(完整word版)高考函数知识点总结(全面)

1、高考函数总结函数的概念与表示1、函数（1）函数的定义 原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 近代定义：设 A、B都是非空的数的集合， f：xy是从 A到 B的一个对应法则，那么从 A到 B 的映 射 f：AB就叫做函数，记作 y=f（x） ，其中 x A, y B ，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C叫做函数的值域。 C B（ 2 ）构成函数概念的三要素定义域 对应法则 值域3、函数的表示方法 解析法 列表法 图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式

2、。 二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法：（1） 定义法（ 2）变量代换法（4）函数方程法（5）参数法（3）待定系数法（6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集3。复合函数定义域：已知 f（x）

3、的定义域为 x a, b ,其复合函数 f g（ x） 的定义域应由不等式a g（x） b 解出。三、函数的值域1函数的值域的定义在函数 y=f（x） 中，与自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域2确定函数的值域的原则 当函数 y=f（x） 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合； 当函数 y=f（x） 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合； 当函数 y=f（x） 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 当函数 y=f（x） 由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3求函数值域的

4、方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f（x） 的取值范围； 二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域； 反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围； 单调性法：利用函数的单调性求值域； 不等式法：利用不等式的性质求值域； 图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。四 函数的奇偶性1定义: 设y=f(x) ，xA，如果对于任意 xA，都有 f( x) f(x)，则称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x) ， xA，如果对于任意 xA，都有 f( x)

5、 f(x)，则称 y=f(x)为奇函数。如果函数 f(x)是奇函数或 偶函数，则称函数 y= f (x) 具有奇偶性。2. 性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 , y=f(x) 是奇函数 y=f(x) 的图象关于原点对称 , 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间 上单调性相同， 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， 若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和11f(x) 12 f(x) f( x) 12 f(x) f(

6、x) 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称 对于F(x)=fg(x) :若g(x)是偶函数，则 F(x)是偶函数若 g(x)是奇函数且 f(x)是奇函数，则 F(x)是奇函数若 g(x)是奇函数且 f(x)是偶函数，则 F(x)是偶函数3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义 一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为 D ，则? 如果对于属于定义域 D 内某个区间上的 任意两个自变量的值 x1，x2D 且 x

7、1>x2，都有 f(x1) >f(x2)， 即在 D 上具有单调性且 单调增加 ，那么就说 f(x) 在这个区间上是 增函数 。? 相反地，如果对于属于定义域 D 内某个区间上的 任意 两个自变量的值 x1，x2D 且 x1>x 2，都有 f(x1) <f(x 2)，即在 D上具有单调性且 单调减少 ，那么就说 f(x) 在这个区间上是 减函数。则增函数和减函数统称 单调函数 。2、判断函数单调性(求单调区间)的方法：(1) 从定义入手，(2)从图象入手， (3)从函数运算入手， (4)从熟悉的函数入手(5) 从复合函数的单调性规律入手 注：函数的定义域优先3、函数单调

8、性的证明：定义法“取值作差变形定号结论”。4、一般规律( 1 )若 f(x),g(x) 均为增函数，则 f(x)+g(x) 仍为增函数；(2) 若 f(x)为增函数，则 -f(x) 为减函数；(3) 互为反函数的两个函数有相同的单调性；4)设 y f g x 是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x) 的单调性相反，则 y f g x 在 M 上是减函数；若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则 y f g x 在 M 上是增函数。六、反函数1、反函数的概念：设函数 y=f(x) 的定义域为 A，值域为 C，由 y=f(x) 求出 xy ，若对于 C 中的每一个值 y ，在 A 中都

9、有唯一的一个值和它对应， 那么 x y 叫以 y 为自变量的函数， 这个函数 x y 11叫函数 y=f(x) 的反函数，记作 x f 1 y ，通常情况下，一般用 x 表示自变量，所以记作 y f 1 x 。 注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。(1) 只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；(2) 反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤( 1 )解关于 x 的方程 y=f(x) ，达到以 y 表示 x 的目的；(2) 把第一步得到的式子中的 x 换成 y， y 换成 x；(3) 求出并说明反函数的定义域(即函数y=f(x) 的值域)。3、关于反函

10、数的性质(1) y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；(2) y=f(x) 和 y=f-1(x) 具有相同的单调性；(3) y=f(x) 和 x=f-1(y) 互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；(4) 已知 y=f(x) ，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a ，从中求出 x，即是 f-1(a)；(5) f-1f(x)=x;(6) 若点 P(a,b)在 y=f(x) 的图象上，又在 y=f -1(x) 的图象上，则 P(b,a)在 y=f(x) 的图象上；( 7 )证明 y=f(x) 的图象关于直线 y=x 对称，只需证得 y=f(x) 反函数和 y=f(x

11、) 相同；七二次函数1二次函数的解析式的三种形式2b(1)一般式： f(x)=ax 2+bx+c(a 0)，其中 a 是开口方向与大小， c 是 Y 轴上的截距，而是对称轴。2a(2)顶点式(配方式) ：f(x)=a(x-h) 2+k 其中 (h,k) 是抛物线的顶点坐标。(3) 两根式(因式分解) ： f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中 x 1,x2是抛物线与 x 轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知 f(x)=ax 2+bx+c(a 0) ，方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2 ，则可

12、设a x x1 x x2x 。f(x)-x= f x x a x x1 x x2 , 或 f x2二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴 xb ，顶点坐标2a( b 4 ac b( 2a4a1)a>0 时，抛物线开口向上，函数在b 上单调递减，2a在b2a) 上单调递增，2a时，f (x)m in24ac b4a2)a<0 时，抛物线开口向下，函数在b 上单调递增，2a在b2a) 上单调递减，b2a时，f (x)m ax4acb24a23二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a 0)当b 4ac 0时图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),

13、M2(x2,0)M 1M 2 x1 x2(x1 x2)2 4 x1x2a4二次函数与一元二次方程关系方程 ax2 bx c 0(a 0)的根为二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a0) y 0的 x的取值。二次函数与一2元二次不等式的关系一元二 次不等式 ax2 bx c 0( 0) 的解集为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 0)y 0( 0)的 x的取值范围二次函数情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c (a>0) =b2-4acax2+bx+c=0 (a>0)2ax +bx+c>0(a>0)2ax +bx+c<0(a>0)图

14、 象 与 解>0bx12abx22 2axx x1或 x x2xx1 x x2=0bx1 x21 2 2axx x0<0方程无解R八 指数式与对数式1幂的有关概念n个(1)正整数指数幂n aaaaa(nN ) ，(2) 零指数幂 a01 (a0)(3)负整数指数幂n a1 n aa 0,nNm(4)正分数指数幂 a nnmaa0,m,n N ,n 1 ；(5)负分数指数幂m an1m amn1 nmaa0,m,n N ,n 1(6) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质r s r s1 a a a a 0,r,s Q2rs ar r r3 ab

15、arbr a 0,b 0,r Q3根式(1)根式的定义 :一般地，如果 xn a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n根式， n 叫做根指数， a 叫被开方数。(2) 根式的性质 : 当 n 是奇数，则 n ana ；当 n 是偶数，则 n ana负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零ars a 0,r,s Q1,n N ， n a 叫做a a 0a a 04对数(1)对数的概念如果ab N(a 0,a 1) ,那么b叫做以 a为底N的对数,记b loga N(a 0,a 1)(2)对数的性质：零与负数没有对数(3)对数的运算性质loga MNN log alog a M(4)对数换底

16、公式：log a N5 )对数的降幂公式： logMNloga log a1 0 log a a 1 loga M loga NN log a M n nlog a M 其中 a>0,a 0,M>0,N>0logmN (N 0,a 0且alog m a1,m 0且 m 1)Nnn log a N(N 0,a m0且 a 1)从概念、图象、性质去理解它们的区别和九指数函数与对数函数1、指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a 1)互为反函数，联系名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a>0 且 a 1)y=log ax (a>0 ,

17、a 1)定义域(- ,+ )(0,+ )值域(0,+ )(- ,+ )过定点(， 1)(1，)比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同， 可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数 的单调性是解决问题的重要途径。十函数的图象1、1）作函数图象的基本方法有两种：描点法： 1、先确定函数定义域，讨论函数的性质

18、（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特2）殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）图象变换法：利用基本初等函数变换作图连线如：作出函数1 的图象x平移变换：左正右负，上正下负）即(x)0 , 右移;h 0 ,左移( x h)y对称谁，谁不变，对称原点都要变）(x)0 , 下移;k 0 ,上移( x) kyf ( x )x轴yf (x )yf ( x )y轴yf( x )yf ( x )原点yf ( x )yf ( x )yxyf1 ( x)y 轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf ( x )y保留x 轴上方图，将x轴下方图上翻yf ( x )xyf(仍一点的横坐标变为原1来的 1伸缩变换：

19、yf (x)仍一点的纵坐标变为原来的 A 倍yf ( x)对称变换：f倍y(x)x)f(x)Af ( x)导数与积分1导数的概念函数 y=f（x）,如果自变量 x 在 x 0处有增量 x ，那么函数 y相应地有增量 y =f（x 0+ x ） f（ x 0 ），比 y y f （ x0x） f （ x0 ）值 x叫做函数 y=f（x）在x0到x0+ x之间的平均变化率，即 x = x 。如果当yx 0 时， x 有极限，我们就说函数 y=f（x） 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f（ x）在点 x 0 处的导数，记作 f '( x 0)或 y'x|x0 。yf (x0x

20、) f(x0)lim lim即 f (x 0 )= x 0 x = x 0 x 。2导数的几何意义函数 y=f ( x)在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x0，f(x 0 )处的切线的斜率。也就 是说，曲线 y=f( x )在点 p(x 0，f(x 0 )处的切线的斜率是 f '(x 0 )。相应地，切线方程为 yy0=f(x0)xx 0)。3几种常见函数的导数 : C 0;n1nx (sin x)cosx (cos x)sin xx x x(ex)ex; (ax)ax ln aln xx;loga x1loga ex4两个函数的和、差、积的求导法则(u v)

21、 u v .(uv)uvuv .u'v uv'2vv 0)。复合函数的导数：单调区间：一般地，设函数 y f(x) 在某个区间可导， 如果 f (x) 0，则 f (x)为增函数； 如果 f (x) 0，则 f(x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f (x) 0，则 f (x) 为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负； 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间 a，b上连续的函数 f (x) 在a， b上必有最大值与最小值。 求函数 ?(x) 在(a，b)内的极值； 求函数 ?(x) 在区间端点的值 ?(a)、?(b)； 将函数 ? (x) 的各极值与 ?(a)、 ?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数 f(