平面向量的概念及线性运算复习设计师

1、专题031：平面向量的概念和线性运算（复习设计）（师）考点要求：1考查平面向量的线性运算2考查平面向量的几何意义及其共线条件3一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别知识结构1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量是a方向上的单位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的

2、向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.注：向量共线的

3、充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个5证明三点共线根据共线向量的充分条件证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合*6重要结论（1）()G为ABC的_重心_；（2）0P为ABC的_重心_基础自测1D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A C. D.解析如图，. 答案A2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析只有正确答案A3若O

4、，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B. C. D.解析.答案B4(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，() A0 B. C. D.解析.答案D5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.答案例题选讲：1平面向量的概念例1：下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行分析： 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否解析：由于零向量与任一向量都

5、共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案C小结： 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同学

6、生练习： 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正确，错误答案2平面向量的线性运算例2：如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0 B.0 C.0 D.0分析：利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析0，2220，即0. 答案A小结：三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则学生练习： 在ABC中，c，b，若点D满足2，则()A.

7、bc B.cb C.bc D.bc解析2，2()，32bc.答案A3共线向量定理及其应用例3：设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线分析： (1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k±1.小结： 平行向量定理的条件和结论

8、是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点学生练习：已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1 C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选D.巩固作业：1下列四个命题：对于实数m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；对于实数m和向量a，b (mR)，若mamb，则ab；若mana (m，nR，a0)，则mn；若ab，bc，则ac，其中正确命题的个数为 ()A1B2C3D42C根据实数与向量积的运算可判断其正确；当m0

9、时，mamb0，但a与b不一定相等，故错误；正确；由于向量相等具有传递性，故正确2有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.ab的充要条件是|a|b|且ab.以上命题中正确的个数为 ()A1B2C3D0不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0时，则a与c不一定平行3下列命题中正确的有_(填写所有正确命题的序号)|

10、a|b|ab；若ab，bc，则ac；|a|0a0；若 ab，则|a|b|；若0，则a0；若A、B、C、D是不共线的四点，则四边形ABCD是平行四边形若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上解析模相同，方向不一定相同，故不正确；两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，正确； 只有零向量的模才为0，故正确；，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等故正确故应选.4判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向