有限元分析理论基础ppt课件

1、有限元分析理论基础山东交通学院汽车工程系车辆工程教研室材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学 本课程中所指的是有限单元法在弹本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。限单元法的预备知识。预备知识预备知识弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下弹性力学也是

2、研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。形。2、研究的对象：有相同也有区别。、研究的对象：有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。或三个尺寸相当的构件。弹性力学弹性力学 区别与联系区

3、别与联系 材料力学材料力学 3、研究的方法：有较大的区别。、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而

4、弹性力学是对构件的无限小单元确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学x xq qy yx图 1-1ax xq qy yx0 0图 1-1b弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力材料力学学 总之，弹性力学与材料

5、力学既有联总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学

6、处理，它仍然保留了材料力学中关于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：于材料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。函数来表示。(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全生变形的外力被除去以

7、后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。过去的受力情况无关。(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才才不随位置座标而变。不随位置座标而变。弹性

8、力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，也就是说物物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，亦即当物物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于变和转角都远小于1，这样，在考虑，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，变形前的尺寸来代替变形后

9、的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方弹性力学中的微分方程都成为线性方程。程。2-1 外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力一、外力 外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号表示：1体积力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFbzbybxb 2表面力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFszsysxs3节点集中力

10、nPPPP21节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。二、应力二、应力 空间三维问题 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面问题 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx三、应变三、应变空间三维问题 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面问题 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx四、位移四、位移 ),(),(),(zyxwzyxvzyxuu空间三维问题 平面问题 ),(),(yxvyxuu xxx一维问题 一维问题 一维问题 xxx xuuxx2-2 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程一、平衡方程一、平衡方程 在物体内的任意

11、一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，0 xF得：0XdxdydzdxdydxdydzzdzdxdzdxydydzdydzxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxoyxzABCPyyyzyzdzzzzzzdzzzxzxdzzzyzydxxxzxzdxxxxxxdxxxyxydyyyyyydyyyxyxdyyyzyzzzzxzyxxxyxz0Xdxdydzdxdydzdxdyzdxdydzdxdydzdxydzdxdydzdxdydzxdydzzxzxzxyxyxyxxxxx

12、xxx0dxdydzFdxdydzzdxdydzydxdydzxbxzxxyxx整理后得到：0bxzxxyxxFzyx在上式中消掉dxdydz得到利用0yF和0zF还可以得到另外两个方程，即：000bzzzyzzxbyyzyyxybxzxxyxxFzyxFzyxFzyx弹性体平衡微分方程 该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果整个结构处于平衡状态，结构内部任意点微元体都必须满足的条件。二、几何方程二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。 1 1、应变与位移的关系、应变与位移的关系以xx为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示： yxA ,),(

13、ydxxB 在结构取一微小线段dx，两个端点变形前的坐标分别为：、两个端点变形后的坐标分别为：),(),(yxvyyxuxA),(),(ydxxvyydxxudxxB、在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：dxxudxyxuydxxudxyxuxydxxudxx),(),(),(),(xudxdxdxxudxdxdxxx根据应变的定义可得：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyxxyyxx 同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变分量可以表示为：yvxuyvxuxyyyxx对于平面问题，应变-位移关系可以简化为：xuxx对于一维问题，应变-位移关系可以

14、进一步简化为：2 2、应变、应变- -位移关系的矩阵表示位移关系的矩阵表示wvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000三维情况xzyzxyzyx000000000令：其中 zyx,称微分算子，称算子矩阵。 uvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为： uuxxuxx则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式： u三、物理方程本构关系）三、物理方程本构关系） eD1、有限元本构关系的矩阵形式为：221000000221000000221000000100010001

15、)21)(1 (EDe对于三维情况有： 2 2、对于二维平面应力问题的定义、对于二维平面应力问题的定义平面应力)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz2100010112EDe 此时有 )(1yyxxzzvv3 3、对于二维平面应变问题的定义、对于二维平面应变问题的定义平面应变)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz 221000101)21)(1 (EDe 此时有 )(yyxxzzv四、相容方程协调方程）四、相容方程协调方程） 相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。 由于有限元采

16、用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a示一平衡的杠杆，对示一平衡的杠杆，对C点点写力矩平衡方程：写力矩平衡方程：图图1-8b表示杠杆绕支点表示杠杆绕支点C转动时转动时的刚体位移图：的刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。说明：图说明：图a的平衡力系在图的平衡力系在图b的的位移上作功时，功的总和必须位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。等于零。这就叫做虚功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A图 1-8abABABBA

17、abPP15)-(1 0BBAAPP虚功原理虚功原理 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和和 这两个位这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足倾斜，一定满足(1-15)式的关系。式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，是否真正发生了位移

18、，而假想它发生了位移，(由于是假想，由于是假想，故称为虚位移故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的中的 和和 所作的功就不是发生在它本身所作的功就不是发生在它本身(状态状态a)的位的位移上，移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位来说就是虚位移，亦即是状态移，亦即是状态(a

19、)假象的位移。假象的位移。ABAPBP虚功原理虚功原理 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时

20、，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。这时该约束力叫做被动力。(如图如图1-8中的反力中的反力 ，由于支点，由于支点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图。反之，如图1-8中的中的 和和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因而，在是在位移过程中作功的力，称为主动力。因而，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。写虚功方程时，只有主动力作

21、虚功，而被动力是不作虚功的。cRcRAPBP虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数各力所作的功的代数和和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。16)-(1 0PW虚功原理虚功原理-用于弹性体的情用

22、于弹性体的情况况 虚功方程虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功要包括外力功(T)和内和内力功力功(U)两部分，即：两部分，即： W = T - U ；内力功；内力功(-U)前面有一负号，前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而

23、产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功外力虚功 T = 内力虚功内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功移上的虚功(外力功外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功内力功)。有限元分析的一般过程有限元分

24、析的一般过程一、结构的离散化一、结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。这一步要解决以下几个方面的问题这一步要解决以下几个方面的问题:1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效

25、计算载荷。 eQNu 在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。 位移插值函数需要满足相容协调条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。二、选择位移插值函数二、选择位移插值函数 1、位移插值函数的要求 形函数的性质：1相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。2形函数之和恒等于 1。2、位移插值函数的收敛性完备性要求：、位移插值函数的收敛性完备性要求： 1） 位移插

26、值函数必须包含常应变状态。位移插值函数必须包含常应变状态。 2位移插值函数必须包含刚体位移。位移插值函数必须包含刚体位移。3、复杂单元形函数的构造、复杂单元形函数的构造 对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。eeLxLxN,1以阶梯轴的形函数为例eLxN 11eLxN2两个形函数分别为在 节点有：i在 节点有：j0121NN1221NN在任何点有：121 NN 这里我们称 为 的相关节点， 为 的相关节点，其它点均为不相关节点。 ij1N2N 使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚

27、功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。1、计算单元弹性应变能 dVTVee21 单元体积。单元体积。 eV eQNu由几何关系代入前式有： eVTTeeTTVeeQdVBDBQdVQBDBQee2121令： dVBDBKTVee称单元刚度矩阵，简称单刚。 这样单元弹性应变能可以表示为： eeTeeQKQ21三、 单元分析目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。2 2、计算单元外力功、计算单元外力功 dVFNQdVFNQdVFuWbTVTebTTVebTVebeee dV

28、FNPbTVebe ebTeebPQW 1) 体力虚功令： 称单元等效体力载荷向量。 单元体力虚功可以表示为： eeeAsTTesTTAesTAesdAFNQdAFNQdAFuW1112) 表面力虚功单元上外力已知的表面 ,注意！这里只考虑结构的边界表面。eA1eAsTesdAFNP1令： 称单元等效面力载荷向量。 单元表面力虚功可以表示为： esTeebPQW 从前面推导可以看出：从前面推导可以看出： 单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单

29、元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。 所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。几点说明：几点说明： 1单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，意义是单元含有刚体位移；对称性

30、是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。程序设计时可以充分利用。2按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。四、整体分析四、整体分析 目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理：目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理： 1、计算整个结构的弹性应变能。 QKQQKQQKQeTneeTneeeTenee212121111令： eKK结构整体刚度矩阵总刚） 此时结构的弹性应变能可以表示为： QKQT21结构的弹性应变能可计算的部分只有 K所以我们说，结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的计算。2、计算整个结构的外力虚功。 iTneesTeneebTeiTneesneebPPQPQPQPQWWW1111将 变换形式写成 ebTePQ, ebTPQ, 将 变换形式写成 esTePQ, esTPQ,外力虚功可以表示