《中值定理讲座》PPT课件

1、整理课件1整理课件2中值定理中值定理 (The Mean Value Theorem).0)( ),(),()(),(,)(: fbabfafbabaxfRolle使使得得则则且且上上可可导导，在在上上连连续续，在在若若定定理理).)( )()(),(),(,)(:abfafbfbababaxfLagrange 使使得得则则上上可可导导，在在上上连连续续，在在若若定定理理中中值值.)( )( )()()()(),(),(,0)( ,),(,)(),(: FfaFbFafbfbabaxxFbabaxFxfCauchy 使使得得则则导导上上可可在在上上连连续续在在若若定定理理整理课件3.)()!1

2、()()()()(!)()(! 2)( )( )()(,1),()(010)1(00)(2000000之之间间的的某某个个数数与与是是而而其其中中则则阶阶导导数数内内具具有有直直到到的的某某个个开开区区间间在在含含有有若若中中值值定定理理：xxxxnfxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnbaxxfTaylornnnnnn .)()()()(!)()(! 2)( )( )()(,),()(000)(2000000nnnnnxxoxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnbaxxfTaylor 其中其中则则阶导数阶导数内具有直到内具有直到的某个开区间的某个开区间在含有在含有若若定理：定理

3、：整理课件4例例1 1.)( )()( ,:).,(, 0)()(,),()(),(212121的的一一个个零零点点之之间间至至少少存存在在在在证证明明且且上上可可微微在在若若函函数数xQxpxPxxbaxxxPxPbaxQxP 证明证明：,)()(,)(21再由已知可得再由已知可得并令并令不妨设不妨设xQexPxfxx 0)()()(111 xQexPxf0)()()(222 xQexPxf.,)(21定定理理的的条条件件上上满满足足在在显显然然Rollexxxf0)( )()( )( )( QPPefQ从而从而0)( )()( QPP.)( )()( ,21的的一一个个零零点点内内至至少少

4、存存在在即即在在 QPPxx 使使得得定定理理根根据据,),(21xxRolle 例例2 2| )()(|)(4)( ),(:, 0)( )( ,)(2afbfabfbabfafbaxf 使使证证明明且且上上二二阶阶可可微微在在若若函函数数证证,)2(! 2)(2)()()2(21abfabafafbaf 根据根据Taylor定理定理,)2(! 2)(2)()()2(22abfbabfbfbaf ).,2(),2,(21bbabaa 其其中中于是于是| )( )( |8)(| )()(|122 ffabbfaf | )( | )( |8)(122 ffab 整理课件6|,)( | )( |12

5、 ff 不不妨妨设设则则有有，取取1 ).,(|,)()(|)(4| )( |2baafbfabf 整理课件7)( )( )()(),(. 2. 0)(),(. 1:. 0)()()()(, 0)( , ,)(,)(2 gfgfbaxgbabgagbfafxgbaCxgxf 使使内内在开区间在开区间证明证明且且若函数若函数例例3 3证明：证明：, 0)(),(. 1 cgbac使使若若定理，得到定理，得到应用应用上对上对则分别在则分别在Rollexgbcca)(,. 0)( )( ),(),(2121 ggbcca使使得得定定理理，于于是是应应用用上上对对再再在在Rollexg)( ,21 .

6、 0)( ),(),(3213 gba使使得得矛盾！矛盾！整理课件8则则设设,)()( )( )()(. 2xgxfxgxfxF ，0)()( )( )()( agafagafaF. 0)()( )( )()( bgbfbgbfbF定定理理，应应用用上上对对在在RollexFba)(,使使),(ba . 0)()( )( )()( gfgfF故故又又, 0)( , 0)( gg.)( )( )()( gfgf 整理课件9例例4 4.| )( | )0( |), 0()(,| )( |, 0MaaffaxfMxfa 试试证证：内内取取到到最最大大值值，在在且且上上设设在在证明：证明：,), 0(

7、,)(处处达达到到最最大大值值在在设设accxxf . 0)( cf于是于是中中值值定定理理得得到到由由 Lagrange), 0(,)( )0( )( 11ccffcf ).,(),)( )( )( 22accafcfaf 从而从而,| )( | )0( |1Mccff ),()( | )( | )( |2caMcafaf 故故.| )( | )0( |Maaff 整理课件10例例5 5. 8)( ),1 , 0(, 1)(min, 0)1()0(,1 , 0)(1 ,0 fxfffxfx使使则则且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证明：证明：, 0)1()0(,1 , 0)(1 ffC

8、xf由由已已知知. 0)( , 1)()(min)1 , 0(111 ,01 xfxfxfxx满满足足故故定定理理根根据据 Taylor), 0(),( 2)( )()0(11121111xfxxxfxff ).1 ,(),( 2)1()1)( )()1(12221111xfxxxfxff 整理课件111)( 2)1()( 2221121 fxfx，取取时时当当11,21 x,2121 取取时时当当 x. 8| )( | f于是于是例例6 6.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(, 1 , 0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给

9、定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1 , 0)(上上连连续续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存存在在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff(1)(2), 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由(1),(2)有有)()(1bafbbafa )( fbaa (3),(4)()(11 ff )( fbab (3)+(4),得得)()( ff .)()(bafbfa

10、 整理课件14. 1)( )(),(,:, 1)()(,),(, ,)( ffebabfafbabaCxf使使证证明明且且可可导导在在设设例例7 7分析：分析： effe )( )(,使使找找 xxxxexfe|)(|)(abafebfeab )()(abeeab 整理课件15例例8 8.)( ), 0(), 0,| )(|, 1)0(,), 0()(0001xxexfxxexffCxf 使使求证：求证：且且设函数设函数证：证：，取取xexfx )()( . 0)0(, 1)0( 得得由由f，时时而而当当0| )(|)()(,0 xxexfexfxx , 0)(lim| )(| xfexfxx

11、有有根根据据. 0)(lim)(lim xxxexfx 所所以以)., 0()(1 Cx 由已知可得由已知可得), 0,)( , 0)( xexfxx则则若若 .), 0()(内部达到极小值内部达到极小值在在否则，否则，x .)( ), 0(000 xexfx 使使于于是是，整理课件16.21)(lim. 2;)( )0()()1 , 0()(, 0),1 , 1(. 1:, 0)( 1,1()(02 xxxxffxfxxxxfCxfx 使使唯一唯一证明证明），且），且若函数若函数例例9 9证：证：中中值值定定理理，由由 Lagrange. 1使使),1 , 0()(, 0),1 , 1( x

12、xx )1()( )0()(xxxffxf 满足满足且且还还若若)()(),1 , 0()(11xxx )2()( )0()(1xxxffxf )( )( )2()1(1xxfxxf 得得由由. 0)( ,)(),(,1 fxxRolle使使之之间间在在定定理理再再由由于于已已知知矛矛盾盾！.)(是是唯唯一一的的从从而而，x 整理课件17公公式式由由Taylor. 2.0,)( 21)0( )0()(2之之间间于于介介于于xxfxffxf 2)( 21)0( )0()()( xfxffxfxxxf 故故)0( )( )( 21fxxfxf 从从而而)()()0( )( lim)( 21lim0

13、0 xxxfxxffxx )(lim)0( )0( 210 xffx .21)(lim0 xx 整理课件18推论：推论：证明：证明：，阶阶非非零零的的导导数数存存在在设设)1(1)( nnxf)(!)( ! 1)()()(hxfnhxfhxfhxfnn 11lim0 nh 证证明明：)()!1()(!)( ! 1)()()1(1)( nnnnfnhxfnhxfhxfhxf) ,(),(!)()!1()(!)()1(1)(hxxhxfnhfnhxfnhnnnnnn )()1()()()1()()( nnnfnhxfhxf),(),()1()()1()1(hxxfnhhfnn 11lim0 nh

14、整理课件19. 1)()( ), 0(,. 2;)()1 ,21(. 1:, 1)21(, 0)1()0(,)1 , 0(1 , 0)( ffRffffCxf使使使使证证明明可可导导在在，设设例例1010证：证：xxfx )()(. 1 令令,1 ,21)(Cx 则则. 01)1()1(, 021)21()21( ff 且且. 0)()1 ,21( 使使由介值定理由介值定理.)( f即即整理课件20)()(. 2xxfexFx 取取. 0)()0(), 0(, 0)( FFCxF且且可可导导，在在则则. 0)( ), 0( FRolle使使定定理理由由0)(1)( ffe即即. 1)()( f

15、f于于是是整理课件21.)( 1,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(, 0)( ,)1 ,0(1 , 0)(121 niinnfnnffxfCxf 使使个不同的点个不同的点内存在内存在在在对任意正整数对任意正整数证明证明可导可导在在，设设例例1111分析：分析：.)( 1,121 niinnf 使使找找)()()( 111 iiiiixfxfxxf ,ix选择选择nxfxfii1)()(1 使使整理课件22证：证：., 2 , 1,)(,1 , 0,21ninixfxxxin 使使，由介值定理由介值定理上上单单调调增增加加，在在故故又又1 , 0)(, 1)1(, 0)0(, 0)(

16、xfffxf 从而从而101210 nnxxxxx由由Lagrange中值定理中值定理., 2 , 1)( )()(11nixxfxfxfiiiii ., 2 , 1)()()()()( 1111nixxnxfxfxxfiiiiiii .)()( 1111nxxnfniiinii 整理课件23例例1212).,(,2| )( | :,| )( |,| )(|,),()(2020 xMMxfMxfMxfxf求求证证且且上上二二阶阶可可导导在在设设函函数数证证, 0),( hx,)( 21)( )()(21hfhxfxfhxf ,)( 21)( )()(22hfhxfxfhxf 二式相减得二式相减得221)( )( 21)( 2)()(hffxhfhxfhxf )( )( 42)()()( 21 ffhhhxfhxfxf 整理课件242| )( |20hMhMxf 202022min| )( |MMhMhMxf |)( | )( |42| )(| )(| )( |21 ffhhhxfhxfxf 的的任任意意性性由由 h整理课件25例例1313. 1)()(:, 0)0( )2()()()()()()1()()()()()(,)(, )(22 xgxffyfxgygxfyxgygxgyfxfyxfRxgxf求求证证若若且且满满足足不不是是常常数数