从优化思维到借题发挥

1、从优化思维到借题发挥卜以楼学习数学离不开解题华罗庚说过，学数学不解题，犹如入宝山而空返大师一语道出了数学解题的重要性，而数学解题教学却又常常陷入下列怪圈：许多学生课堂上一听就会，课后练习一做就错.会而不对，对而不全，全而不简，已成为一部分学生解题的通病.出现这种问题的根源在于：教学中，往往对问题解决只是展现解法、展现思路，对思路的寻找过程以及为什么要这样解、怎样想到这样解重视不够，对解决问题中思维与策略的自然性与合理性揭示不够，给人以“买犊还珠”的感觉因此，我们在教学中，要高位理解数学、理解学生、理解数学教学，高度把握数学习题（问题）的本质，深入挖掘数学习题的教育价值，既要优化解题思路，又要借

2、题发挥，对习题（问题）进行变式、延伸和拓展，让学生的数学思维在解数学习题中静静地流淌.1问题再现我校八年级（上）期中测验，命题者编制了下列试题：如图1,点0是等边ABC内一点，.AOB=105,BOC=,将BOC绕点C点按顺时针方向旋转600,得ADC，连接0D.（1）试判断COD的形状，并说明理由；（2）当:=1500时，试判断AOD的形状，并说明理由;（3）探究：当:为多少度时，.AOD是等腰三角形？2解法探究2.1问题立意对于问题（1）要求学生能运用图形旋转不变性，得到OCD是等边三角形.而问题（2）要求学生能挖掘出图形在旋转过程中，始终存在下列两个等量关系，即：由NAOB+/BOC+N

3、COD+NDOA=360,ZADC=/BOC.可得：DOA195,INODA+6O当-1500时，有OAD=450厂ODC=90。，显然ODA为等腰直角三角形.对于问题（3）要求学生能根据上述两个等量关系，对该问题运用分类的思想方法进行如下探索.设AOD二：.当.OAD为顶角，则有AOD=/ADO.则一195,P+60。.解得2：，2767.5.1803当.AOD为顶角时，有.OAD=.ADO二一一2:-=195,则180-“60-:.2lot一105。解得二90.lot一105。解得二90.则1畀.150,二45.当.ODA为顶角，则有.AOD二/DAO二-.当-127.53,-105,:3

4、=150时，AAOD为等腰三角形.2.2优化思路在进行试题分析和试卷评讲中，我们发现有必要优化上述的解题思路.这是因为有不少同学认为，只有当-1500时，才有OAD=450这样的结论，因而有必要对问题（3）用上述提供的方法（即用方程组）去解决.若把解题的结果也当作问题的信息，可以得到：当乙OAD为顶角时，则.=OAD的三角分别为450,67.5。,67.5。；若当/AOD为顶角时和当._ODA为顶角时，lOAD的三角都为90,45,45.即不论为多少时，总有OAD=45.反思本题的内在逻辑关系，我们有.AOD=195二，ODA二：-60，显然-AODODA-135，则必有OAD-45，也就是说

5、OAD与角的大小无关.这样在解决第（3）问时，我们就没有必要运用方程组解决问题.综上，本题第（3）部的求解过程可做如下优化.AOD=195_：,ODA-：-60；当/OAD为顶角时，有195-60,=127.5.当AOD为顶角时，有180_（19-：）=2（：-60），：=105.当.ODA为顶角时，有:-602（195-：），二=15.上述解题过程再反思，条件.DOA=45仍没有得到充分利用.若放大该条件，如图2,在AOD中，OAD=45,-AOD=195-ODA-60，则解题过程又可A优化为下列形式：当OAD为顶角时，有2（193-：）=135，二=127.5.当AOD为顶角时，有-60=

6、45,-105.当ODA为顶角时，有195-45,-150.2.3借题发挥本题提供了丰富的图形背景和数量关系，在评讲试卷时，借题发挥，对问题进行变式、拓展，与学生一起探究笔者在原问题的基础上进行了如下尝试.（4）当壽为多少度时，AC_0D解析：OCD为等边三角形，若AC_0D,则AC是0D的垂直平分线，则0A=AD，即NAOD=NADO，口=127.5（5）四边形AOCD可能为梯形吗？可能为等腰梯形吗？解析：若四边形AOCD为梯形，则分以下两种情况进行讨论： CD/AO,由于.OAD=45，则.ADC=135，即：=135,此时.AOC=360-10川-135=120,.OAD.AOC=451

7、20=165即AD不与OC平行当=135时，四边形AOCD为梯形.而.OAD=45,AOC=12，四边形AOCD只能是梯形，不可能是等腰梯形. AD/OC，由于.OAD=45，则AOC=135,则、=360-105-135=120此时OAD=45,ADC-：-120，即AO不与CD平行.当=120时，四边形AOCD为梯形而.OAD=45,ADC=120,四边形AOCD只能是梯形，不可能是等腰梯形.（6）将AOB的度数由105调整到多少度时，有OAD=60解析：设NAOB=x，则NAOD=300。X，/ADO-60,AODADO=（300-x）（：-60）=240-x，又.OAD二60,-240

8、-x=180-60，贝Ux=120故当AOB=120时，OAD=60（7）四边形AODC可能为平行四边形吗？若不能，在不改变题目要义的基础上，怎样改造本题的条件，才能使四边形AODC为平行四边形？解析：首先，判断四边形AODC是不是平行四边形.我们知道，.OAD=45,-OCD=60,贝帚OAD=-OCD，四边形OADC不可能为平行四边形；其次，在不改变题目要义的基础上，研究改造本题条件的方法策略.反观本题，共有三个条件，一是ABC为等边三角形；二是.AOB-105;三是将BOC绕点C点按顺时针方向旋转60而将BOC绕C点按顺时针方向旋转60，是为了让线段BC与AC重合而设计的，或者说ABC为

9、等边三角形是为将BOC绕C点按顺时针方向旋转60时，使线段BC与AC重合的保障，因此，为了不改变原题的命题本意，一要在“ABC是等边三角形”这一大背景下（此时为了让线段BC与AC重合，旋转角只能为60），对“乂AOB的度数”这个可变条件进行改造；二要在“MBC是等腰三角形”这一大背景下(此时为了让线段BC与AC重合，旋转角不一定为600，则需AC=BC)，对“NAOB的度数”和“旋转角的度数”这两个可变条件进行改造.现在按照上述方法策略改造条件.(1) 在“CABC是等边三角形”这一大背景下，“旋转角为600”这个条件不变，改变“.AOB二1050”这个条件.vZBOCEADC二.；.OCD=

10、60,若四边形AODC为平行四边形，则.AOC=120.AOB=360。-1200-1200=1200.则在AABC是等边三角形”这一大背景下，“旋转角为600”这个条件不变的情况下，将.AOB调整为1200时，四边形AODC为平行四边形.(2) 在“UABC是等腰三角形”这一大背景下，对“AOB的度数”和“旋转角的度数”这两个可变条件进行改造.在此背景下，由于涉及到改变两个条件，我们不妨运用科学研究中的“控制变量法”的思想方法，对原命题进行改造和探究.显然，一是研究只改变两个条件中的一个条件的情况，二是研究两个条件都改变的情况. 控制“旋转角为600”这个条件不变，改变“AOB二1050”这

11、个条件.在旋转角为600的限制下，要保证线段BC与AC重合，则ABC必为等边三角形，根据上述结论，显然有将ZAOB调整为1200时，四边形AODC为平行四边形. 控制“AOB-1050”这个条件不变，改变“旋转角的度数”这个条件(图3).vZAOC=255i,NAOB=1050，乙BOC=NADC；若四边形AODC为平行四边形，贝，AOC二.ADC,.AOC二:.ADa即2550-：,=127.50.二OCD=180。-1800-127.50=52.50则当AC=BC时，在.AOB=1050这个条件不变的情况下，将ABOC绕点C按顺时针旋转52.50时，四边形AODC为平行四边形.“AOB-1

12、050”和“旋转角为600”这两个条件都改变”.在图3中，若设BOC=-,AOB二三，OCA=襌，则旋转角为2.若四边形AODC为平行四边形，则AOC二ADC=：,BCO二ACO二ACD二：,则有则有:2丄180,2=360.我们可通过赋:的值，求出,2的值，从而确定AOB和旋转角的大小.3教学启示3.1 要引导学生对习题进行一题多解引导学生一题多解，就是引领学生多角度看待同一问题，运用不同的路径去解决同一个问题只有让学生挖掘出不同的解题方法和解题路径，为学生提供优化解题方法的基础，提供选择解题路径的条件，学生才会有优化解题的思维过程的欲望和冲动，才会对比这些方法的优劣、分析这些路径的曲直，比

13、较这些策略的高低最为关键的是学生在这些思维过程和活动中，看清了问题的本质，学会了思考问题的方法，领悟了解决问题的策略，提升了有效思维的水平3.2 要引导学生对解题过程进行优化引导学生优化解题过程，就是要让学生在解决问题中，学会删除不必要的或者是迂回的解题过程，让学生关注知识交叉点、方法的关联点、思维的高峰点，使学生站在思维的山巅上，“一览众出小”优化解题过程，还要求学生不要急于获取解决问题的结果，满足于问题的解决，而是要让学生用审视的眼光，反思解决问题的思想方法，反观解决问题的方法路径，达到增加优化意识，提升思维水平的目的，这正是数学教学终极目标在教学中的具体体现现在的问题是，我们在教学中要舍得花时间让学生有反思、优化的时间，在教学中要精选问题，让学生有反思、优化的载体，在教学中要沉下心来，与学生一起探讨问题的方法策略，让学生有反思、优化的空间，这才是突破数学教学的关键举措之一3.3 要引导学生对习题进行变式延伸引导学生对问题进行变式延伸，让学生借题发挥，就是在学生对问题进行一题多解，优化解题思维的基础上，在学生看清问题的本质的基础上，再根据问题中的条