第3章 模糊理论

1、3 模糊理论模糊理论Fuzzy Theory第一节第一节 引言引言一、模糊控制的发展一、模糊控制的发展 1965 1965年，美国控制论专家年，美国控制论专家L.A.ZadehL.A.Zadeh在在Information Information and controland control发表的开创性论文发表的开创性论文Fuzzy setsFuzzy sets，首次提出，首次提出了用了用“隶属函数隶属函数”的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合理论，从此奠定了模糊数学的基础。理论，从此奠定了模糊数学的基础。 19741974年英国学者年英国学者E.H.Mamd

2、aniE.H.Mamdani首次把模糊集合理论成功首次把模糊集合理论成功地应用在锅炉和蒸汽机的控制之中，在自动控制领域中首开地应用在锅炉和蒸汽机的控制之中，在自动控制领域中首开模糊控制在实际工程上的应用先河。模糊控制在实际工程上的应用先河。 之后，模糊数学获得了长足的发展，在理论和应用上之后，模糊数学获得了长足的发展，在理论和应用上都取得了丰硕成果。模糊数学的应用领域以涉及到自动控制、都取得了丰硕成果。模糊数学的应用领域以涉及到自动控制、图像和文字识别、人工智能、地址、地震、医疗诊断、气象图像和文字识别、人工智能、地址、地震、医疗诊断、气象分析、航空、火车汽车轮船驾驶、企业管理和社会经济等许分

3、析、航空、火车汽车轮船驾驶、企业管理和社会经济等许多放面。多放面。二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制、是一种反映人类智慧思维的智能控制3、易于被人们所接受（核心：控制规则）、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易、构造容易5、鲁棒性好、鲁棒性好 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高高”、“中中”、“低低”等，且控制量由模糊推理导出等，且控制量由模糊推理导出一、模糊集的概念一、模糊集的概念 集合集合：具有某种特定属性的对象全体。：具有某种特定属性的对象全体。

4、 集合中的个体通常用小写英文字母如：集合中的个体通常用小写英文字母如：u表表示；示； 集合的全体又称为集合的全体又称为论域论域。通常用大写英文字。通常用大写英文字母如：母如：U表示。表示。 u U表示表示元素元素（个体）（个体）u在集合在集合论域论域（全体）（全体） U内。内。第二节第二节 模糊集合论基础模糊集合论基础集合表示法集合表示法(经典集合经典集合)：(1)列举法列举法：将集合的元素全部列出的方法。：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。：用集合中元素的共性来描述集合的方法。(3)归纳法归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的：通过一个递推

5、公式来描述一个集合的方法。方法。(4)特征函数表示法特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。的明晰性来表示集合。1( )0UuUTuuU例：设集合例：设集合U由由1到到5的五个自然数组成，用上的五个自然数组成，用上述方法写出该集合的表达式。述方法写出该集合的表达式。解：解：(1)列举法列举法 U=1,2,3,4,5(2)定义法定义法 U=u|u为自然数且为自然数且1 u 5(3)归纳法归纳法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1 经典集合论中任意一个元素与任意一个集经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是合之间的关系

6、，只是“属于属于”或或“不属于不属于”两两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 诸如诸如“速度的快慢速度的快慢”、“年龄的大小年龄的大小”、“温度的高低温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。等模糊概念没有明确的界限。经典集合对事物只用经典集合对事物只用1、0简单地简单地表示表示“属于属于”或或“不属于不属于”的分类；而模的分类；而模糊集合则用糊集合则用“隶属度隶属度(Degree of membership)”来描述元素的

7、隶属程度，隶来描述元素的隶属程度，隶属度是属度是0到到1之间连续变化的值。之间连续变化的值。模糊集合模糊集合特征函数特征函数隶属度函数（隶属度函数（01连续变化连续变化值）值）例：人对温度的感觉例：人对温度的感觉(0 C 40 C的感觉的感觉)：“舒适舒适”：15 C 25 C“热热”：25 C以上以上“冷冷”：15 C 以下以下经典集合对温度的定义经典集合对温度的定义0 15 25 40冷热(T)1.0舒适温度C0 15 25 40(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对温度的定义模糊集合对温度的定义经典集合：经典集合：14.99 C属于属于“冷冷”；15.01 C属于属于舒适。舒适。与人的感觉

8、一致吗？与人的感觉一致吗？模糊集合模糊集合：论域：论域U中的模糊集合中的模糊集合F用一个在区用一个在区间间0,1上的取值的隶属函数上的取值的隶属函数 F来表示，即：来表示，即： F ：U 0,1u F （映射）（映射）（隶属函数（隶属函数 F：u隶属于隶属于F的程度）的程度） F (u)=1：u完全属于完全属于U； F (u)= 0：u完全不属于完全不属于U；0 F (u)0211001u可算出可算出 F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8可见可见 F (u)是是U到闭区间到闭区间0,1的映射。的映射。510200.20.50.8U0,1F (u) 1、论域、论域U

9、为离散域（即论域为离散域（即论域U是有限集合）是有限集合）(1)查德表示法查德表示法F =1()/niiFiu u1.00.90.750.50.20.1012345F 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法：例：集合例：集合F表示接近于表示接近于0的整数（已知论域的整数（已知论域U=0,1,2,3,4,5）(2)序偶表示法序偶表示法F =(u1, (u1),(u2 , (u2),(un , (un)(3)向量表示法向量表示法F = (u1), (u2), (un) （元素（元素u按次序排列）按次序排列）例：例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4

10、 ,0.2), (5 ,0.1) 例：例：F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 /FFu例例:以年龄为论域，取以年龄为论域，取Zadeh给出了给出了“年年轻轻”的模糊集的模糊集F，其隶属函数为，其隶属函数为0,100U 121025( )251251005Fuuuu02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership2102525100251/1 () /5uuuFuu 模糊集合表示为：模糊集合表示为：模糊集合是用模糊集合是用隶属度函数隶属度函数描述的描述的。二、隶属度函数的建立二

11、、隶属度函数的建立隶属度函数隶属度函数：模糊集合的特征函数：模糊集合的特征函数 （取值范围在（取值范围在0,1区间）区间） 确定隶属度函数的方法具有确定隶属度函数的方法具有主观性主观性，但主观，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。约的。 由于模糊集理论的研究对象具有由于模糊集理论的研究对象具有模糊性模糊性和和经验经验性性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。的。确定隶属函数应确定隶属函数应遵守的一些基本原则遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合、表示隶属度函数的

12、模糊集合必须是凸模糊集合例例:适中开车速度的集合是模糊集合。可表示为适中开车速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 从最大隶属度函数点向两边延伸时从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是其隶属函数的值是必须是单调递减的必须是单调递减的,而不允许有波浪形。而不允许有波浪形。0 x凸模糊集合非凸模糊集合203050709500.20.40.60.81速度（语言变量）速度（语言变量）Degree of membership适中适中低低高高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。、变量所取隶属度函数通常是对称和

13、平衡的。很低很低很高很高标称名：语标称名：语言值言值(个数适中：个数适中：39个（奇个（奇数）数）)语言值的语言值的个数和规个数和规则数成正则数成正比。比。00 . 1适中高很高32)/(1hkm速度3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，、隶属度函数要符合人们的语言顺序， 避免不恰当的重叠避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。相交。围附近模糊隶属函数的范重叠范围重叠率12()2()UAALdxUL重叠鲁棒性重叠指数重叠指数：衡量隶属度函数与模糊：衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。控制器性能关系的一个重要指标。包括：包

14、括：重叠率、重叠鲁棒性重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围LU(0.20.6为宜为宜)(0.30.7为宜为宜)5 . 01A2A2030405010)/(1hkm速度30例：例：333. 030/10重叠率40301100.52(4030)20dx重叠鲁棒性 重叠率和重叠鲁棒性越重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精强，规则越多，越复杂，精度越高。度越高。求重叠率和重叠鲁棒性求重叠率和重叠鲁棒性隶属度函数确立的方法：隶属度函数确立的方法：1、模糊统计法、模糊统计法2、例证法、例证法 3、专家

15、经验法、专家经验法4、二元对比排序法、二元对比排序法1、模糊统计法、模糊统计法 基本思想：论域基本思想：论域U上的一个确定的元素上的一个确定的元素v0是否是否属于一个可变动的清晰集合属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。作出清晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模糊集的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论论域域Uv0隶属度函数确立的方法：00AvAvn 的次数对 的隶属频率试验总次数计算步骤：在每次统计中，计算步骤：在每次统计中，v0

16、是固定的（如某是固定的（如某一年龄），一年龄），A*的值是可变的，作的值是可变的，作n次试验次试验,则则模糊统计公式：模糊统计公式：隶属度函数确立的方法：例：求中等身材的集合例：求中等身材的集合A及及 A (1.64)选选10人，每人确定人，每人确定A*的元素，假设的元素，假设10个人所确定的个人所确定的A*分别是：分别是：1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77110A(1.56)=0.1310A(1.60)=0.3610A(1.64)=0.6110A(1

17、.77)=0.10.11.56AF0.30.610.50.1=+1.60 1.641.69 1.73 1.77610A(1.64)=0.6随着随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是稳定值就是v0对对A的隶属度。的隶属度。计算量大。计算量大。模糊统计法的特点：模糊统计法的特点：2、例证法、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊上的模糊集集A 的隶属度函数。的隶属度函数。3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。的各种结果的可能性程度，来

18、决定其隶属度函数。4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。事物对该特征的隶属函数的大体形状。模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：1.左大右小的偏小型下降函数（左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定。输入值比较小时的隶属度函数确定。0 x1.0(x)矩形分布矩形分布0 x1.0 (x)梯形分布梯形分布0 x1.0(x)曲线分布曲线分布2

19、.左小右大的偏大型上升函数（左小右大的偏大型上升函数（S函数）：适用函数）：适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。于输入值比较大时的隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲线分布3.对称型凸函数（对称型凸函数（ 函数函数）：适用于输入值位于中）：适用于输入值位于中间时隶属度函数确定。间时隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲线分布x三、模糊关系（用于模糊推理决策）三、模糊关系（用于模糊推理决策）1.模糊关系的定义模糊关系的定义关系关系：客观事物间的相互联系。：客观事物间的相互联系。 普

20、通关系普通关系：二元关系（是、否）：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事例：父子、师生、同事模糊关系模糊关系：父子相像。：父子相像。例：设例：设A=0,1，B=a,b,c则则AB=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意：注意： AB BA A、B两集合的两集合的直积直积：BbAabaBA,),(, )a b序偶：序偶：例：甲、乙、丙例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、人参加考试，考试的成绩为优、良、中、差，则中、差，则A=甲甲,乙乙,丙丙，B=优优,良良,中

21、中,差差AB：12种序偶的集合。种序偶的集合。一次考试：一次考试：R=(甲甲,优优)，(乙乙,中中)，(丙丙,差差)A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，关系之间地运算可转换为矩阵间运算。关系之间地运算可转换为矩阵间运算。矩阵：矩阵：100000100001RMA 甲甲 乙乙 丙丙B优优 良良 中中 差差关系关系对应对应模糊关系模糊关系R：以：以AB为论域的一个模糊子集为论域的一个模糊子集且且(,)ab有：有：:0,1(,)(,)RRABabab( , )( )( )RABa bab定义：定义：123nB bbbb111213121222323132

22、333123()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRRnRRRRnRRRRnRmRmRmRmnm na ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba babababab123mAaaaa模糊矩阵：模糊矩阵：12, ,mAa aa有限集有限集A，B，12, ,nBb bb(,)(,)ijRijabab即序偶即序偶模糊矩阵中的元素记为模糊矩阵中的元素记为( )ijr模糊矩阵模糊矩阵R记为记为:( )ij mnR r(,)0,1Rijab其中; 3 / 2 . 02 / 7 . 01 / 1/ )(;4, 3 ,

23、2, 1;3 , 2, 1uuVUA4/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0/ )(vvB例设例设求模糊关系求模糊关系RAB，模糊矩阵，模糊矩阵3 4()ijr)4,3/(2 . 0)3 ,3/(2 . 0)2,3/(2 . 0) 1 ,3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0)2,2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4, 1/(2 . 0)3, 1/(4 . 0)2, 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 BA解：解：求求3 4()ijr0.80.60.40.20.70.60.40.20.20.20.20.2123U1234V3

24、4( )ijr方法方法1：方法方法2：3 4( )ijrA B10.70.80.60.40.20.2对应元素取小对应元素取小0.8 0.6 0.4 0.20.7 0.6 0.4 0.20.2 0.2 0.2 0.2。慢快100/080/060/040/3 . 020/7 . 00/1;100/180/160/7 . 040/3 . 020/00/0CA例：已知两个模糊集合例：已知两个模糊集合A、C的隶属度函数分别为的隶属度函数分别为求它们的模糊关系求它们的模糊关系CA其中，其中，C，A分别属于两个不同的论域分别属于两个不同的论域 U，V 课内练习课内练习RCA10.70.3000.30.71

25、1000000.30.711000.30.70.70.7000.30.30.30.3000000000000000000解：解：定义定义 笛卡尔积笛卡尔积 若若A1、A2分别是论域分别是论域U1、U2 中的模糊集，则中的模糊集，则A1 、A2的笛卡儿积是在积空间的笛卡儿积是在积空间U1 U2中的一个模糊子集，中的一个模糊子集，其隶属度函数为其隶属度函数为:直积（极小算子）：直积（极小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 代数积代数积 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)对于连续情况，关系矩阵可定义为：对于连续情况，

26、关系矩阵可定义为：为了区分直积、代数积为了区分直积、代数积 ，用用 min表示直积表示直积；用；用 AP表示代数积表示代数积。记号记号t算子：表示笛卡儿积算子：表示笛卡儿积),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVUR模糊关系的合成模糊关系的合成：如果：如果R和和S分别为笛卡儿空间分别为笛卡儿空间U V和和V W上的模糊关系，则上的模糊关系，则R和和S的合成是定义在空间的合成是定义在空间U W上的模糊关系，并记为上的模糊关系，并记为RS。其隶属度函数的。其隶属度函数的计算方法：计算方法：模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示2、模糊关

27、系的合成、模糊关系的合成WwVvUuwvvuSRV,) ),(, ),(min(maxminsup( , )sup( , )( ,) ),R SRSVR Su wu vv wu U v V w W上确界（上确界（Sup)算子算子1 . 06 . 08 . 02 . 0RS祖祖父父祖祖母母父父0.50.7母母0.1001 . 07 . 05 . 0S用模糊矩阵用模糊矩阵S可表示为可表示为R父母子0.20.8女0.60.1例某家中子女与父母的长像相似关系例某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，为模糊关系，可表示为可表示为也可以用模糊矩阵也可以用模糊矩阵R来表示来表示该家中父母与祖父母的相似关

28、系也是模糊关系，可表示为该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求 ）R S0.20.80.50.70.60.10.10R S 解：解：(0.20.5)(0.80.1)(0.20.7)(0.80)(0.60.5)(0.10.1)(0.60.7)(0.10)0.20.20.50.6 此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。一、模糊逻辑及其基本运算一、模糊逻辑及其基本运算模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊命题：含有模糊概念或者是带有模糊性的模糊命题：含有模糊概念或者是带有模糊性的 陈述句。陈述句。模糊命题的真