平面向量的坐标运算;234平面向量共线的坐标表示

1、§ 平面向量坐标运算§ 平面向量共线及坐标表示教材分析本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解坐标运算、向量共线的坐标表示.教学目标重点: 平面向量的坐标运算，向

2、量共线的坐标表示难点：对平面向量坐标运算的理解，应用向量共线证明三点共线和两直线平行的问题知识点：向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，向量共线的坐标表示能力点：通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力教育点：使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.自主探究点：向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则.考试点：证明三点共线和两直线平行的问题.易错易混点：向量共线的坐标表示拓展点：定比分点的坐标表示教具准备三角板、圆规课堂模式学案导学一、 复习引入平面向量的基本定理平面向量的坐标表示平面向量的共线定理【师生活动】教

3、师设问，学生思考.【设计意图】复习旧知识，引出新知识。二、探究新知思考1：若设=(, ) =(, )，你能得出，（）的坐标吗？生：,由向量线性运算的结合律和分配律，可得=()()，即 =（，）同理可得（，）师：就是说，两个向量（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）生：，即O图.3-10 师：就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标【设计意图】推导公式，明确运算法则思考：如图已知点，如何求的坐标？解：结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标【设计意图】通过向量的减法运算说明一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标思

4、考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数使得=，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设=(,) =(,)（¹）其中¹由=，(,) =(,)消去：=结论： (¹)=三、理解新知1任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。2当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标平面向量共线定理中注意：（）消去时不能两式相除，有可能为0，¹，中至少有一个不为0.（）不能写成有可能为0. （）从而向量共线的有两种形式： (¹)【设计意图】总结知识点，加深理解，突破重难点四、运用新知例1 已知=(2,1),

5、=(3,4),求 ，34的坐标.解：（2,1）+（-3,4）=(1，5)，（2,1）-（-3,4）=(5，3)，343（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(6，19). 变式训练1：已知，求，的坐标；【设计意图】利用平面向量的坐标运算法则直接求解例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点、的坐标分别为、，求顶点的坐标。解：设点的坐标为,xy图2.3-11即 解得xy图2.3-12所以顶点的坐标为另解：由平行四边形法则可得所以顶点的坐标为【设计意图】考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.例. 已知，且，求解：，变式训练：已知平面向量 ， ，且，则等于_.【设计意图】：利用平面向

6、量共线定理坐标形式直接求解.例: 已知，求证:、三点共线B图2.3-13证明：，又，.直线、直线有公共点，三点共线。变式训练：若，三点共线，则的值为_.【设计意图】:给出了判断三点共线的常用方法，若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.例:设点是线段上的一点， 、2的坐标分别OP1P2图2.3-14是(,)，(,).(1) 当点是线段的中点时，求点的坐标； (2) 当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标.解：（1）如图2.3-14，由向量的线性运算可知OP1P2图2.3-15(1)所以，点的坐标为（2）如图2.3-15，当点是线段的一个三等分时,有两中情况，即或当图2.3-1

7、5（1），那么xP1P2P图2.3-15(2)即点的坐标是xP1P2P图2.3-16当时，可求得：点的坐标为：【设计意图】此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.变式训练：当时,点的坐标是什么？【设计意图】推导的定比分点公式，体会向量的坐标运算的优越性.五、课堂小结 1平面向量的坐标运算:；2.几个重要结论：(1) 相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；(2) 起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标.（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.向量平行（共线）的两种表达形式：（）（），（）六、布置作业 1.作业：课本选作作业若向量=(-

8、1,)与=(, 2)共线且方向相同，求已知(-1, -1) (1,3) (1,5) (2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？3设，且，求角.若(，-1)，(1，3)，(2，5)三点共线，求5.已知=(1，2)，=(x，1)，若与平行，则的值为.【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.2. 课后练习 自主学习丛书 七、教后反思 1.本节课通过系列问题，有条不紊地引入定义，使学生对知识的来源比较清晰；2.本节课在例题和练习的设计上能做到由易到难、前后联系，使学生对知识的理解和认识逐渐加深，起到潜移默化的作用；3.本节课的教育点是让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养