材料力学第5章弯曲内力-11-1

1、第四章弯曲内力第四章弯曲内力14.1 弯曲的概念和实例4.2 受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩4.4 剪力图和弯矩图4.5 M、Q、q之间的关系4.6 平面曲杆的弯曲内力目目 录录第四章弯曲内力第四章弯曲内力2一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点受力特点:作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线 变形特点变形特点:使原为直线的轴线变为曲线使原为直线的轴线变为曲线F纵向对称面纵向对称面轴线轴线梁梁F4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力3以弯曲变形为主要变形的杆件称为以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁梁。 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直

2、梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁。非对称梁。对称弯曲对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。FqFAFB纵向纵向对称对称面面4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力4二、工程实例二、工程实例1. .吊车梁吊车梁4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力52. .摇臂钻的臂摇臂钻的臂4.1 弯曲的

3、概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力64.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力74. .跳板跳板跳台跳板4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力84.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第四章弯曲内力第四章弯曲内力9一、梁支座的简化一、梁支座的简化a)滑动铰支座滑动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化阻止阻止X,YX,Y方向移动方向移动阻止阻止 Y方向移动方向移动阻止阻止X,Y移动移动和和转动转动2.固定铰支座：有固定铰支座：有两个未知反力两个

4、未知反力1.移移(滚滚)动铰支座：有动铰支座：有一个未知反力一个未知反力3.固定端：有固定端：有三个未知反力三个未知反力第四章弯曲内力第四章弯曲内力10 二、载荷的简化二、载荷的简化(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化第四章弯曲内力第四章弯曲内力11静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式超静定梁超静定梁仅用静力平衡方程不能求得所有反

5、力的梁。仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化第四章弯曲内力第四章弯曲内力124.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化第四章弯曲内力第四章弯曲内力134.3剪力和弯矩剪力和弯矩一、一、剪力和弯矩剪力和弯矩求法求法已知简支梁，尺寸如图所示，已知简支梁，尺寸如图所示，求求m-m截面的内力截面的内力(剪力和弯矩剪力和弯矩)aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2b-截面法截面法:0 yFAy1SF-F -F = 0SAy1 F = F- F 剪力剪力( (FS ) )FSFSmm1.求反力求反力(省略省略)2.求内力求内力任一横截面上的剪力任一横截面上

6、的剪力= =的的代数和代数和该横截面任该横截面任一侧一侧所有外力所有外力第四章弯曲内力第四章弯曲内力14MM:0 CM 01 MaxFxFAy 1axFxFMAy 弯矩弯矩( (M ) )xaFAyF1FByF2baF1F2ABbxxFAyFBymm任一横截面上的任一横截面上的弯矩弯矩= =对横截面对横截面形心形心力矩的力矩的代数和代数和该横截面任该横截面任一侧一侧所有外力所有外力4.3剪力和弯矩剪力和弯矩FSFS第四章弯曲内力第四章弯曲内力15剪力剪力( (F FS S ) )任一横截面上的任一横截面上的剪力剪力= =的的代数和代数和该横截面任该横截面任一侧一侧所有外力所有外力任一横截面上的

7、任一横截面上的弯矩弯矩= =的的代数和代数和该横截面任该横截面任一侧一侧所有外力所有外力 弯矩弯矩( (M M ) )对横截面对横截面形心形心力矩力矩SiFF(,)iieiCMMF q MMMxaFAyF1FByF2bFsFs横截面形心横截面形心 外力和外力矩的正负号如何确定呢？首先看剪外力和外力矩的正负号如何确定呢？首先看剪力弯矩如何确定。力弯矩如何确定。4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力16关于弯曲内力的正负号规则是按关于弯曲内力的正负号规则是按弯曲变形弯曲变形来规定的来规定的外力矩外力矩外力矩外力矩M外力矩外力矩外力矩外力矩MMM外力外力外力外力外力外力外力外力外力外

8、力SF外力外力SFSFSF4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力17归纳：归纳：FS的符号的符号：对所取梁段上的一点而言，顺时针为：对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负。正，逆时针为负。M的符号的符号：使梁呈：使梁呈“盛水盛水”变形为正，使梁呈变形为正，使梁呈“倒水倒水”变形为负。变形为负。MMxaFAyF1FByF2bFsFs内力方向要采用内力方向要采用“设正法设正法”MMSFSF4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力18剪力剪力:所求截面一侧所有所求截面一侧所有力的代数和力的代数和弯矩弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代所求截面一侧所有力

9、对所求截面形心力矩的代数和数和什么方向的力产生正的剪力什么方向的力产生正的剪力?什么方向的力产生正的弯矩什么方向的力产生正的弯矩?FSFS外力外力外力外力MM外力矩外力矩外力矩外力矩aF1F2ABbxxFAyFBymmSiFF(,)iieiCMMF q M4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力19SiFF(,)iieiCMMF q MMMxaFAyF1FByF2bFsFsSAy1 F = F- F 1axFxFMAy 取右边呢？取右边呢？FSFS外力外力MM外力矩外力矩4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力20归纳：归纳：FS的符号的符号：对所取梁段上的一点而言

10、，顺时针为：对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负。正，逆时针为负。M的符号的符号：使梁呈：使梁呈“盛水盛水”变形为正，使梁呈变形为正，使梁呈“倒水倒水”变形为负。变形为负。求求FS、M的步骤的步骤求支反力求支反力分段定截面求内力。要采用分段定截面求内力。要采用“设正法设正法”，取受力，取受力简单部分考虑。简单部分考虑。MMSFSF4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力21例例 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FS和和M。解：解：1. .求支反力求支反力)( 47)( 41 qaFqaFByAy2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：

11、SAFqa左 2212qaaqaMA 左左aqACMA左FSA左aEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力22A右邻截面：右邻截面：S1344AFqaqaqa右 2212qaaqaMA 右右SS AAFF左右 2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：SAFqa左 2212qaaqaMA 左左aqACMA左FSA左aqACFAyMA右FSA右aEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力23D左邻截面：左邻截面：D右邻截面：右邻截面：S1344DFqa

12、qaqa右 241)2(qaaqaaaqaMD 右右SS DDFF左右 S1344DFqaqaqa左 aqaaaqaMD 41)2(左左245qa MD左FSD左aaqACDFAyMD右右FSD右aaqqa2ACDFAyaEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和弯矩剪力和弯矩第四章弯曲内力第四章弯曲内力24MM外力矩外力矩4.3剪力和弯矩剪力和弯矩FSFS外力外力 建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。第四章弯曲内力第四章弯曲内力254.3剪力和弯矩剪力

13、和弯矩)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM例例4-3-2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力第四章弯曲内力第四章弯曲内力264.3剪力和弯矩剪力和弯矩mkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截

14、面的内力FBq=12kN/mS2F2MF=8kNFAS1F1M第四章弯曲内力第四章弯曲内力27剪力方程、弯矩方程剪力方程、弯矩方程 FS=FS(x) 剪力方程剪力方程 M=M(x) 弯矩方程弯矩方程解解:AC段：段：A为原点为原点CB段：仍以段：仍以A为原点为原点115()(0)3SAFxFFxa 11115()(0)3AM xF xFxxa 222()()3SBFxFFaxl 22222()()()()3BM xFlxF lxaxl 4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式BAClFa

15、b0M1x2x已知简支梁已知简支梁,受力尺寸如图所示受力尺寸如图所示列出剪力弯矩方程列出剪力弯矩方程1.求反力求反力53AFF 23BFF 2.列剪力弯矩方程列剪力弯矩方程53AFF 23BFF 注意区间有的是闭区间，注意区间有的是闭区间，有的是开区间为什么？有的是开区间为什么？第四章弯曲内力第四章弯曲内力28剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图注意：注意： 分段求分段求FS(x)、M(x)方程方程 原点选在梁的最左边。原点选在梁的最左边。 FS、M图与载荷图上下对齐、一一对应画。图与载荷图上下对齐、一一对应画。在集中力偶作用下的在集中力偶作用下的FS、M图图MxSFx4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯

16、矩图第四章弯曲内力第四章弯曲内力29例例:已知已知:如图如图,作作FS,M图图解解:支反力支反力分段列分段列F S 、M方程方程AC段：段：CB段：段：ooABMMFFll 11()(0)oSAMF xFxal 1111( )(0)oAMM xF xxxal 22()()oSMFxaxll 2222()()()()oBMM xFlxlxaxll x221x112BACablMeFAFBMxSFx4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第四章弯曲内力第四章弯曲内力30由图知：由图知：maxmaxooSMbMFMll 结论：结论：在集中力偶在集中力偶M作用处：作用处：FS图图无改变无改变M图有突变，突

17、变量大小、图有突变，突变量大小、方向同于方向同于M（3）求控制点的坐标）求控制点的坐标AC段段xFSM0a0Ml00Ml0M al(4)绘图绘图BACablMeFAFB0M bl0M al0MlxMal0Ml00Ml0M bl CB段段FSMxSFx4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图标上绝对值标上绝对值第四章弯曲内力第四章弯曲内力31在集中力作用下的在集中力作用下的FS、M图图例例:已知：如图，已知：如图，作作FS 、M图图解解: : 支反力支反力分段列分段列FS、M方程方程ACAC段：段：CBCB段：段：ABbaFFFFll 11()(0)SAbFxFFxal1111()(0)AbM xF

18、 xFxxal22()()SBaFxFFaxll 2222()()()()BaM xFlxF lxaxll 4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图x221x112BACablFAFBFMxSFx第四章弯曲内力第四章弯曲内力32由图知：由图知：maxmax()SaFbaFabMFll 结论：结论：在集中力在集中力F F作用处：作用处：F FS S图有突图有突变，突变量大小、方向同于变，突变量大小、方向同于F FS S、M M图有尖点图有尖点. .（3 3）求控制点的坐标）求控制点的坐标(4)(4)绘图绘图ACAC段段xSFM0aFblFbl0FablCBCB段段xSFMalFal Fal 0Fab

19、l4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图MSFx221x112BACablFAFBFFblFalFabl标上绝对值标上绝对值第四章弯曲内力第四章弯曲内力33在均布载荷作用下的在均布载荷作用下的FS,M图图例例:已知：如图，已知：如图，作作FS、M图图解解: :支反力支反力列列FS、M方程方程12ABFFql 1( )(0)2SFxqlqxxl 2111( )(0)22M xqlxqxxl 22111( )()(0)228lM xq xqlxl 4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图x1BAqlFAFBMSF第四章弯曲内力第四章弯曲内力3428ql由图知：由图知：结论：结论：在均布载荷作用处：在均布

20、载荷作用处：Q Q图为倾斜直线，图为倾斜直线，M M图为抛物线。图为抛物线。抛物线凸凹方向：抛物线凸凹方向：当当M M为二次函数时，用为二次函数时，用“下雨打伞下雨打伞”规则。规则。当当M M为二次以上函数时，为二次以上函数时，2maxmax1128SFqlMql220d Mdx 有有极极大大值值上上凸凸220d Mdx 有有极极小小值值下下凸凸（3 3）求控制点的坐标）求控制点的坐标ACAC段段xSFM02l2ql028qll02ql 04.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图MSFx1BAqlFAFB2ql2ql第四章弯曲内力第四章弯曲内力35例：例：已知如图，已知如图，作作FS 、M图图解：

21、解： 支反力支反力分段列分段列FS、M方程方程CA段：段：AD段：段：DB段：段：14.53.5ABFKNFKN ( )3(02)SFxxx 2213( )(02)22M xqxxx ( )14.53(26)SAFxFqxxx2213( )(2)(4.83)6.04(26)22AM xFxqxxx ( )3.5(68)SBFxRx ( )(8)3.5(8)(68)BM xFxxx 4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAq=3kN/mFAFBCM=3kN mD2m2m4m第四章弯曲内力第四章弯曲内力366kN m6.04kN m4kN m7kN m6kN8.5kN3.5kN（3 3）求控制点的

22、坐标）求控制点的坐标(4)(4)绘图绘图CA段段xSFM026006AD段段xSFM265 . 85 . 346DB段段xSFM6875 . 35 . 30(5)(5)特殊点的处理特殊点的处理 在AD段内035 .14xdxdMmx83. 4mkNM04. 683. 423)283. 4(5 .1424.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAq=3kN/mFAFBCM=3kN mD2m2m4m4.83m第四章弯曲内力第四章弯曲内力37刚架的内力图刚架的内力图刚节点刚节点：不能有相对移动和转动的节点：不能有相对移动和转动的节点刚架刚架：各部分由刚节点联接而成的结构：各部分由刚节点联接而成的结构平面

23、刚架平面刚架,空间刚架空间刚架内力内力:一般有：轴力一般有：轴力N、剪力、剪力FS、弯矩、弯矩M约定约定 符号：符号：轴力轴力N：拉为正、压为负：拉为正、压为负 剪力剪力FS：对所研究段，顺时针为正，反之为负对所研究段，顺时针为正，反之为负 弯矩弯矩M：把竖直杆看作水平杆的延长来判断把竖直杆看作水平杆的延长来判断 内力图内力图 轴力图、剪力图画在刚架任一侧，标明正负号轴力图、剪力图画在刚架任一侧，标明正负号 弯矩图画在刚架受压一侧弯矩图画在刚架受压一侧，不要标正负号不要标正负号。4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图M正负与正负与x轴关系轴关系MMMM第四章弯曲内力第四章弯曲内力38例：例：已知

24、：如图，已知：如图，画刚架的弯矩图画刚架的弯矩图解解AC段：段：CB段：段：如何设定弯矩的正负号？如何设定弯矩的正负号？111()(0)M xFxxa 222()(01.5 )M xFaFxxa (1)求反力求反力(略略)(2)列列FS、M方程方程(3)控制点坐标控制点坐标CB段段xM0 1.5a Fa0.5Fa AC段段xM0 a 0Fa(4)绘绘FS、M图图4.4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图CBA1.5aa1x1122x2FFFaFa0.5FaM正负与正负与x轴关系轴关系MMMM第四章弯曲内力第四章弯曲内力39微分关系微分关系约定：约定：对右手系，对右手系，q向上为正，向下为负。向上为正

25、，向下为负。0( ) ( )( )( )0YFQ xQ xdQ xq x dx ( )( )(1)SdFxq xdx 210( )( )( )( )( )()02CSMM xdM xM xFx dxq xdx ( )( )(2)SdM xFxdx 22( )( )(3)d M xq xdx 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系q=q(x)xdxq(x)dxFS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)M(x)C第四章弯曲内力第四章弯曲内力40规律规律当当q=0时，时，FS(x)=常数常数,FS图为一条水平直线图为一条水平直线M图为一条斜直线图为一条斜直线FS(x)

26、0,M图向上倾斜图向上倾斜 ( )( )0SdFxq xdx( )( )SdM xFxdx 常常数数FS(x)0, FS图向上倾斜图向上倾斜 M为抛物线为抛物线,q0, M图下凸图下凸q0 M图上凸图上凸22( )( )d M xq xdx 常常数数q0, FS图向下倾斜图向下倾斜 当当q=常数时常数时()SdFxqdx 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系第四章弯曲内力第四章弯曲内力423.当有集中力时，当有集中力时，4.当有集中力偶时，当有集中力偶时，4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系第四章弯曲内力第四章弯曲内力43小结小结: q=0, FS=

27、常数常数, M一次函数一次函数 q=常数常数, FS一次函数一次函数, M二次函数二次函数 q一次函数一次函数, FS二次函数二次函数, M三次函数三次函数在在FS(x)=0的截面上的截面上,M图有极值图有极值( )( )0SdM xFxdxMmax发生截面发生截面 FS(x)=0处处 集中力作用处集中力作用处 集中力偶作用处集中力偶作用处以上关系可用于以上关系可用于绘制绘制剪力、弯矩图和剪力、弯矩图和验证验证所画所画剪力、弯矩图的正确性剪力、弯矩图的正确性4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系第四章弯曲内力第四章弯曲内力44积分积分在区间在区间x1,x2积分积分即即:在在

28、x1,x2截面上剪力之差截面上剪力之差,等于两截面间载荷图面积等于两截面间载荷图面积即即:在在x1,x2截面上弯矩之差截面上弯矩之差,等于两截面间剪力图面积等于两截面间剪力图面积注意：注意：此处面积可以为负此处面积可以为负( )( )SdFxq xdx 2121()()( )xSSxFxFxq x dx ( )( )SdM xFxdx 2121()()( )xSxM xM xFx dx 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系第四章弯曲内力第四章弯曲内力45解：解：75ABFKNFKN4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系载荷集度剪力和弯矩间的关系例：例：已知：已知：如图，如图，作内力图作内力图(1)求反力求反力BAq=1kN/mCMe=10kN mD4m3m4m4mF1=2kNF2=2kNE5m20kN m16kN m6kN m6kN m7kN2kN3kN3kN1kN(2)控制点坐标控制点坐标AC段段xM0 4 020SF73DB段段xM8 12 66 SF3 3 BE段段xM12 15 6 0SF22CD段段xM4 8 2016SF13 20.5kN m(3)(3)绘图绘图 (