2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。八，_21 .已知集合Mx4x2,Nxxx60,则MIN=A.x4x3B.x4x2C.x2x2D.x2x32 .设复数z满足zi=1,z在复平面内对

2、应的点为(x,y),则22222,.、22,.、2.A.(x+1)y1B.(x1)y1C.x(y1)1D.x(y+1)1,._0.20.3一.3 .已知alog20.2,b2,c0.2，则A.abcB.acbC.cabD.bca51.514.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是-1(0-0.618,22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是近.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长2度为26cm,则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.19

3、0cm5,函数f（x）=snxX2在,的图像大致为cosxX6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻,一的概率是和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻A.216B.11327.已知非零向量a,B.8.如图是求A.A=2A9.记Sn为等差数列C.322|b|,且（ab）b,则a与b的夹角为八2冗C.3的程序框图，图中空白框中应填入an）的前n项和.已知开始t=i否八五C.D.D.1116S41A=12A0,a55,则D.,1A=12AA.an2n5B.an3n102C.Sn2n8nD.Sn1n22n21

4、0.已知椭圆C的焦点为Fi(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若IAF2I2|F2BI，|AB|BFi|,则C的方程为A.一2y21B.一3D.11.关于函数f(x)sin|x|sinx|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间(一2)单调递增f(x)在,有4个零点f(x)的最大值为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，/CEF=90,则球O的体积为A.86B.4.6C.2、.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线

5、y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为14.记Sn为等比数列1an的刖n项和.右a1,315.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立, 则甲队以4：1获胜的概率是16.已知双曲线C：2,2ab1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过FI的直线与C的两条渐近线uuruuu分别交于A,B两点.若F1AAB,uuruuuuF1BF2B0,则C的离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

6、骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈2.2_ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinBsinC)sinAsinBsinC.(1)求A；(2)若J2ab2c,求sinC.18 .(12分)如图，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=60,E,M,N分别是BC,BBi,AiD的中点.(1)证明：MN/平面CiDE;(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.19 .

7、(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为9的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.2(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程；uuuuur若AP3PB,求|AB|.20 .(12分)已知函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导数.证明:(1)f(x)在区间(1,一)存在唯一极大值点；2(2)f(x)有且仅有2个零点.21 .(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠， 随机选一只施以甲药， 另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当

8、其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验,且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和3,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i0,1,L,8)表示用药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P00,P81,Piapi1bpicpi1(i1,2,L,7),其中aP(X1),bP(X0),cP(X1).假设0.5,0.8.(i)证明：pPi(i0,1,2,L,7)为等

9、比数列；(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)1t2l的极坐标方程为2cos33sin110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明:(1)(2)(ab)3(bc)3(ca)32019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D、填空题在直角坐

10、标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点。为极点，x轴的4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线b2人22由余弦定理得cosAb2b因为0A180,所以A由（1）知B120C即吏即吏3cosC1sinC222由于0C120,所以sinsinCsinC6060sinC60cos60cos,62.418.解：（1）连结BIC,ME.因为M,E分别为BBI,BC的中点,所以ME/BIC,且ME=1BIC.212113.y=3x14.3三、解答题222222.17.解：（1）由已知得sinBsinCsinAsinBsinC,故由正弦定理得bcabc15.0.1816.2a121-.；26

11、0.,由题设及正弦定理得,2sin2sinC,可得cosC60C60与故2C60sin60Asin120C2sinC,2.2_ULLTUUULfA(2,0,0),A1(2,0,4),M(1点2),N(1,0,2),A(0,0,4),AMLUUUuuuu_AiN(1,0,2)，MN(0,V3,0).uuuumAM0设m(x,y,z)为平面AMA的法向量，则uuurmAA0所以x岛2z0可取m(/3,1,0).4z0.uuuunMN0,设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则uuuunAN0.所以底,可取n(2,0,1).p2r0.是cosm,n423,3|miln|2.55所以二面角AMA1

12、N的正弦值为画.53一(1)由题设得F3,0,故|AF|BF|x1x24,yxt一n由2，可得9x212(t1)x4t20,则x1x2y23x12(t1)57从而一，得t一.92819.解：设直线l:yt,AX1,y1,BX2,y2(1,6,2),3-一,由题设可得x1x2212(t1)9所以l的方程为yuuuuuu由AP3PB可得y13y2.31,y-Xt一,12由2，可得y2y2t0.2y3x所以yiy22.从而3y2y2,故y21,y13.，、，一1代入C的方程得xi3,X2-.3120.解：(1)设g(x)f(x),则g(x)cosx，g(x)1x即f(x)在1,存在唯一极大值点.(2

13、)f(x)的定义域为(1,).当x(1,0时，由(1)知，仁)在(1,0)单调递增，而f(0)0,所以当x(1,0)时，f(x)0,故(刈在(1,0)单调递减，又f(0)=0,从而x0是J)在(1,0的唯一零点.(ii)当x0-时，由(1)知，f(x)在(0,)单调递增，在，单调递减，而f(0)=022，sinx1(1x)2当x设为1,-时,2g(x)单调递减，而g(0)0,g0,可得g(x)在21-有唯一零点,2则当x(1,)时，g(x)0;当x时，g(x)0.2所以g(x)在(1,)单调递增，在，单调递减，故g(x)在1,22存在唯一极大值点,，使得f()0,且当X(0,)时，f(x)0；

14、当x时，f(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在1ln1-0,所以当x0,-时，f(x)0.从而，f(x)在0,222没有零点.(iii)当x-,时，f(x)0,所以f(x)在，单调递减.而f0,f()0,222所以f(x)在-,有唯一零点.2(iv)当x(,)时，ln(x1)1,所以f(x)0,从而f区在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21.解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1),P(X0)(1)(1),P(X1)(1),X-1-10 0I IPfi)of(l-fl所以X的分布列为(2)由(1)得a0.4,b0.5,c0.1.因此Pi=0.4R1+0.5Pi+

15、0.1R1，故0.1pi1p0.4ppi1，即Pi1Pi4PiPi1.又因为PiP0P10,所以prPi(i0,1,2,L,7)为公比为4,首项为PI的等比数列.(ii)由(i)可得8410,所以存在,-单调递减.又f(0)=0,f2P8P8P7P7P6LP1P0P0P8P7P7P6LP1P0-P13，一3由于p8=1,故p1，所以414411P4P4P3P3P2P2P1P1P0P13257P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治常小，说明这种试验方案合理2x2y1(x1).4l的直角坐标方程为2x岛110.abcab所以111a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc1,故有愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为1P42570.0039,此时得出错误结论的概率非22.解：（1）因为11,且X21t*234t221t21,所以C的直角坐标方程为-11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为J7.322222223.解：(1)因为ab2ab,bc2bc,ca（2）由（1）可设C的参数方程为xcosy2sin为参数，冗冗）|2cosC上的点到l的距离为23sin11|74cos花-1132ac,又abc1,故有1.c所以(ab)3(bc)3(ca)324