三角形角平分线地结论及应用

1、实用文档浅议三角形角平分线的结论及应用摘要:一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边

2、的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在ABC,/ABC、ZACB的角平分线的交与点D,A试探究：ZD=90°+1/A。解：:BDCD为角平分线./CBD=L/ABC,（图1）/BCD=l/ACB实用

3、文档在/BCD中：/D=180°(ZCBD+ZBCD)=180°1(ZABC+ZACB)2=180°-1(180°-ZA)2=90°+1ZA2变式练习的题目有(1)如图2、在4ABC中，/ABC、/ACB的角平分线的交与点D,/D=10O,则/A的度数是度。解：由结论1得知，/D=90°+1/A。则/A=2/D-180,2容易得出/A=20(图2)(2)如图3:在四边形ABCDKZD=120,/A=100°/ABC、/ACB的角平分线的交与点E,试求/BEC勺度数(图3)解：./A+/ABC+/ACB+/D=360又./D=

4、120,/A=100./ABC+/ACB=140BE、CE分别是ABC、ZACB的角平分线/EBC廿ECB=70./BEC=110.结论二、如图4,ABC4D为AABC的两条外角平分线的交点，试探究:ZD=90°-1ZA2解：BD、CD为角平分线1，一/CBD上/CBE2，1_/BCD=/BCF2在BCD中：/D=180°(ZCBD+ZBCD)标准文案实用文档=180°(-ZCBE+1ZBCF)221=180-1(ZCBE+ZBCF)2=180°1(/A+180)2。1=90-ZA2变式练习的题目：(1)如图5,zABC中，/A=60°,D为A

5、ABC的两外角/CBE与/BCE勺三等分线的交点，则/D的度数是解：.BD、CD为/CBEW/BCES等分线，一1一/BCD=-/BCF3F在ABCD中：/D=180°-(ZCBD+ZBCD)(图5)c,1,1,、=180-(-ZCBE+-ZBCF)(图6)33,。1，,、=180(ZCBE+ZBCF)=180°-1(ZA+180)33=1201/A=1003(2)如图6,在AABC中，三个外角的平分线所在的直线相交构成DEF试判断DEF的形状。解：由结论二容易得出/D=901/ACB,/E=90-ZBCA、22一1.，一/F=90-2ZABC由于/E、/F都小于90,所以

6、ADEF锐角三角形标准文案实用文档结论三、如图7,在ABC中，/ABC与AABC的外角/ACE的平分线交与点D,试探究：ZD=1/A。2解：:BD为角平分线，./CBD=1/ABC,2又CD为/ACE的平分线./DCE=1/ACE,211/D=1/ACE-ZABC22=1（/ACE/ABC）2(1)如图8,如图，在ABC中,延长BC到D,/ABC</ACD勺角平分变式练习的题目有；（图9）由可知2/D-180=1802/E线相较于A1点，/A1BC与/CAiD的平分线交与Ai点，以此类推，若/A=96°，则/A5=度.n解：由命题的结论不难发现规律/An=1)/A.可以直接得：

7、/A5=2x960=3.32（图8）结论四、如图9,在ABC中，/ABC、/ACB的角平分线的交与点D,ABC的两条外角平分线交与点证明：由结论一可知；/D=90则/A=2/D-180由结论二可知：/E=90/A=1802ZE标准文案实用文档由此得出/D+/E=180变式练习的题目:如图10,点M是ABQW个内角的平分线的交点，点N是AABC两个外角的平分线的交点,如果/CMB/CNB=32,那么/CAB=度由结论四可知，/CMB+CNB=180,/CMB/CNB=32,./CMB=180X3=108,由结3可知，90+12/CABhCMB=108,B（图10）./CAB=36.结论五：如图1

8、1,4ABC中/ABC、/ACB的角平分线BNCM勺交与点P,求证：点P到三边ABBGCA的距离相等证明；过点P作PDLABPE!BCPF71CA垂足分别是D.E、F.BN是的角平分线，PD±ABPE!BC.PD=PE（图11）同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边ABBCCA的距离相等变式练习的题目有：(1)已知，如图12,ABC,求证：zABC的三条角平分线相交于一点P证明；假设/ABC/ACB的平分线交于点P.标准文案转站,要求它到二条公路的距离相等A.一处B,两处C,三处D,四处，则可供选择的地址有:（）冈X（图14）、变式练习题目：（1）如图14,直线表示三条相互交叉

9、的公路，现要建一个货物中标准文案实用文档则过点P作过点P作PD，ABPUBCPF，CA,垂足分别是DE、F.BN是的角平分线，PD±ABPE!BC.PD=PE同理PE=PF.1PD=PF.PD1ABPF±CA,;点P在/A的平分线上（图12）即/A、/ABC/ACB勺平分线相交于一点P（2）已知ABC中/B、/C的角平分线的交与点D,求证：点D在/A的平分线上（证明略）结论六：如图13,点E是ABC-个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，求证:AE是ABC的外角平分线.证明：如图：则过点E作过点P作EGLACEF±BDEHLBH,垂足分别是GF、H、BE是/

10、ABC勺平分线,EF±BDEHLBH,E即EF=EG=EH/:可得：EH=EF同理：EG=EFBCFD.EG=EHEGLACEH1BH,（图13）.AE是ABC勺外角平分线.实用文档解：由以上很容易得到答案：D（2）如图15,AABC的/B的外角的平分线BD与/C的外角的平分线CE相交于点F.求证：点F到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.（证明略）（3）点D是ABOW个外角平分线BDCD的交点，cZ>求证:AD是/CAB的角平分线。（证明略）（图15）/掌握以上知识，那么完成以下题目就很轻松哟！1、（2011年湖北省鄂州是中考题）ABC勺外角/ACD勺平分线CP的内角/ABC平分线BP交于点P,若/BPC=40,贝U/CAP=解：由结论六可知：AP是ABC勺一个外角的平分线A/01/一,由结论三可知：/BPC=-ZA./BPC=40/./A=80°./A的相邻外角是100所以/CAP=502、（2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题）如图17,在RtAABC中，/ACB=90,/BAC=30,/ACB勺平分线与/ABC勺外角平分线交与E点，连接AE,则/AEB=度.解：由结论六可以知道：AE是ABC勺一个外角平分线，-一一57由结论二可知：/AEB=902/ACB由此可得/AEB=90-