初中数学变式教学

1、一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解 数学变式教学，是指通过不同角度、不同数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式学形式. 1.1 1.1 数学变式教学的本质含义数学变式教学的本质含义一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解1.2 1.2 初中数学变式教学的意义初中数学变式教学的意义 初中数学变式教学，对提高学生初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、

2、应变能力是大有益处的思维能力、应变能力是大有益处 变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径学目标的重要途径 一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解【案例案例1】 在在“坐标系内的图形对称坐标系内的图形对称” 的中考专题复习课中，的中考专题复习课中，笔者设计了如下的题目笔者设计了如下的题目 题目题目 点点P（x，y）关于）关于x轴对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是 ；关于；关于y轴轴对称的点的坐标是对称的点的坐标是 ；关于原点对称的点的坐标是；

3、关于原点对称的点的坐标是 .变式变式1 直线直线y=2x-1关于关于x轴对称的直线的解析式是轴对称的直线的解析式是 ；关；关于于y轴对称的直线的解析式是轴对称的直线的解析式是 ；关于原点对称的直线的解；关于原点对称的直线的解析式是析式是 .变式变式2 将直线将直线y=2x-1改为改为双曲线双曲线y=1/x，其它不变，其它不变 .变式变式3 将直线将直线y=2x-1改为改为抛物线抛物线y=3x2+2x-1，其它不变，其它不变 .变式变式4 上述函数图象上述函数图象 关于关于 x轴对称的有轴对称的有 ；231(1)3 ; (2); (3)2; (4); (5)2.yxyxyxyyxx 一、对变式教

4、学的理解一、对变式教学的理解【案例案例2】浙教版七（上）浙教版七（上）7.8 平行线平行线 ：课内练习第课内练习第3 3题题：如图，在：如图，在ABC中，中，P是是AC边上的边上的一点，过点一点，过点P分别画分别画AB，BC的平行线的平行线.PCBAABCPQR二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 2.3 参与性原则参与性原则2.1 2.1 针对性原则针对性原则2.2 2.2 可行性原则可行性原则二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.1 针对性原则针对性原则 【案例案例3】原题原题 如图如图1 1，在锐角三角形纸片，在锐角三角形纸片ABC中，将纸中，将纸片折叠，

5、使点片折叠，使点A落在对边落在对边BC上的点上的点D处，折痕交处，折痕交AB于点于点E，交交AC于点于点F，折痕，折痕EF/BC，连接，连接AD、DE、DF. .（1 1）求证：线段）求证：线段EFEF是是ABC的中位线的中位线. .（2 2）线段）线段AD、BC有何关系？并证明你的结论有何关系？并证明你的结论. .（3 3）若）若AB=AC，试判断四边形，试判断四边形AEDFAEDF的形状，并加以证明的形状，并加以证明. . C F E D B A二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式变式1 试一试，你能用一张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：试一试，你能用一张锐角三角形纸

6、片折出他的四条重要线段：角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的“四心四心”吗？吗？ 变式变式2 如图如图2，在钝角三角形纸片，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点中，将纸片折叠，使点A落在边落在边BC的延的延长线上的长线上的D处，折痕交处，折痕交AB于点于点E,交交AC于于点点F,折痕折痕EF/BC,连接连接CE、DE、DF,且且BC=2CD. (1)图中有几个等腰三角形？试写出图中有几个等腰三角形？试写出.（不能添加字母和辅助线，不要求证明）（不能添加字母和辅助线，不要求证明） (2) 若若AC=BC，试判断四边形，试判

7、断四边形EFDC的的形状，并证明你的结论形状，并证明你的结论. F E D C B A2.1 针对性原则针对性原则二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 A B D M N C 变式变式3 如图如图3 3，将边长为将边长为a的等边三角形折叠的等边三角形折叠，使点使点A落在边落在边BC的点的点D上上，且且BD:DC=m:n. .设折痕为设折痕为MN, ,求求AM:AN的值的值. .2.1 针对性原则针对性原则变式变式3 如图如图3，将边长为，将边长为a的等边三角形折叠，使点的等边三角形折叠，使点A落在边落在边BC的点的点D上，且上，且BD:DC=m:n.设折痕为设折痕为MN,求求AM:

8、AN的值的值.二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 【案例案例4】 原题原题 有一块三角形余料有一块三角形余料ABC，它的边，它的边BC=120mm，高，高AD=80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其上，其余两个顶点分别在余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？?N?E?B?C?Q?M?D?P?A【案例案例4】 原题原题 有一块三角形余料有一块三角形余料ABC，它的边，它的边BC=120mm，高，高AD=80mm. 要把它加工成

9、正方形零件，使正方形的一边在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则?A?P?D?M?Q?C?B?E?N 变式变式1 将原题中将原题中“正方形正方形PQMN”改为改为“矩形矩形PQMN”问矩问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？多少？余料的利用率是多少？2.2 可行性原则可行性原则变式变式1 将原题中将原题中“

10、正方形正方形PQMN”改为改为“矩形矩形PQMN”问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式变式2 一块直角三角形木板的一条直角边一块直角三角形木板的一条直角边AB长为长为1.5m，面积为，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如）所

11、示，乙设计方案如图（图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）?A?D?F?C?B?E2.2 可行性原则可行性原则?D?P?E?F?H?G?B?C?A图（图（1）图（图（2）二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 变式变式3 已知已知ABC是直角三角形，是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如图所示，把边长分别为，如图所示，把边长分别为x1, ,x2, ,x3, ,xn的的n个正方形依次个正方形依次放入放入AB

12、C中，则第中，则第1个正方形的边长个正方形的边长x1= ；第；第n个正方形的边个正方形的边长长xn= (用含用含n的式子表示，的式子表示，n1)?A?B?C?x?3?x?2?x?1二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 变式变式4 在在RtABC中，中，ACB90，AC4，BC3. （1）如图（）如图（1），四边形），四边形DEFG为为RtABC的内接正方形，的内接正方形， 求正方形的边长求正方形的边长 （2）如图（）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它），三角形内有并排的两个相等的正方形，它 们组成的矩形内接于们组成的矩形内接于RtABC，求

13、正方形的边长，求正方形的边长 （3）如图（）如图（3），三角形内有并排的），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们个相等的正方形，它们 组成的矩形内接于组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长，求正方形的边长?G?F?E?D?B?C?A?K?H?G?F?E?D?A?C?B?A?C?B图（图（1）图（图（2）图（图（3）二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则图 变式变式5 5 在已知在已知RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8（1）如图，若半径为）如图，若半径为r1的的 O1是是RtABC的内切圆，求的内切圆，求r1二、变式教学要遵循的原则二、变式教

14、学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则图（2）如图，若半径为）如图，若半径为r2的两个等圆的两个等圆 O1、 O2外切，且外切，且 O1与与AC、AB相切，相切， O2与与BC、AB相切，求相切，求r2.（3）如图，当）如图，当n大于大于2的正整数时，若半径的正整数时，若半径rn的的n个等圆个等圆 O1、 O2、 On依次外切，且依次外切，且 O1与与AC、BC相切，相切， On与与BC、AB相切，相切， O1、 O2、 O3、 O n1均与均与AB边相切，边相切，求求r n.图二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则 变式变式6 6 有一块直角三角形的

15、白铁皮，其一条直角边和斜边长有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为分别为60cm和和100cm. 若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？?O?2?O?1?B?C?A二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则?O?3?A?C?B?O?1?O?2 变式变式7 7 在变式在变式3的基础上再剪出一块圆铁皮的基础上再剪出一块圆铁皮

16、 O3， O3与与 O2外切，与外切，与BAC的两边相切，求的两边相切，求 O3的半径；若照此要求作下去，的半径；若照此要求作下去，求求 On的半径的半径rn的大小的大小.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例5】 “平方根平方根”概念的教学概念的教学【案例案例6】“矩形矩形”的概念教学的概念教学三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例5】“平方根平方根”概念的教学概念的教学正方形正方形面积面积416494/250.81边长边长x2416494/250.81x三、变式教学中七种变式举例

17、三、变式教学中七种变式举例3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例6】“矩形矩形”的概念教学的概念教学?B?C?D?A?B?C?D?A?D?C?B?A三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.2 3.2 过程变式过程变式【案例案例7】“等腰三角形的判定等腰三角形的判定”的教学的教学（1）模式化的定理教学）模式化的定理教学 复习性质定理、给出判定命题复习性质定理、给出判定命题 师生进行思路分析师生进行思路分析 通过论证得出定理通过论证得出定理 应用定理做练习应用定理做练习等腰三角形的两等腰三角形的两个底角相等个底角相等有两个角相等的三有两个角相等的三角形是等腰三角形角形是等腰三角

18、形写成已知求证的形式：写成已知求证的形式：已知：在已知：在ABCABC中，中，B=C.B=C.求证：求证：AB=ACAB=ACACB（2）用情境问题引发兴趣）用情境问题引发兴趣 如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？ 学生的三种学生的三种“补出补出”方法：方法：只剩一个底角和一条底边只剩一个底角和一条底边量出量出C C度数，画出度数，画出B BC C， B B与与C C的边相交得到顶点的边相交得到顶点A A作作BCBC边上的中垂边上的中垂线，与线，与C C的一边的一边相交得到顶点相交得到顶点A A“对折对折”（3）多种证法激活创造力）多种证法激活创造力 三种常

19、规的办法：三种常规的办法： 两种创造性的证法：两种创造性的证法：作作A A的平分线，的平分线，利用利用“角角边角角边”过过A A作作BCBC边的垂线，边的垂线，利用利用“角角边角角边”作作BCBC边上的中线，边上的中线，“边边角边边角”不能证明不能证明假定假定ABAC,ABAC,由由“大边对大角大边对大角”得得出矛盾出矛盾ABCABCACBACB，应用应用“角边角角边角”ACB（4）用变式练习分步解决问题）用变式练习分步解决问题 不断变换题目的条件：不断变换题目的条件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分B B，COCO平分平分C C。能得。能得出什么结论？出什么结论

20、？过过O O作直线作直线EFBCEFBC。图中有几个等腰三角图中有几个等腰三角形？为什么？线段形？为什么？线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间之间有何关系？有何关系？( (学生编题学生编题) )若若B B与与C C不相等不相等。 图中有没有等腰三角图中有没有等腰三角形？为什么？线段形？为什么？线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间还有之间还有没有关系？没有关系？( (学生讨论学生讨论) )三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等三角形高的概念图形与非概念图形等【案例案例9】二次函数图像的

21、变化规律认识二次函数图像的变化规律认识【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股定理到图形面积关系的拓展三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等三角形高的概念图形与非概念图形等三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例9】二次函数图像的变化规律认识二次函数图像的变化规律认识163) 1(33222xxyxyxy三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股

22、定理到图形面积关系的拓展勾股定理也可以表述为：勾股定理也可以表述为：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，为边，向形外分别作正方形，那么以两直角边向形外分别作正方形，那么以两直角边a,b为边长的两个正方形的面为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边积之和，等于以斜边c为边长的正方形的面积即为边长的正方形的面积即S1+S2=S3探索探索1：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正三为边，向形外分别作正三角形，那么是否存在角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？探索探索2：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为

23、直径，向形外分别作三为直径，向形外分别作三个半圆，那么是否存在个半圆，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？几何原本几何原本中的结论：中的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展中考举例从勾股定理到图形面积关系的拓展中考举例例例1（2009 宜宾）已知：如图，以宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作

24、等腰的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 例例2 （2009 湖州）如图，已知在湖州）如图，已知在RtABC中，中，ACB=Rt，AB=4，分别以分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则，则S1+S2的值等的值等于于 CABS1S2三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例11】圆中的有关结论圆中的有关结论【案例案例12】二次三项式二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七

25、种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例12】圆中的有关结论圆中的有关结论三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例12】二次三项式二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 原题：原题：x2+4x+ 中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解 变式变式1：如果添上的数不是：如果添上的数不是4而是而是3，即，即x2+4x+3，还能不能分解？，还能不能分解？ 变式变式2：把：把x2+4x+3改为改为x2-5x-6，又如何分解呢？，又如何分解呢？变式变式3：分解因式：分解因式：x2+(

26、a+b)x+ab 三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.5 3.5 题目变式题目变式 题目变式包括条件的探究（增加、减少或变题目变式包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等 一般地说，几何问题的演变策略演变策略通常有以下六种：u?条件的弱化或强化；u?结论的延伸与拓展；u图形的变式与延伸；u条件与结论的互换；u?基本图形的构造应用；u?多种演变方法的综合三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.5 3.5 题目

27、变式题目变式怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略 图图1 1 【案例案例13】已知：如图已知：如图1 1，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，中，AC=CE,AC=CE,点点D D在边在边BCBC的延长线上，且的延长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. . 求证：求证：CABCABECD.ECD.链接中考链接中考1. 如图，四边形如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别是都是正方形，边长分别是a、b、cA、B、N、E、F五点在同一条直线上，则五点在同一条直线上，则c= . (用含有用含有a、b的代数式表示的代数式表示)aDC

28、BAMcNEFbGH2如图，已知如图，已知ABC中，中，ABC=90, AB=BC，三角形的顶点在，三角形的顶点在相互平行的三条直线相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且上，且l1，l2之间的距离为之间的距离为2 , l2，l3之之间的距离为间的距离为3 ,则则AC的长是的长是 ( ) A B C D71725224l1l2l3ACB怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（一）条件的弱化或强化（一）条件的弱化或强化 当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两个条件其中一两个条件，或将其中的一两个条件“一般化一般

29、化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用拓展应用 1. 条件的弱化条件的弱化1.1 弱化条件弱化条件“AC=CEAC=CE（线段相等）（线段相等）”，则结论由三角，则结论由三角形全等弱化为三角形相似形全等弱化为三角形相似 变式变式1 如图如图2 2，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，点中，点D D在边在边BCBC的延的延长线上，且长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. .求证：求证：CABCABECD.ECD.图图2 2 试题试题1 如图如图3，正方形正方形ABCD的边长为的边长为4cm，

30、点点P是是BC边上不与点边上不与点B，C重合的任意一点，连接重合的任意一点，连接AP，过点，过点P作作PQAP交交DC于点于点Q，设设BP的长的长为为xcm, CQ的长的长为为y cm（1）求点求点P在在BC上运动的过程中上运动的过程中y的最大值；的最大值；（2）当当y =1/4 cm时时，求求x的值的值?图图3链接中考链接中考 试题试题2 如图如图4, ,边长为边长为1的正方形的正方形O OABC的顶点的顶点O为坐标原为坐标原点点, ,点点A在在x轴的正半轴上，点轴的正半轴上，点C在在y轴的正半轴上动点轴的正半轴上动点D在线在线段段BC上移动（不与点上移动（不与点B，C重合），连接重合），连

31、接OD，过点，过点D作作DEOD,交边交边AB于点于点E，连接，连接OE. .记记CD的长为的长为t. .图图4（1 1）当）当t=1/3时时, ,求直线求直线DEDE的函数表达式的函数表达式（3 3）当）当OD2 2+ +DE2 2的算术平方根取最小值时的算术平方根取最小值时，求点，求点E E的坐标的坐标（2 2）如果记梯形）如果记梯形COEB的面积为的面积为S，那么，那么S是否存在最大值？若存在是否存在最大值？若存在, ,试求出这个试求出这个最大值及此时最大值及此时t的值的值; ;若不存在若不存在, ,试说明理由试说明理由x链接中考链接中考试题试题3 已知已知A、D是一段圆弧上的两点，且在

32、直线的同侧，分是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是是BC上一动点，连结上一动点，连结AD、AE、DE，且，且AED=90（1 1）如图，如果）如图，如果AB=6, BC=16, ,且且BE:CE=1:3，求求AD的长的长（2 2）如图，若点）如图，若点E E恰为这段圆弧的圆心，则线段恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明. .再探究：当再探究：当A、D分别在直线两侧且分别在直线两侧且ABCD，而其余条件不变时，线段，而其余条件不变时，

33、线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.链接中考链接中考lABCDE（1）ClABDE（2）变式变式2 如图如图5 5，在，在ABC和和CDE中，点中，点D在边在边BC的延长线上，的延长线上，AC=CE，且，且ACE=B=D, ,则则ABCCDE. .1.2 弱化条件弱化条件“直角直角”，则，则“全等全等”结论仍然结论仍然成立成立 图图5 5 试题试题3 3 如图如图6 6，ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D，E，F分分别在边别在边BC，CA，AB上，且上，且DEF也为等边三角形也为等边三角形（1 1）除已知等

34、边三角形的边相等以外，请你猜想还有）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；哪些线段相等，并证明你的结论； 图图6 6 （2 2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程到？写出变换过程链接中考链接中考2.3 同时弱化条件同时弱化条件“线段相等线段相等”和和“直角直角”, ,则结论由则结论由全等弱化为相似全等弱化为相似变式变式3 3 如图如图7 7，在，在ABC和和 CDE中，点中，点D在边在边BC的的延长线上，延长线上，ACE= = B= = D，则，则ABC CDE 图图7 7 试题试题4 如

35、图如图8 8，在等边，在等边ABC 中，中，P为为BC边上一点，边上一点，D为为AC边上一点，且边上一点，且APD= =60，BP= =1，CD= =2/3, ,则则ABC的边长为（的边长为（ ） A3 B4 C5 D6 图图8 8链接中考链接中考试题试题5 5 如图如图9 9，在，在RtCAB中，中，CAB=90，AB=AC=2, ,点点D在在BC上运动（不能到达点上运动（不能到达点B,C）, ,过点过点D作作ADE=45, ,DE交交AC于点于点E (1)(1)求证：求证：ABDDCE; ; (2) (2)设设BD=x, ,AE=y, ,求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式 图图9 9

36、链接中考链接中考 试题试题6 在等腰在等腰ABCABC 中，中，AB=ACAB=AC=8, BAC=1208, BAC=120, ,P为为BCBC的中点小惠拿着含的中点小惠拿着含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角角的顶点落在点的顶点落在点P P （1 1）如图）如图10（1 1），当三角板的两边分别交），当三角板的两边分别交AB,ACAB,AC于点于点E,FE,F时，时，求证：求证：PBE PBE FCPFCP ；（2 2）操作：将三角板绕点）操作：将三角板绕点P旋转到图旋转到图10（2 2）情形时，三角板的）情形时，三角板的两边分别交两边分别交BABA的延长线、边的延长线、边AC

37、AC于点于点E,FE,F 探究探究1 1：PBEPBE与与CFPCFP还相似吗？还相似吗？ 探究探究2 2：连接：连接EF, , PBEPBE与与EFPEFP是否能相似？试说明理由？是否能相似？试说明理由？ 设设EF=EF=m, , EPFEPF的面积为的面积为S,S,试用含试用含m 的代数式表示的代数式表示S S 图图1010试题试题7 如图如图11，已知在等腰梯形，已知在等腰梯形ABCD中，中，ABCD，ABCD, AB=10，BC=3（1）如图）如图11( (1) )，如果，如果M为为AB上一点，且满足上一点，且满足DMC= A, , 求求AM的长的长；（2）如图）如图11( (2) )

38、，如果点，如果点M在在AB边上移动（点边上移动（点M与与A，B不重合），且满足不重合），且满足DMN=A，MN交交BC的延长线于点的延长线于点N，设，设AM=x，CN=y，求，求y关于关于x的函数解析式的函数解析式 图图1111链接中考链接中考怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略2. 条件的强化条件的强化 针对基本问题及变式问题中的线段、角等几何元针对基本问题及变式问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生综合应用知识

39、解决问题的能力综合应用知识解决问题的能力（一）条件的弱化或强化（一）条件的弱化或强化变式变式4 如图如图12，在笔直的公路的同侧有，在笔直的公路的同侧有A，B两个村两个村庄，已知庄，已知A，B两村分别到公路的距离两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km（1 1）现要在公路上建一个汽车站）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到，使该车站到A，B两两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法（不写作法，保留作图痕迹）；，保留作图痕迹）；（2 2）若连接）若连接AP，BP，测得，测得APB=900 0, ,求求A村到车站村到车站P的的距离距离图

40、图1212 试题试题8 如图如图13，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=10. .直直角尺的直角顶点角尺的直角顶点P在在AD上滑动时（点上滑动时（点P与点与点A不重合），一不重合），一直角边经过点直角边经过点C，另一直角边与，另一直角边与AB交于点交于点E. .我们知道，结我们知道，结论论“RtEPARtPCD”成立成立（1 1）当）当CPD=300时，求时，求AE的长；的长；（2 2）是否存在这样的点）是否存在这样的点P，使，使DPC的周长等于的周长等于AEP周周长的长的2 2倍？若存在，求出倍？若存在，求出DP的长；若不存在，试说明理由的长；若不存在，试说明理由链接中考链接中考

41、怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（二）结论的延伸与拓展（二）结论的延伸与拓展 考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展 变式变式5 在在ABC中，中，ACB=900，AC=BC，直线，直线MN经过点经过点C，ADMN ，垂足为，垂足为D，BEMN ，垂足为，垂足为E（1 1）当直线）当直线MN绕点绕点C旋转到图旋转到图14( (1) )的位置时，求证：的位置时，求证： ACD CBE; ; DE=AD+BE. .（2 2）当直线）当直线MN绕点绕点C旋

42、转到图旋转到图14( (2) )的位置时，试问：的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明并加以证明 图图14 14 怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（三）图形的变式延伸（三）图形的变式延伸 结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的化，如将习题中的ABCABC和和CDECDE相向移动交叉重叠，相向移动交叉重叠，如图如图1515所示所示图图15图图15试题试题9 9 问题背景问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个某课外学习小

43、组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：命题： 如图如图16(1)16(1)，在正，在正ABCABC中，中，M M，N N分别是分别是ACAC，ABAB上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交相交于点于点O O，若，若BON=60BON=600 0 ，则，则BM=CNBM=CN；如图；如图16(2)16(2)，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M，N N分分别是别是CDCD，ADAD上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=90BON=900 0 ，则，则BM=CNBM=CN；然后运用；然后运用类比的思想提出了如下命题：类比的思想提出了如下命题：如图

44、如图16(3)16(3)，在正五边形，在正五边形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分分别是别是CDCD，DEDE上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=108BON=1080 0，则，则BM=CNBM=CN 任务要求任务要求 （1 1）请你从）请你从、三个命题中选择一个进行证明；三个命题中选择一个进行证明； （2 2）请你继续完成下面的探索：）请你继续完成下面的探索：试在图试在图16(3)16(3)中画出一条与中画出一条与CNCN相等相等的线段的线段DHDH，使点，使点H H在正五边形的边上，且与在正五边形的边上，且与CNCN相交所成的一个角是相交所成

45、的一个角是1081080 0，这，这样的线段有几条？样的线段有几条？如图如图16(4)16(4)，在正五边形，在正五边形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分别是分别是DEDE，DADA上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=108BON=1080 0 ，请问结论，请问结论BM=CNBM=CN是否还成立？是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（四）条件与结论的互换（四）条件与结论的互换 建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题建立并研究讨论几何命题的

46、逆命题，这是几何命题教学中最为常见的一种演变方法教学中最为常见的一种演变方法 如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用 试题试题1010 如图如图17(1)17(1)、图、图17(2)17(2)、图、图17(3)17(3)中，点中，点E E，D D 分

47、别是正分别是正ABC ABC 、正四边形、正四边形ABCMABCM、正五边形、正五边形ABCMNABCMN中中以以C C点为顶点的相邻两边上的点，且点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CDBE=CD，DBDB交交AEAE于点于点P P ( (1 1) )求图求图17(1)17(1)中中, APD, APD的度数；的度数； （2 2) )图图17(2)17(2)中，中，APDAPD的度数为的度数为 ，图，图17(3)17(3)中，中，APDAPD的度数为的度数为 ； ( (3 3) )根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n n边形的边形的情况若能，写

48、出推广问题和结论；若不能，试说明理由情况若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由图图1717怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（五）基本图形的构造应用（五）基本图形的构造应用 几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能备必需的添加辅助线构造基本图形的技能. 试题试题11 如图如图1818，在梯形，在梯形ABCDABCD

49、中，中，ADBCADBC， ABC=90ABC=900 0，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=AB=a，在线段，在线段BCBC上任取一点上任取一点P P，连接，连接DPDP，作，作射线射线PEDPPEDP，PEPE与直线与直线ABAB交于点交于点E.E.（1 1）若设）若设CP=CP=x ，BE=BE=y ，试写出，试写出y关于自变量关于自变量x的函数关系的函数关系式式. .（2 2）若在线段）若在线段BCBC上能找到不同的两点上能找到不同的两点P P1 1，P P2 2，使按上述作，使按上述作法得到的点法得到的点E E都与点都与点A A重合，试求出此时重合，试求出此时a的聚会范围

50、的聚会范围. .图图1818链接中考链接中考试题试题12 如图如图2121，MON=90MON=900 0，在，在MONMON的内部有一正方形的内部有一正方形AOCDAOCD，点，点A A，C C分别在射线分别在射线OMOM，ONON上，点上，点B B1 1是是ONON上的任意一点，上的任意一点，在在MONMON的内部作正方形的内部作正方形ABAB1 1C C1 1D D1 1（1 1）连接）连接D D1 1D D，求证：，求证：ADDADD1 1=90=900 0 ; ;（2 2）连接）连接CCCC1 1，猜一猜，猜一猜，C C1 1CNCN的度数是多少？并证明你的的度数是多少？并证明你的结

51、论结论（3 3）在）在ONON上再任取一点上再任取一点B B2 2，以，以ABAB2 2为边，在为边，在MONMON的内部作的内部作出正方形出正方形ABAB2 2C C2 2D D2 2，观察图形，并结合，观察图形，并结合(1)(1)、(2)(2)的结论，请你的结论，请你再作出一个合理的判断再作出一个合理的判断图图2121怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（六）多种演变方法的综合（六）多种演变方法的综合 习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实际

52、，因此，在对例习题教学功能的挖掘方面教师们常际，因此，在对例习题教学功能的挖掘方面教师们常常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略. .图图1三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例【案例案例14】如图如图1 1，A, ,C , ,B三点在一条直线上，三点在一条直线上，DAC和和EBC均为等边三角形，均为等边三角形，AE，BD分别与分别与CD，CE交于点交于点M，N，有如下结论有如下结论ACE DCB；CM=CN；AC=DN. .其中，正确结论的个数是（其中，正确结论的个数是（ ）（A A）3 3 （B B）2 2 （C C）1 1

53、（D D）0 0图图2三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例例例2 2结论的探究结论的探究（1）图）图1 1中全等的三角形有几对？中全等的三角形有几对？（2）如图）如图2 2，连接，连接MN，猜想，猜想CMN的形状的形状.（3）猜想）猜想MN和直线和直线AB的位置关系的位置关系.（4）猜想）猜想EFB的度数的度数.（5）图）图2中相似的三角形有哪些？中相似的三角形有哪些？（6）若已知）若已知DAC和和EBC的边长的边长分别为分别为a和和b，试求，试求MN的长的长.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例例例2条件的探究条件的探究图图3 探究探究1：如图如图3 3，当，

54、当A，C，B三点不共线时，以上探三点不共线时，以上探讨的一系列结论哪些仍然成立？哪些不成立？讨的一系列结论哪些仍然成立？哪些不成立？ 探究探究2 2：在上题中，若将图中的在上题中，若将图中的“等边三角形等边三角形”改成改成“正方形正方形”、“正五边形正五边形”（如图（如图4 4、图、图5 5所示），以上探讨所示），以上探讨的结论还成立吗？的结论还成立吗？图图4图图5三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例例例2 2的几个变式的几个变式 变式变式1 1：如图如图6 6或图或图7 7，已知：，已知：ABDABD，ACEACE都是等边都是等边三角形，求证：三角形，求证：CD=BE CD=

55、BE . . 图图6图图7三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 变式变式2 2：如图如图8 8，点，点A A为线段为线段CBCB延长线上一点，分别延长线上一点，分别以以BCBC，ACAC为边在直线为边在直线BCBC异侧作等边异侧作等边BCDBCD和等边和等边ACEACE，求证：求证：ADAD= =BE BE . . 图图8三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 变式变式3 3：如图如图9 9，点，点A A为线段为线段BCBC上一点，上一点，ABDABD和和ACEACE都是等腰三角形，且都是等腰三角形，且ABAB，ADAD与与ACAC，AEAE分别是等腰分别是等腰三

56、角形的腰，且三角形的腰，且ABDABDACEACE，求证：，求证：CD=BECD=BE . . 图图9三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.6 方法变式方法变式 所谓所谓“方法变式方法变式”就是把同一个问题的不就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（联结起来（“一题多解一题多解”）.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D

57、，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图10三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图11 思路思路1 1：（延长法）：（延长法）如图如图1111，延长延长CECE至点至点D D,使使EDED=CECE，连，连接接ADAD，BDBD，则，则CDCD=2=2CECE，然，然后利用

58、后利用CBDCBDCBDCBD，得出，得出CDCD=CD CD 即可即可. . 三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE . 思路思路2 2：（截取法）：（截取法）如图如图1212，取，取CDCD的中点的中点E E，连接，连接BEBE，利用，利用CBECBECBECBE，得出，得出CECE=CECE，而而12CECD，得证，得证. .图图12三、变式教学

59、中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图13 思路思路3 3：( (利用三角形中利用三角形中位线的性质位线的性质) )如图如图1313，构造，构造DFG，使，使E，C分别是分别是DF，DG的中点，连接的中点，连接CF，则，则FG=2CE，CG=CD，只要证，只要证FG=CG即可即可.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图

60、如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图10 思路思路4：（相似法）：（相似法）如图如图10，利用利用AECACD，相似比为，相似比为 12，得，得12ECCD，得证，得证. 三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.73.7 思维变式思维变式 思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤其是题目变式（其是题目变式（“多题一解多题一解”）与方法变式（）与方法变式（“一一题