空间向量的正交分解及坐标表示学习教案

1、空间向量的正交分解及坐标空间向量的正交分解及坐标(zubio)表表示示第一页，共42页。学习学习(xux)目标目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示掌握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示。向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断认识到事物都是在不断(bdun)的发展变化的。的发展变化的。学习学习(xux)

2、重点重点 空间向量基本定理空间向量基本定理学习难点学习难点 探究空间向量基本定理的过程及定理的应用探究空间向量基本定理的过程及定理的应用第1页/共42页第二页，共42页。1211122122e eae eaee 如如果果 ，是是同同一一平平面面内内的的两两个个向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一对对实实数数 ，使使。（ 、叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组不不共共线线基基底底。）1、平面向量(xingling)基本定理：一、预备一、预备(ybi)知识知识第2页/共42页第三页，共42页。apbyaxp 一、预备

3、知识一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量、下图中，如何用两个不共线向量 来表来表示示 ？ba,paxbybOP第3页/共42页第四页，共42页。yx12312ij3、在平面直角坐标系中，取与、在平面直角坐标系中，取与X轴轴Y轴方向轴方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 、作为基底，在图中、作为基底，在图中作出作出 = ，并写出，并写出 的坐标。的坐标。 ijpji23 ppp=（3，2） i3j2O第4页/共42页第五页，共42页。pxyzoijkijk二、探究与发现二、探究与发现 探究一探究一设设 、 、 为由公共起点为由公共起点O的三个两两互相垂直的向的三个两两互相垂直的向量，

4、那么对于空间任意一个向量量，那么对于空间任意一个向量 ，如何用，如何用 、 、 来表示？来表示？ijkpQkzjyi xpP第5页/共42页第六页，共42页。abpccba,cbyaxpzOPQ第6页/共42页第七页，共42页。如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任不共面，那么对空间任一向量一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量第7页/共42页第八页，共42页。注意注意对于基底对于基底a,b,c需要明确以下几点：需要明确

5、以下几点：1.向量向量a,b,c不共面；不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；一个基底；3.由于由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量中的某一个向量.第8页/共42页第九页，共42页。 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为的

6、三个基向量互相垂直，且长都为1，则这，则这个基底叫做个基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐通过每两个坐标轴的平面

7、叫做标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间）空间(kngjin)向量的坐向量的坐标表示标表示第9页/共42页第十页，共42页。 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理由空间向量基本定理(dngl)，存在唯一的有序实数组存在唯一的有序实数组(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组( x, y, z)叫做叫做p在空间直在空间直角坐标系角坐标系O-xyz中的坐标，记中的坐标，记作作.P=(x,y,z)p（2）空间向量的坐标）空间向量的坐标(zubio)表示表示xyzO

8、e3e1e2P第10页/共42页第十一页，共42页。三、空间向量的正交分解及其坐标(zubio)表示xyzOijkP记作 =(x,y,z)pNoImage由空间向量基本定理，对由空间向量基本定理，对于空间任一于空间任一向量向量 存在唯存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y, z)使使 pkzj yi xpPP第11页/共42页第十二页，共42页。ijkijkijk第12页/共42页第十三页，共42页。三、定理应用三、定理应用例例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 、 、 表示 和 。 OAOBOCOPOQ解：= 第13页/共42页第十四页

9、，共42页。MNOAMQOMOQ3121)(3121OMONOA)21(3121OAONOA)(213131OCOBOA )(3221OMONOA)21(3221OAONOA)(213261OCOBOAOCOBOA313161MNOAMPOMOP3221解：第14页/共42页第十五页，共42页。练习练习(linx)(linx) . .空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上, ,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点, ,则则MN=( ).MN=( ).OABCMN(A) a b + c 12

10、2312(B) a + b + c 122312(C) a + b c 122312(D) a + b c 122323第15页/共42页第十六页，共42页。第16页/共42页第十七页，共42页。四、学后反思四、学后反思(fn s)1、知识点：2、问题探究过程(guchng)的思路剖析：课下探究 空间向量基本定理与课本(kbn)95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：五、作业： P106 A组1. 2.第17页/共42页第十八页，共42页。练习练习(linx)2第18页/共42页第十九页，共42页。第19页/共42页第二十页，共42页。如果三个向量如果三个向量a、b、c

11、不共面，那么对空间任不共面，那么对空间任一向量一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量第20页/共42页第二十一页，共42页。则则 叫做叫做点点A 在此空间坐标系在此空间坐标系o-xyz的的坐标坐标； ),(zyxxyzOijkAa NoImage3. 坐标坐标(zubio)向量向量(xingling)的坐标的坐标给定一个空间直角坐标系和向量给定一个空间直角坐标系和向量 , 且且设设 为坐标向量，则存在唯一的为坐标向量，则存在唯一的有序有

12、序实数组实数组( a1, a2, a3)使使 a i,j,k 123a=a ia ja k 有序数组有序数组( a1, a2, a3)叫做叫做 在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的中的坐标坐标，记作记作.a a= (a1, a2, a3)点的坐标点的坐标(zubio)在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A, 对应一个向量对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组x, y, z，使，使OA OA=xiy jzk ),(zyx记作记作Ax, y, z分别称作点分别称作点A的的横坐标横坐标, 纵坐标纵坐标, 竖坐标竖坐标.第21页/

13、共42页第二十二页，共42页。123123(,)( ,)aa aabb b b设，则则 ba ba a ba baba / 0baba二、空间二、空间(kngjin)(kngjin)向量的坐标向量的坐标运算运算. .);,(332211bababa );,(332211bababa );)(,(321Raaa ;332211bababa 332211,bababa 312123aaabbb(注：分母不为零注：分母不为零). 0332211 bababa第22页/共42页第二十三页，共42页。若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)

14、- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段向量的有向线段(xindun)(xindun)的终点的坐标减去起点的坐标的终点的坐标减去起点的坐标. .第23页/共42页第二十四页，共42页。1. 1.距离距离(jl)(jl)公式公式（1 1）向量的长度）向量的长度(chngd)(chngd)（模）公式（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。长度。第2

15、4页/共42页第二十五页，共42页。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间）空间(kngjin)两点间的距离公式两点间的距离公式第25页/共42页第二十六页，共42页。2.2.两个向量两个向量(xingling)(xingling)夹角公夹角公式式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 a

16、bcos,1 a b与 abcos,0 a bab第26页/共42页第二十七页，共42页。第27页/共42页第二十八页，共42页。(2, 3,5),( 3,1, 4),1), 2) 3)8 4),abababaa b 例1：已知求，第28页/共42页第二十九页，共42页。练习练习(linx)一：一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列两点间的距离及中点坐标：求下列两点间的距离及中点坐标：(1)(1,1, 0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3 ,1, 5) ,(0

17、 ,2 , 3) .CDOABM第29页/共42页第三十页，共42页。第30页/共42页第三十一页，共42页。yzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例1如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01

18、1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 第31页/共42页第三十二页，共42页。如图长方体ABCD-ABCD,底面边长均为1，棱AA=2，M、N分别是AC,AA的中点， （1）求CN的长;（2）求cos的值; （3）求证:ACDM .ADCBACDBNM例题第32页/共42页第三十三页，共42页。ADCBACDBNMxyz解：（1）如图建立空间(kngjin)直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1)30)(11)(00)(1|CN|222第33页/共42页第三十四页，共42页。第3

19、4页/共42页第三十五页，共42页。（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)CA=(1,-1,2)，DC=(0,1,2)，1030|DC|CA|DCCADC,CAcos211CA02121MD22121M,0,0,2D，020121121CAMD（3）ACDM 第35页/共42页第三十六页，共42页。证明证明(zhngmng):设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立建立(jinl)如图的空间直角坐标系如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证第36页/共42页第三十