上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题(含答案解析)

1、上海市徐汇区 2020 届高考一模试卷数学一、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4分， 7-12 每题 5分，共 54 分）1已知集合 Mx|x>2，集合 Nx| x1，则 MN2向量在向量 方向上的投影为 3二项式（ 3x1）11的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 4复数的共轭复数为 5已知 yf（x）是定义在 R上的偶函数，且它在 0 ，+）上单调递增， 那么使得 f（ 2） f （a）成立的实数 a的取值范围是 16已知函数 f （ x） arcsin （ 2x+1），则 f 1（ ） 27已知 xR，条件 p：x2<x，条件 q： a（a>0），若 p是

2、q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 8已知等差数列 an的公差 d 3，Sn表示 an的前 n 项和，若数列 Sn是递增数列，则 a1 的取值范围是 9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2 的四位数的个数为 10过抛物线 C：y2 2x的焦点 F，且斜率为的直线交抛物线 C于点 M（M在 x 轴的上方） ，l 为抛物线 C的准线，点 N在 l 上且 MN l ，则 M到直线 NF的距离为11已知数列 an的前 n项和为 Sn，对任意 n N* ，Sn（ 1）nan+ +n3 且（a1p）（a2 p）< 0，则实数 p 的取值范围是12已知函数 f（x）关于 x

3、的不等式 f （ x ） mx 2m2< 0 的解集是（ x1，x2）（ x3， +），若 x 1x2x3> 0，则 x1+x2+x3的取值范围是二. 选择题（本大题共 4题，每题 5 分，共 20分）13过点（ 1， 0），且与直线 有相同方向向量的直线的方程为（ ）A 3x+5y 30B 3x+5y+30C3x+5y10D5x3y+5014一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（A 1：2B 1：8C：2D ： 415若圆 C1：x2+y21 和圆 C2： x2+y26x 8yk 0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是

4、（）A（ 9，11）B（ 25， 9）C（， 9）（ 11， +）D（ 25， 9）（ 11，+）16设 H是 ABC的垂心，且 3 +4 +5 ，则 cosBHC的值为（）ABCD三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18 76 分） 17如图所示，圆锥 SO的底面圆半径 | OA| 1，母线 SA3（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（ 2）过点 O在圆锥底面作 OA的垂线交底面圆圆弧于点 P，设线段 SO中点为 M，求异面 直线 AM与 PS所成角的大小18设函数 f（x）x2+|xa| （x R， a为实数）（1）若 f （x）为偶函数，求实数 a的值；（

5、2）设 a> ，求函数 f （ x）的最小值（用 a 表示）19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点 D，经测量景点 D 位于景点 A的北偏东 30°方向 8km处，位于景点 B的 正北方向，还位于景点 C的北偏西 75°方向上，已知 AB 5km（1）景区管委会准备由景点 D向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这 条公路的长；（结果精确到 0.1 km）（2）求景点 C与景点 D之间的距离（结果精确到 0.1 km）2016 分）给正有理数nj 不同时成立），按以下规则（i j ，i ，N*

6、，mi，ni，mj，njN*，且 mimj 和 niP排列：若 mi+ni <mj +nj ，则 排在前面；若 mi +ni an （例如： ， ，mj+nj，且 ni<nj，则 排在 的前面， 按此规则排列得到数列1）依次写出数列 an的前 10 项；2）对数列 an中小于 1的各项，按以下规则 Q排列：各项不做化简运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列 bn ，求数列 bn的前 10 项的和 S10 ，前 2019 项的和 S2019；（3）对数列 an中所有整数项，由小到大取前 2019 个互不相等的整数项构成集合Ac1，c2，c3， c201

7、9 ， A的子集 B满足：对任意的 x，yB，有 x+y?B，求集合 B中元素个 数的最大值21（ 18 分）已知椭圆： 上异于 A 点的任一点，若 则称此椭圆为“圆椭圆”，+ 1（ a> b> 0），点 A为椭圆短轴的上端点， P为椭圆P 点到 A点距离的最大值仅在 P 点为短轴的另一端点时取到， 已知 b21）若 a ，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求 a 的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且 a 取最大值， Q为 P 关于原点 O的对称点， Q也异于 A 点，直线 AP、AQ分别与 x 轴交于 M、N 两点，试问以线段 MN为直径的圆是否过定点？证

8、明你的结论上海市 2020 届徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4分， 7-12 每题 5分，共 54 分）1已知集合 Mx|x>2，集合 Nx|x1，则 MN x| x1或 x>2 【解答】 解： Mx|x>2，Nx| x1，MNx|x1或 x>2故答案为： x|x1或 x>22向量在向量 方向上的投影为 3【解答】 解：向量 在向量 ，cos（ ， ） ，向量 在向量 方向上的投影为： cos（ ， ） 5× 3，故答案为 3；3二项式（ 3x1）11的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 55 解答

9、】 解：二项式（ 3x1）11的二项展开式的通项公式 Tr+1?（3x）11r?（ 1）令 r 2，可得中第 3 项的二项式系数为 55，故答案为： 554复数【解答】 解：【解答】 解：故答案为：5已知 yf（x）是定义在 R上的偶函数，且它在 0 ，+）上单调递增， 那么使得 f（ 2）f （a）成立的实数 a的取值范围是a2或 a2 【解答】 解：函数 f （x）是定义在 R上的偶函数，且在区间 0 ，+）上单调递增不等式 f（2）f （a）等价为 f（2）f （|a|），即 2 | a| ，a2或 a2， 故答案为： a2或 a26已知函数 f （ x） arcsin （ 2x+1），

10、则 f 1（解答】 解：令 arcsin （ 2x+1）即 sin2x+1解得 x故答案为：7已知 x R，条件 p：x2<x，条件 q： a（a>0），若 p是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是0，1【解答】 解：因为 x R，条件 p：x2<x，所以 p 对应的集合为 A（ 0，1）；因为条件 q： a（ a>0），所以 q 对应的集合为 B（ 0， ；因为 p是 q 的充分不必要条件，所以 A? B，所以 ，所以 0<a 1，故答案为：（ 0， 1 8已知等差数列 an的公差 d 3，Sn表示 an的前 n 项和，若数列 Sn是递增数列，则 a

11、1 的取值范围是 （ 3， +） 【解答】 解： Snna1+数列 Sn是递增数列， Sn+1> Sn，（ n+1）a1+×3> na1+化为： a1> 3n，对于 ? nN*都成立 a1> 3 故答案为：（ 3， +）2 的四位数的个数为 8409数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于【解答】 解：根据题意， 0到 9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有 8种：0与 2，1与 3，2与 4，3与 5，4与6，5与7，6与 8，7与 9分 2 种情况讨论：当个位与千位数字为 0， 2 时，只能千位为 2，个位为 0，有 A8256 种，当个位与千位数

12、字为 1与 3，2与 4，3与 5，4与 6，5与 7，6与 8，7与 9时，先排 千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A8 × A2 784 种， 共 784+56 840； 故答案为： 84010过抛物线 C：y2 2x的焦点 F，且斜率为的直线交抛物线 C于点 M（M在 x 轴的上方） ，l 为抛物线 C的准线，点 N在 l 上且 MN l ，则 M到直线 NF的距离为解答】解：抛物线 C：y22x 的焦点 F（ ，0），且斜率为的直线方程为 ，所以，整理得 9x2 15x+40，解得，所以 N（ ，时，解得 y，设点 M（l 为抛物线 C的准线，点 N在

13、 l 上且 MN l ，所以 NF的直线方程为，所以当到直线的距离故答案为：11已知数列 an 的前 n项和为 Sn，对任意 n N* ，Sn（ 1）+n 3 且（a1p）（a2 p） 0，则实数 p 的取值范围是（）【解答】 解：数列 an的前 n项和为 Sn，对任意 n N* ， Sn（ 1）nan+ +n3，当 n 1 时，解得 ，当 n 3 时，整理得 ，当 n 4 时，整理得 ，由得： ，所以 ，整理得 ，解得 ，所以：实数 p 的取值范围是（），故答案为：（ ）12已知函数 f（x）关于 x 的不等式 f （ x ） mx 2m2< 0 的解集是（ x1，x2）（ x3，+）

14、，若 x1x2x3>0，则 x1+x2+x3的取值范围是 2 12，+） 【解答】 解：画出函数 yf （x）的图象，x 的不等式 f （x） mx 2m 2< 0，即为 f （x）< m（ x+2） +2，作出直线 ym（x+2）+2，其恒过定点（ 2， 2），由解集是（ x1， x2）（ x3，+），若 x1x2x3> 0，可得 x1<0，x2<0， x3>0，2当 x1 时，x1，x2，是方程 x 2+6x +10mx 2m2 0 的两个实根；2即 x2+（6m）x+82m0 的两个实根， x1+x2m6；当 x>1 时， x3是方程 4x

15、 +1 mx 2m 2 0的实根；结合图象可得 m< 0，当直线 ym（x+2）+2经过（ 0， 1）时，可得 2m+21，解得 m ；当直线 ym（x+2）+2与直线 y14x 平行时，m 4由直线 ym（x+2）+2在 yf （ x）的上方，可得4<m<m+4>0，12212； x1+x2+x3 m 6+m+4+ 122当且仅当 m+4时，即 m 4+ 时取等号；A 3x+5y 3 0B 3x+5y+3 0C 3x+5y1 0D5x)3y+5 0【解答】 解：由 可得， 由题意可知所求直线的斜率率 k 3x+5y+80，即直线的斜率，故所求的直线方程为x 1)即 3

16、x+5y+30则截得的小棱：4故选： B14一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，锥与原棱锥的高之比是（ ）A 1：2B 1：8C ：2D【解答】 解：在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比又一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，相似比为 1： ： 2则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是： 2故选： C15若圆 C1：x2+y21 和圆 C2： x2+y26x 8yk 0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是（）A（ 9，11）B（ 25， 9）C（， 9）（ 11， +）D（ 25， 9

17、）（ 11，+）【解答】 解：化圆 C2： x2+y2 6x 8y k 0 为（ x3）2+（y4）2 25+k，则 k> 25，圆心坐标为（ 3，4），半径为，圆 C1：x2+y2 1 的圆心坐标为（ 0， 0），半径为 12 2 2 2要使圆 C1： x2+y21 和圆 C2： x2+y26x8yk 0 没有公共点，则| C1C2|或| C1C2| <，即 5 > 或 5 ，解得 25< k< 9或 k>11实数 k的取值范围是（ 25， 9）（ 11，+）故选： D16设 H是 ABC的垂心，且 3 +4 +5 ，则 cosBHC的值为（）ABCD【解

18、答】解： 由三角形垂心性质可得， ，不妨设x， 3 +4 +5 ，同理可求得故选： D. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18 76 分）17如图所示，圆锥 SO的底面圆半径 | OA| 1，母线 SA3（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（ 2）过点 O在圆锥底面作 OA的垂线交底面圆圆弧于点 P，设线段 SO中点为 M，求异面直线 AM与 PS所成角的大小解答】 解：（ 1）圆锥 SO的底面圆半径 | OA| 1，母线 SA 3所以圆锥的高为 h所以， S圆锥侧 ?1?3 32）如图所示：在圆锥中，作 MN SP，交 OP于 N，则异面直线 AM与 PS所成的

19、角为 AMN依题意： AM， MN， AN所以所以面直线 AM与 PS所成角的大小18设函数f（x）x2+|xa| （x R， a为实数）1）若 f （x）为偶函数，求实数 a 的值；2）设 a> ，求函数 f （ x）的最小值（用 a 表示）解答】 解：（ 1）若函数 f （ x）为偶函数，则 f（ x） f （ x）对于任意实数恒成立即：x2+|xa|x2+|xa|，所以 |x+a|xa| 恒成立，即 a0（2）在的基础上，讨论 xa 的符号，当 xa 时，f（ x） x2 +x a，所以函数 f（ x）的对称轴为 x ，此时 当 x<a 时，f（ x） x2+x a，所以函数

20、 f（ x ）的对称轴为 x ，此时 又由于 a 时， ，所以函数 f （ x）的最小值为19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点 D，经测量景点 D 位于景点 A的北偏东 30°方向 8km处，位于景点 B的 正北方向，还位于景点 C的北偏西 75°方向上，已知 AB 5km（1）景区管委会准备由景点 D向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这 条公路的长；（结果精确到 0.1 km）0.1 km）解答】 解：（ 1）如图，过点 D作 DE AC于点 E，过点 A作 AF DB，交 DB的延长线于点

21、F在 Rt DAF 中 ， ADF 30AF AD ×84，DF在 Rt ABF中， BF3， BDDFBF4 3sin ABF ABF DBE， sin DBE，在 Rt DBE中， 3.1 （ km）景点 D向公路 a 修建的这条公路的长约是 3.1 km；（ 2）由题意可知 CDB75°，由（ 1）可知 sin DBE 0.8 ，所以 DBE53DCB180°75°53° 52在RtDCE中，sin DCE ，DC4（km）景点 C 与景点 D 之间的距离约为 4km2016 分）给正有理数i j ， i ，N*，mi，ni，mj，njN

22、*，且 mimj 和 ni前依题意按规则 Q排列后得： ，+5；10 项和为： S10nj 不同时成立） ，按以下规则 P排列：若 mi+ni <mj +nj ，则 排在 前面；若 mi+nimj+nj，且 ni <nj ，则排在的前面， 按此规则排列得到数列 an （例如： ，）1）依次写出数列 an的前 10 项；2）对数列 an中小于 1的各项，按以下规则 Q排列：各项不做化简运算；分母小 bn ，求数列 bn的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列 的前 10 项的和 S10 ，前 2019 项的和 S2019；3）对数列 an中所有整数项，由小到大取前

23、2019 个互不相等的整数项构成集合 Ac1， c2，c3， c2019 ， A的子集 B满足：对任意的 x，yB，有 x+y?B，求集合 B中元素个数的最大值解答】 解：（ 1）依题意，数列 an的前 10 项为：求前2019 项的和 S2019时，先确定最后一个分数的值， 令 2019 1+2+3+ +n 即2019， n（ 63， 64），数列分母取慢 2 64 时，共有2016 项，所有分母为 65的还有 3 项，即：数列 bn前 2019项为：，当 n2 ，64 时，对分母为 n 的小段求和：S+ +当 n2 ，64时，对 63个小段相加求和：S + + + + ? 1008，S2019S +1008 ，3）依题意： A1，2，3， 2