高二数学课件：二项式定理

1、二二 项项 式式 定定 理理(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么将那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们展开后，它们的各项是什么呢？的各项是什么呢？引入引入C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系

2、数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20 ,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)

3、各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式代表着这些项在展开式中出现的次数中出现的次数每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C40 ,则则a4前的前的系数为系数为C40恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C41种，则种，则a3b前的系数为前的系数为C41恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为C42恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，则种，则ab3前的系数为前的系数为C43恰有恰

4、有4个取个取b的情况有的情况有C44种，则种，则b4前的系数为前的系数为C44则则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4二项展开式定理二项展开式定理右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的二项展开式二项展开式注注1）二项展开式共有）二项展开式共有n+1项项2）各项中）各项中a的指数从的指数从n起依次减小起依次减小1，到，到0为此为此各项中各项中b的指数从的指数从0起依次增加起依次增加1，到，到n为此为此Cnr an-rbr：二项展开式的：

5、二项展开式的通项通项，记作，记作Tr+1Cnr ： 二项式系数二项式系数一般地，对于一般地，对于n N*有有如如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2 Cnr xr + xn011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 应应 用用4111)x例例 ： 展展 开开 （ 注：注：1）注意对二项式定理的灵活应用）注意对二项式定理的灵活应用3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将）求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开二项式展开2）注意区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系

6、数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积rnC解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （ 44423414641()1.Cxxxxx 应应 用用项项的的系系数数二二项项式式系系数数和和第第项项的的，并并求求第第：展展开开例例63)12(26xx 解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为2615C 第六项的系数为第六项的系数为5562( 1)12C

7、 例例3、求（、求（x+a)12的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4项项74)x例例 、( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展开开式式的的第第4 4项项的的系系数数831)xxx ( (2 2) )求求（的的展展开开式式中中 的的系系数数和和中中间间项项解解:12()13,xa的展开式有项 倒数第4项是它的第10项.912 99399 112220.TC xax a解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四项系数为第四项系数为280.89 21891(2)()( 1).rrrrrrrTC xC xx 339923,84.rxC 3由得r=3.故 的系数为(-1)48 444 1815,()70.TC xx中间一项是第 项练习：练习：1 1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 93()3xx1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:练习：练习：2 2、求、求 的展开式的中间两项的展开式的中间两项 93()3xx解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项。项。49 44354 193( )()423xTTCxx359 55265 193( )()423xTTCxx 小小 结结1）注意二项式定理）