN 解析式为： y=kx+b，直线 MN 解析式为： y=- x+9，x - x-18=0,（x-3 ）（ x+2 ） =0,

24、 x =3 ,x =-2 ， Q 点坐标（ 3 ， 0）或（ -2， 15），抛物线上是否存在点 Q，使得.【解析】 【分析】（ 1）将 A、 B 两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程 组，解之即可得抛物线解析式2）设 P 坐标为（ x，），表示出 AD 与 PD，由相似分两种情况得比例求出的值，即可确定出 P 坐标。（ 3）根据点 A 坐标得 AC= ,OC=3，由勾股定理得 OA=2 ,根据三角形面积公式可得AOC 边 OA 上的高 h= ，又 =得 AOQ 边 OA 上的高为 ；过 O 作OMOA,截取 OM= ，过点 M作MNOA交y轴于点 N ，过 M作HMx轴,（如图）

25、， 根据直角三角形中， 30 度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（ 0,9），在Rt MOH 中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（， ）；用待定系数法求出直线MN 解析式，再讲直线 MN 和抛物线解析式联立即可得 Q 点坐标 .、圆的综合9如图，已知 AB是O的直径，点 C为圆上一点，点 D在 OC的延长线上，连接 DA， 交 BC的延长线于点 E，使得 DAC=B1）求证： DA 是O 切线；2）求证： CED ACD；3）若 OA=1， sinD= 1 ，求 AE的长3【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 2【解析】分析：（ 1）由圆周角定理和已知条件求出AD AB即可证明 DA是

26、O 切线；（2）由DAC=DCE，D=D 可知DECDCA；（ 3）由题意可知 AO=1，OD=3， DC=2，由勾股定理可知 AD=2，故此可得到 DC2=DE?AD，故此可求得 DE 的长，于是可求得 AE的长详解：（ 1） AB为O的直径， ACB=90°，CAB+B=90° DAC=B， CAB+DAC=90°， ADABOA是O 半径， DA为 O的切线；（ 2） OB=OC， OCB= B DCE=OCB， DCE=B DAC=B， DAC=DCE D=D， CED ACD；1OA（3）在 RtAOD中， OA=1，sinD= ，OD=3，CD=ODO

27、C=23sinD AD= OD2 OA2 =2 2 ADCDCD2又 CED ACD， ，DE= =2，CDDEADAE=ADDE=2 2 2 = 2点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质 和判定，证得 DECDCA 是解题的关键10如图所示，以 RtABC的直角边 AB 为直径作圆 O，与斜边交于点 D，E为 BC边上的 中点，连接 DE（1）求证： DE 是O 的切线；（2）连接 OE，AE，当 CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求sinCAE的值答案】 （1）见解析 ;（2） 1010解析】 分析：（ 1）要证 DE是O的切

28、线，必须证 EDOD，即 EDB+ODB=9°0（2）要证 AOED是平行四边形，则 DE AB，D为 AC中点，又 BDAC，所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 CAB=45°，再由正弦的概念求解即可详解：（ 1）证明：连接 O、D与 B、D两点， BDC是 Rt，且 E为 BC中点， EDB= EBD（ 2 分）又 OD=OB且 EBD+ DBO=9°0 ， EDB+ ODB=90 ° DE是O 的切线（2）解： EDO= B=90°，若要四边形 AOED是平行四边形，则 DE AB， D为 AC中点， 又 BD AC， ABC为等腰直角

29、三角形 CAB=45 °过 E作 EH AC于 H，设 BC=2k，则 EH= 2 k，AE= 5 k，2 EH 10sin CAE=AE 10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点（即为半径），再证垂直即可11阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等， 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 先构造 “辅助圆 ”，再利用圆的性质 将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A 与点 B的坐标分别是（ 1，0），（ 5，0），点 P是该直角坐标系内 的一个动点（1）使 APB=3

30、0°的点 P有个；（2）若点 P在y 轴正半轴上，且 APB=30°，求满足条件的点 P的坐标；（3）设 sinAPB=m，若点 P在 y轴上移动时 , 满足条件的点 P有 4个，求 m的取值范 围2【答案】（ 1）无数；（ 2）（0，2 37）或（ 0，2 37 ）；（ 3）0 m .3 【解析】试题分析：（ 1）已知点 A、点 B 是定点，要使 APB=30°，只需点 P在过点 A、点 B 的圆 上，且弧 AB 所对的圆心角为 60°即可，显然符合条件的点 P有无数个（2）结合（ 1）中的分析可知：当点 P在 y 轴的正半轴上时，点 P是（ 1）中的

31、圆与 y 轴的 交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆 外角要 APB最大，只需构造过点 A、点 B且与 y 轴相切的圆，切点就是使得 APB最 大的点 P，由此即可求出 m 的范围试题解析：解：（ 1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点 C为圆心， AC为半径作 C，交 y 轴于点 P1、P211在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1，则 APB= ACB= × 60=°30°，使APB=30°的点 P 2

32、2有无数个故答案为：无数（2）点 P在 y轴的正半轴上，过点 C作 CGAB，垂足为 G，如图 1 点 A（1，0），点 B（5，0）， OA=1，OB=5，AB=41点 C 为圆心， CGAB，AG=BG= AB=2，OG=OA+AG=32 ABC是等边三角形， AC=BC=AB=4，CG= AC2 AG2= 4 2 22=2 3，点 C的坐标为（ 3，2 3 ）过点 C作 CD y轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1点 C的坐标为（ 3，2 3 ）， CD=3， OD=2 3 P1、P2是C与 y轴的交点， AP1B=AP2B=30°CP2=CA=4， CD=3， DP2= 4

33、2 32 = 7 点 C为圆心， CDP1P2，P1D=P2D= 7 ，P1（0，2 3+ 7 ）， P2（0，2 33）当过点 A、B的E与 y轴相切于点 P时， APB最大理由：可证：2APB=AEH，当 APB最大时， AEH最大由 sinAEH=得：当 AEAE最小即 PE最小时， AEH最大所以当圆与 y轴相切时， APB最大 APB为锐角， sinAPB随APB增大而增大，连接 EA，作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2E与 y 轴相切于点 P，PEOP EHAB，OPOH， EPO=POH=EHO=90 ，° 四边形 OPEH是矩形， OP=EH，3点睛：本题考查了垂径

34、定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与 性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强同时也考查了创造性思维，有一 定的难度构造辅助圆是解决本题关键12如图， AB是圆 O的直径，射线 AMAB，点 D在 AM上，连接 OD交圆 O于点 E，过 点 D 作 DC=DA交圆 O 于点 C（ A、 C不重合），连接 O C、 BC、CE（1）求证： CD是O 的切线；（2）若圆 O 的直径等于 2，填空：OECB是菱形 当 AD=1； 3 时，四边形 OADC是正方形；【解析】试题分析：（ 1）依据 SSS证明 OADOCD，从而得到 OCD=OAD=9°0 ；（2

35、） 依据正方形的四条边都相等可知 AD=OA； 依据菱形的性质得到 OE=CE，则 EOC为等边三角形，则 CEO=60°，依据平行线的性 质可知 DOA=6°0 ，利用特殊锐角三角函数可求得AD 的长试题解析：解： AMAB， OAD=90 °OA=OC，OD=OD， AD=DC， OAD OCD， OCD= OAD=90 °OCCD，CD是O 的切线（2） 当四边形 OADC是正方形，AO=AD=1故答案为： 1 四边形 OECB是菱形，OE=CE又 OC=OE，OC=OE=CE CEO=60°CE AB， AOD=60 °在 R

36、tOAD中，AOD=6°0 ，AO=1， AD= 故答案为： 点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等 边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键13如图，在 Rt ABC中， C 90 ，AD平分BAC，交 BC于点D，点 O在AB上， O 经过 A、D 两点，交 AC于点 E，交 AB于点 F（1）求证： BC是O 的切线；答案】（1）证明见解析E是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）22) 2 33解析】分析】1）连接 OD，只要证明 OD AC即可解决问题；2）连接 OE，OE交 AD于

37、K只要证明 AOE是等边三角形即可解决问题 详解】1）连接 ODOA=OD，OAD=ODA OAD=DAC， ODA= DAC，ODAC，ODB=C=90 ，°ODBC，BC是 O 的切线（2）连接 OE，OE交 AD于 K ?AE ?DE ，OE ADOAK=EAK，AK=AK，AKO=AKE=90 ，°AKOAKE，AO=AE=OE，AOE 是等边三角形， AOE=60°，S阴=S扇形OAESAOE 60 2 3 22 2 3 360 4 3【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解

38、题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型14如图，已知： AB是O 的直径，点 C在O 上，CD是O 的切线， ADCD于点 D， E是 AB延长线上一点， CE交O 于点 F，连接 OC、AC（1）求证： AC平分 DAO（2）若 DAO=10°5 ， E=30° 求 OCE的度数； 若O 的半径为 2 2 ， 求线段 EF的长EF = 2 3-2.答案】（ 1）证明见解析；（ 2） OCE=4°5 【解析】【试题分析】（ 1）根据直线与 O 相切的性质，得 OCCD.又因为 AD CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直

39、线也平行，得：AD/OC.DAC= OCA.又因为 OC=OA，根据等边对等角，得 OAC=OCA.等量代换得： DAC=OAC.根据角平分线的定义得： AC平分 DAO.（2） 因为 AD/OC，DAO=10°5 ，根据两直线平行，同位角相等得， EOC=DAO=105 ，°在 OCE 中， E=30 ，°利用内角和定理，得： OCE=45.° 作 OGCE于点 G，根据垂径定理可得 FG=CG， 因为 OC=2 2 ，OCE=4°5.等腰直角三 角形的斜边是腰长的 2 倍，得 CG=OG=2. FG=2在. RtOGE中， E=30

40、6;，得 GE=2 3 ， 则 EF=GE-FG=2 3-2.【试题解析】 （1）直线与 O相切， OCCD.又 AD CD， AD/OC. DAC= OCA.又 OC=OA，OAC=OCA. DAC= OAC. AC 平分 DAO.（2）解： AD/OC，DAO=10°5 ，EOC=DAO=10°5 E=30 ，°OCE=45.° 作 OG CE于点 G，可得 FG=CGOC=2 2 ，OCE=4°5.CG=OG=2. FG=2.在 Rt OGE中， E=30 ，°GE=2 3 . EF=GE-FG=2 3-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判 定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等 .15如图， AB是半圆O的直径，点 C是半圆O上的点，连接 AC，BC，点 E是AC的中 点，点 F 是射线 OE上一点（1）如图 1，连接 FA， FC，若 AFC2 BAC，求证： FA AB；（2）如图 2，过点 C作 CDAB于点 D，点 G 是线段 CD上一点（不与点 C重合），连接 FA，FG，FG与 AC相交于点 P，且 AFFG 试猜想 AFG和B