第十章热传导方程的付氏解

1、第十章第十章 热传导方程的付氏解热传导方程的付氏解第一节第一节 数学物理方程数学物理方程热传导类型方程的建立热传导类型方程的建立 1.1热传导物理建模热传导物理建模 (1)物质是热量传递的媒质物质是热量传递的媒质,热量可以在媒质中传递热量可以在媒质中传递,可以从高温媒质传到低温媒质可以从高温媒质传到低温媒质,或从媒质的高温部分传或从媒质的高温部分传到媒质的低温部分到媒质的低温部分. (2)媒质被看成是连续的媒质被看成是连续的(两种媒质分界面除外两种媒质分界面除外),故故媒质的物理性质可用连续函数来表示媒质的物理性质可用连续函数来表示,如如:质量密度质量密度,热热传导系数传导系数,等等. (3)

2、热量在传递的过程中遵守热力学第一定律热量在传递的过程中遵守热力学第一定律,第零第零定律定律,以及第二定律以及第二定律. (4)热量传导遵守傳里叶定律和牛顿散热定律热量传导遵守傳里叶定律和牛顿散热定律.1.2热传导方程的数学建模热传导方程的数学建模 推导固体的热传导方程时，推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律： 热传导的傅里叶定律傅里叶定律： dt时间内，通过面积元时间内，通过面积元 dS流入小体积元的热量流入小体积元的热量 dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率与沿面积元外法线方向的温度变化率 un成正比成正比 dSd

3、t也与也与和和成正比，即：成正比，即： dd duQkS tn （10.1.1） 式中式中k是导热系数是导热系数 图9.8取直角坐标系取直角坐标系Oxyz, Oxyz, 如图如图9.8 9.8 ),(tzyxu表示表示t t时刻物体内任一点（时刻物体内任一点（x,y,zx,y,z）处的温度）处的温度 在d dt t 时间内通过ABCD面流入的热量为 d|()| d d d()| d d dxxxuuQkt y zkt y znx 时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为同样，在dt()d d d dukt x y zyy()d d d dukt x y zzz在d dt t 时间内通过EF

4、GH面流入的热量为 |()|x dxx dxx dxuudQkdydzdtkdydzdtnx 净流入量为净流入量为:|(| )()xx dxx dxxuuudQdQdQkkdydzdtkdtdxdydzxxxx 在在t t到到dtt时间内，小体积元的温度变化是时间内，小体积元的温度变化是 dutt0C如果用和分别表示物体的密度密度和比热比热，则根据能量守恒定律得热平衡方程 0()()()d d d dd d d duuuukkkt x y zCt x y zxxyyzzt或写成或写成 0()()()uuuukkkCxxyyzzt (10.1.2)22222222222220()()kkuuuu

5、uuuacxyzxyzt 当当 是是常常数数时时2220uuatx一一维维时时: :(10.1.3)1.3 扩散方程扩散方程 2220 (0)uuattx (10.1.4) 其中2.aD将一维推广到三维，即得到将一维推广到三维，即得到 22222220 (0)uuuuattxyz (10.1.1) 上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式 若外界有扩散源，且扩散源的强度为若外界有扩散源，且扩散源的强度为( , , , )f x y z t这时，扩散方程应为这时，扩散方程应为 2222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz（10.

6、1.6） 从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述但可以用同一类方程来描述. . 1.4 1.4 热传导（或扩散）方程的定解条件热传导（或扩散）方程的定解条件 (1) 初始条件初始条件 热传导方程的初始条件一般为热传导方程的初始条件一般为 ( , , ,0)( , , )u x y zx y z（10.1.7） (2) 边界条件边界条件(0)t t 第一类第一类: 已知任意时刻已知任意时刻边界面上的温度分布 ( , , , )|( , )u x y z tft (10.1.8) 直接给出函数u 在边界上的数

7、值,所以是第一类边界条件. ( ,0)( )u xx 一一维维时时: :( , )( )u l tt 例例: :第二类第二类 已知任意时刻已知任意时刻(0)t t 从外部通过边界流入物体内的热量。从外部通过边界流入物体内的热量。 设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为( , ) t. 考虑物体内以边界上面积元考虑物体内以边界上面积元dS为底的一个小圆柱体，为底的一个小圆柱体，如图如图9.109.10所示所示. . 图9.10dS物体内部通过流入小柱体的热量为 u小柱体内温度升高所需要的热量()cdSu 随着柱高趋于零而趋近于零 所以当0由热平衡方程

8、给出: dd( , )d d0ukSttS tn 0ddSS考虑到时, 则得 1|( , )Sutnk (10.1.9) ( , )|( ),|0,x lx lxx lu x tjktxul 例例已已知知一一维维热热传传导导杆杆一一端端的的热热流流强强度度: :特特别别地地表表 端端绝绝热热. .第二节第二节 一维热传导一维热传导(扩散扩散)混合问题的付氏解混合问题的付氏解例例:2, (0,0)(10.2.1)(0, )0, ( , )0, (0)(10.2.2)( ,0)( ), (0)(10.3.3)txxua uxl tutu l ttu xxxl 分离变数解法与第九章相同分离变数解法与

9、第九章相同思路：求同时满足泛定方程思路：求同时满足泛定方程10.1和边界条件和边界条件10.2的半的半通解通解,再想办法让半通解满足初始条件再想办法让半通解满足初始条件.设泛定方程具有如下形式的解设泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛定方程代入泛定方程9.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中的式中的k称为泛定常数称为泛定常数得两个常微分方程如下得两个常微分方程如下:220(10.2.4)()0(10.2.5)Xk XTakT 将将( , )( )( )u x tT t X x 代入边界条件代入边界条件10.2有有:(0, )(0)

10、 ( )0( , )( ) ( )0utXT tu l tX l T t 对于求非对于求非0解来说解来说,T(t)不恒为不恒为0,所以所以:(0)( )0(10.2.6)XX l 得特征值问题得特征值问题:20(0)0,( )0Xk XXX l 首先首先000,0( )kkX xAB x 代入代入(10.6)得得:000,0( )0( , )0ABX xu x t 固固:0k 但可能是实数也可能是复数但可能是实数也可能是复数方程方程(10.4)的通解为的通解为:( )sin()X xAkx 代入方程代入方程(10.6)得得:(0)sin0( )sin()0XAX lAkl A不为不为0,否则为

11、否则为0解解.所以所以sin0,0取取且且:sin0,0sin0,(1, 2, 3,)nAklAklkln 又因又因k是以平方的形式出现在上边的方程中是以平方的形式出现在上边的方程中,固负数固负数时时k值与正数的值与正数的k值得到的是相同解值得到的是相同解,所以所以k只取正值只取正值,即即:,(1,2,3,)(10.2.7)nnkknl 把把kn代入方程代入方程9.4得到相应的得到相应的T的解为的解为:22( )(10.2.8)na ktnnT tC e 得一系列满足泛定方程和边界条件的特解得一系列满足泛定方程和边界条件的特解22( , )sin,( ,0)sin,(1,2,3,)na ktn

12、nnnnnux tc ek x uxck xn 很明显很明显,这个解一般地并不满足初始条件这个解一般地并不满足初始条件( ,0)( )u xx 但因方程和边界条件都是齐次的但因方程和边界条件都是齐次的,固可设其半通解为固可设其半通解为:221( , )sin(10.2.9)na ktnnnu x tc ek x 令其满足初始条件令其满足初始条件(10.2.3)得得:1( ,0)sin( )nnnu xck xx 只要只要 是连续或分段连续的是连续或分段连续的,上式是可以得到满足上式是可以得到满足的的,只需取只需取( )x 02( )sin(10.2.10)lnnckdl 即即 的付里叶系数的付

13、里叶系数.( )x 其解为其解为:22102( , )( )sinsinnla ktnnnu x tkd ek xl 对于非齐次方程和非齐次边界条件对于非齐次方程和非齐次边界条件,其处理方法和第九其处理方法和第九章完全相同章完全相同,这里略过这里略过.第三节第三节 一维热传导初值问题的付氏解一维热传导初值问题的付氏解2,(,0)(10.3.1)( ,0)( ),()(10.3.2)txxua uxtu xxx 设泛定方程具有如下形式的解设泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛定方程代入泛定方程9.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中

14、的式中的k称为泛定常数称为泛定常数得两个常微分方程如下得两个常微分方程如下:220(10.3.4)()0(10.3.5)Xk XTakT 由于方程由于方程10.3.1没有边界条件，固不构成特征值问题没有边界条件，固不构成特征值问题,因因而对而对k的取值没有限制。固此先解方程的取值没有限制。固此先解方程10.3.50k 当当:0000,TTXXcd x有有:0000()uT cd x 00,c d为积分常数，且只能取为积分常数，且只能取 否则有：否则有：00d 0 xu 这与初温有限的无源热传导的实际不符！这与初温有限的无源热传导的实际不符！从而得：从而得：000uT c 当：当：0k 22(

15、)k a tT te K不能是复数，否则温度会随时间作振荡，这与能不能是复数，否则温度会随时间作振荡，这与能量守恒不符，固量守恒不符，固k只能是实数，且可只取大于零的只能是实数，且可只取大于零的实数，因实数，因k是以平方的形式引入方程的。这时是以平方的形式引入方程的。这时( )cos( )sinkxxa kkxb kkx 得到一系列特解：得到一系列特解：（称为自然边界条件。也（称为自然边界条件。也构成一类特征值问题）构成一类特征值问题）22 ( )cos( )sin, (0)k a tkuea kkxb kkxk 很显然这些特解一般地并不满足初始条件，取这些解很显然这些特解一般地并不满足初始条

16、件，取这些解的线性叠加作为问题的半通解，并要求其满足所给初的线性叠加作为问题的半通解，并要求其满足所给初始条件，即始条件，即220( , ) ( )cos( )sin(10.3.6)k a tu x tea kkxb kkx dk 和：和：0( ,0) ( )cos( )sin( ) (10.3.7)u xa kkxb kkx dkx 这正是这正是 的付里叶积分，而的付里叶积分，而a(k),b(k)正是其付正是其付里叶系数。里叶系数。( )x 11( )( )cos, ( )( )sin(10.3.8)a kk db kk d 代入得：代入得：2201( , )( )coscos1( )sin

17、sink a tu x tek dkxk dkx dk 222201( )cos ()1( )cos ()2k a tk a tedkkx dedkkx d 221( )coscos21( )sinsin2k a tek dkxk dkx dk 22( , ) ( )cos( )sin(10.3.9)k a tu x teA kkxB kkx dk 以及以及1( )( )cos2(10.3.10)1( )( )sin2A kk dB kk d 由由5.21式还可将付里叶积分形式的解改写为积分形式式还可将付里叶积分形式的解改写为积分形式的解如下的解如下: 2222220041( , )( )co

18、s ()1( )cos ()1( )(10.3.11)2k a tk a txa tu x tedkkx ddekx dkedat 可以证明上式满足泛定方程和初始条件可以证明上式满足泛定方程和初始条件.第四节第四节 一端有界的热传导问题一端有界的热传导问题 2241( , )( )(10.3.11)2xa tu x tedat 初值问题初值问题(两端无界两端无界)的解的解具有如下性质具有如下性质:(1)若若 为奇函数为奇函数,即即:( )x ()( )xx 则则:(0, )0ut (2)若若 为偶函数为偶函数,即即:( )x ()( )xx 则则:(0, )0 xut 由性质由性质(1)可得下列半无界问题的解可得下列半无界问题的解2,(0,0)(0, )0,(0)( ,0)( ),(0)txxua uxtuttu xxx 作奇延拓作奇延拓:2,(,0)( ),(0)( ,0)( )(),(0)txxUa UxtxxU xxxx 此无界问题的解恒满