高等数学3-5曲率ppt课件

1、3.5 3.5 曲率曲率凸凹性：凸凹性： 曲线的弯曲方向；曲线的弯曲方向； 曲线的弯曲程度怎么表示呢？曲线的弯曲程度怎么表示呢？什么叫急转弯？什么叫急转弯？11max,iii nMM 令01111,1,nnniiiABnAMMMMBA BLMM设平面内曲线弧段在弧段上任意插入个分点:依次连接各分点，得到连接的折线，折线的长度为：0、弧长的定义、弧长的定义0MA1M2M1nMnM1010limniiiMM当时，若极限存在，AB则称曲线弧段是可度量的，101limniiisMM曲线弧长：0MA1M2M1nMnMs小弧段长很小时，近似等于小线段的长ds充分小的弧段长 弧微分NRTA0 xMxxx .

2、),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基点基点,),(为为任任意意一一点点yxM规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM一、弧微分一、弧微分).(xss 单调增函数单调增函数22dddsxy弧微分弧微分( )()( )xttyt 若曲线由参数方程确定，弧微分：22 ( )( )dsttdt( ), 若曲线方程为极坐标形式弧微分：22( )( )dsd ( ),yf x若曲线方程弧微分:21 (

3、 )dsfxdx曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率的定义、曲率的定义1 )二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式) S S) .M .MC0Myxo.MMs弧段的平均曲率为设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义0limss 曲线曲线C在点在点M处的曲处的曲率率,lim0存存在在的的条条件件下下在在dsdss d.ds2、曲率的计算

4、公式、曲率的计算公式注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数.,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds 例例1 1?2上上哪哪一一点点的的曲曲率率最最大大抛抛物物线线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率(sin )(1 cos )3xa t

5、ttyat例2.计算摆线在处的曲率sin:(1 cos )dyatdxat解cot2t22421csc122csc(1 cos )42td ytdxata 故，曲率为：322|1|csc|42(1 )ytay1,32ta令得：定义定义D)(xfy Mk1 ( )( , )yf xM x y设曲线上一点,曲率中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径,M在点处的曲线的法线上1.DDMk凹的一侧取点，使,()D以为圆心为半径作圆 如图.M称此圆为曲线在点的曲率圆处(0).k k 曲率为1.曲线上一点处的曲率半径与曲线上一点处的曲率半径与 曲线在该点处的曲率互

6、为倒数曲线在该点处的曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线越平坦曲线越平坦; 曲率半径越小曲率半径越小, 曲线越弯曲曲线越弯曲.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).(1,1)yx例3.求曲线在点处的曲率中心和曲率圆。.(1,1)解先求点处的曲率：5 52曲率半径( , ), 设曲率中心为则有：12yx14yx x 332221|41(1 )(1)4yx xyx215 5x当时，222(1)(1)111(1

7、)y 5 51(1),22y将，解得：2(1)25由曲线的凸性，10 7(4)2得曲率中心，227125()(4)24xy曲率圆：( )yf x对于一般曲线322|(1 )yy( , )M x y曲线在点处的曲率圆的中心为：22-(1 )1(1 )yxyyyyy222()()xy曲率圆方程：20.4yx例4.设某工件内表面的截面为抛物线现用砂轮打磨其内表面，应选用多大直径的砂轮？.解砂轮半径应不超过抛物线上曲率半径的最小值。0.8 ,0.8,yx y332222|0.8(1 )(1 0.64)yyx曲率00.8x当时，曲率最大11.25相应的曲率半径最小为2.5所以，砂轮的直径不能超过单位长。运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学