【高中数学】利用导数证明不等式

1、第四节 利用导数证明不等式总结常考考点 课堂考点探究 破解高考疑难0考点1作差法构造函数证明不等式喉通法(1)欲证函数不等式/(x)>g(x)(x>。)，只需证明g(x)>o(x>4), 设 h(x)=fix)g(x)t 即证 h(x)>O(x>d).若 h(a)=O, h(x)>h(a)(x>a).接下来 往往用导数证得函数/?(x)是增函数即可.(2)欲证函数不等式/U)>g(x)(x W /, /是区间)，只需证明/(x)g(x)>0(x£ /).设"。)=凡¥)g(x)(x£/),即证

2、/z(X)>O(xG/)t 也即证人(x)min>o(x£/)(若 力(x)min不存在，则须求函数力的下确界)，而这用导数往往容易解决.典例 已知函数/(x)=ax+，dnx在x=e ?(e为自然对数的底数)处取得极小 值.(1)求实数。的值；(2)当 x>l 时，求证：/(x)>3(x-l).解因为於)定义域为(0, +8),於)=办+如招所以(x)=a+lnx+l,因为函数人处在x=e-2处取得极小值，所以, 七一2) = 0,即 +lne2+l=0,所以。=1,所以 f' (x) = ln x+2.当 / (x)>0 时，x>e-2

3、;当 / (x)V0 时，OVxVe_2,所以火x)在(0, e2)上单调递减，在(。一2,+8)上单调递增，所以J(x)在x=e-2处取得极小值，符合题意，所以“=1.(2)证明：由(1)知 a = 1,所以 j(x)=x+xn x.令 g(x)=/U)-3(x-l),即 gQ)=.dnx-2x+3(x>0).gr (x) = lnx-1,由 g' (x)=0,得1=«.由 g' (x)>0,得 x>e;由 g' (x)V0,得 0VxVe.所以g(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +8)上单调递增，所以g(x)在(1, +8)上的最

4、小值为g(e) = 3-e>0.于是在(1, +8)上，都有g(x)2g(e)>0,所以危)>3(工一1).!5点评将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在 固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由/a)W/U)max或火X)X)min直 接证得不等式.霰典超(2019广州模拟)已知函数/a)=9一ax(e为自然对数的底数，a为常 数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数兀。的极值：(2)证明：当x>0时，VeL解由人幻=9-ax,得/'。)=9一%因为/' (0)=14= 1,所以4 = 2,所以兀r)=e

5、、-2x, f (x)=ev-2.令广(x)=0,得 x=ln2,当xVln2时，f (x)<0,兀在(一8, In 2)上单调递减; 当x>ln2时,f (x)>0,兀1)在(In 2, +8)上单调递增. 所以当x=ln2时，/U)取得极小值,且极小值为用n2)=eE221rl 2=2-21n 2,於)无极大值.(2)证明:令 g(x)=eA x2,则/(A)=ev-2r.由(1)得屋 Q)=/U)切ln2)>0,故g(x)在R上单调递增.所以当人00时，g(x)>g(0)=l>0,即 Fvel考点2拆分法构造函数证明不等式喂通法 若«4nm&

6、gt;ga)m”，则/a)>g(X),常借助此结论，将要证明的不等 式拆、分成两个函数，然后比较它们的最值.典例 设函数/a)=d (x+l)ln X,曲线y=/(x)在点(1, /)处切线的斜率为。.(1)求。的值；(2)求证：当 0 VxW2 时，fix) >2.解(1/ (x)=2ar-lnx-l-;, 人由题意，可得/ (1)=2“-2=0,所以c/=L(2)证明：由(1)得加)(x+ l)ln x,要证当 0VxW2 时，只需证当0VxW2时，x一见三一lnx>J,即xlnx>g+. X/.-V Z令 g(x)=x-Inx, h(x) =In x29令 g&#

7、39; (x)=l;：=0,得 x=l, A易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故当 0VXW2 时,g(X)min = g(l)=L因为/?' (x)= l F',当 0VxW2 时，h' (x)>0,所以/?(x)在(0,2上单调递,一，l+ln2增，故当 0 VxW2 时，/7(X)max = /?(2)=VI,即，2(X)maK Vg(x)min.故当 0VxW2 时，/?(x)Vg(x),即当 0VxW2 时，f(x)>y.|5点评在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值 问题，可以借助两个函数的最值进行证明

8、."典驰 已知函数 f(x)=en xax(aGR).(1)讨论/U)的单调性；(2)当 a=e 时，求证：xf(x)eA+2ex0.解(1/ W=1-a(x>o), 人若cWO,则r (x)>0, /W在(o, +8)上单调递增;若。>0,令/ 3) = 0,得 x=。，则当 OVxV时，f W>o；当 时，fr(x)V°，故於)在(o,上单调递增，在U，+8)上单调递减.eA证明：因为x>0,所以只需证;(x)W-2e, X当a=e时，由(1)知，/(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减，所以 /(X)max =f( 1)

9、 = e.e-'(xl)eA记g。)=不一2e(x>0),则 / (x)=-,当 OVxVl 时,g' (x)<0, g(x)单调递减;当 x>l 时，g1 (x)>0, g(x)单调 递增，所以 g(X)min = g(D= 一8综上，当入>0时，/(x)Wg(x),即兀t)W2a 即 玳)一e"+2ex<0. A考点3换元法构造函数证明不等式皖通法换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数/再结合 所证问题，巧妙引入变量c=G，从而构造相应的函数.其解题要点为:联立消参利用方程大用)=兀切消掉解析式中的参数。抓商构元令c=

10、3,消掉变量r,4，构造关于c的函数力(c) 42用导求解利用导数求解函数力(C)的最小值，从而可证得结论典例 已知函数/(x) = lnxax(x>0),。为常数，若函数/(x)有两个零点, X2(XWX2)* 求证：XX2>C2.证明不妨设可>也>。，因为 In即一ati=O, ln%22 = 0,“，.”In xj In X2所以 In xi + ln %2=+x2), In xi In xi=a(x -xi), 所以a欲证xX2>e29即证In xi+ln应>2.2因为 In xi + In xi=a(x +x2),所以即证>一工一,X &qu

11、ot;TX2nxi -lnx> 2所以原问题等价于证明丁厂>.，即InX1>2（X1X2）X2 X +%2令C=¥(C>1),则不等式变为lnc>丝井.人 2C I 12(c1)令(c) = lnc(.+ , c>l,一乙 ,14(c-所以"(c)=3一开行=而方>°，所以/?(C)在(1, +8)上单调递增，所以/i(c)>(l)=ln 10=0,2( c 1)即In c - >0(c> 1),因此原不等式xg>e2得证.c十15点评破解含双参不等式证明题的三个关键点(1)转化，即由已知条件入手，

12、寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不 等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得 结果."典题已知函数/(x) = lnxa£R.(1)当a=0时,求函数於)的图象在(1,犬1)处的切线方程；(2)若 4=2,正实数内，X2 满足/(X|)+/(X2)+X1X2 = O,求证：工1+工2力',1【解| (1)当"=0时，/(x) = lnx+x,则所以切点(1,1),又因为r(X) ="+1,所以切线斜率(1) = 2,故切线方程为

13、)，一1=2。-1),即Zt-y-l =0.(2)证明：当 a=2 时，/(x) = lnx+x(x>0).由 fM +f(X2)+xX2 = 0,得 In xi +x?+羽 + In xi+x?+x2 +x 1x2=0,从而(X1 4-X2)2 +(X1 +x2)=XX2 - ln(XlX2),1 t 1令/=XX2(f>0),令 8(f) = fInf,得 0,(f)=l7=-,易知贝f)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增，所以3力夕(1)s 1=1 ,所以(X1+X2)2 +(X1+X2)N1,因为X>0, X2>0,所以幻+也力一一成立课外

14、素养提升 逻辑推理用活两个经典不等式逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本 保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理 和运算过程.(1)对数形式：xl+lnx(x>0),当且仅当x=l时，等号成立.(2)指数形式：ex+KxeR),当且仅当x=0时，等号成立.进一步可得 到一组不等式链：e、>x+1 >x> 1+ln x(x>0,且 xWl).【例1】(1)已知函数1%)=而之二？则)，=/U)的图象大致为()(2)已知函数/(x)=e*, xWR.证明：曲线y=/U)与曲线y=*+x+l有唯一 公共点.(

15、1)B 因为人外的定义域为j+1>0,n(x+ l)xW0,即 且xWO,所以排除选项D.当x>0时，由经典不等式x>l+lnx(x>0),以 x+1 代替 x,得 x>ln(x+l)(x> 1,且 xWO),所以 ln(x+l) xV0(x>-l,且 xWO),即 x>0 或一 IVxVO 时均有危)V0, 排除A, C,易知B正确.(2)证明令 g(x)=/(x) %2+x+ 1 j=e'A-2X 1, x£R,则 g' (x)=evx 1,由经典不等式e'2x+l恒成立可知，g' a)20恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0) = 0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.例2 设函数/(x) = lnxx+1.(1)讨论/U)的单调性；(2)求证：当x£(l, +8)时，1导工解(1)由题设知，/U)的定义域为(0, +8),f (x)=-l,令/ (x)=0,解得 x=l.当o<x<i时，r(幻&g