一元代数方程求解的历史

1、一、一、背景背景 一元代数方程一元代数方程求解的历史求解的历史 可以追溯到可以追溯到公元前公元前3500年年； 古巴比伦人就已经知道一元二次方程的求根公式古巴比伦人就已经知道一元二次方程的求根公式； 1545年年Cardan的大法的出版使人们知道了三、四的大法的出版使人们知道了三、四次方程的求根公式次方程的求根公式； 自此众多的数学家（自此众多的数学家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、Gauss 、Abel、Galois）继续）继续向向五次及五次以五次及五次以上方程而努力。上方程而努力。LagrangeLagrange置换思想的产生置换思想的产生 报告人：赵

2、增逊报告人：赵增逊西北大学数学与科学技术史中心西北大学数学与科学技术史中心LagrangeLagrange置换思想的产生置换思想的产生一、一、置换置换产生的背景产生的背景二、二、置换置换产生的原因产生的原因三、三、置换置换产生的过程产生的过程 1、对已知解法的思考 2、初次实践置换思想 3、验证一 4、验证二 5、分析四、结论四、结论一、置换产生的一、置换产生的背景背景 1545年年Cardano的大法的出版使人们知道了三、的大法的出版使人们知道了三、四次方程的求根公式四次方程的求根公式。 自此众多的数学家（自此众多的数学家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、

3、Gauss 、Abel、Galois）继续）继续向向五次及五次以五次及五次以上方程而努力。上方程而努力。第一个历史性的第一个历史性的台阶台阶就是就是Lagrange。 Lagrange对代数方程求解做出了巨大贡献：对代数方程求解做出了巨大贡献：用置换用置换的思想进行代数方程求解以及因此而得出的代数方程求的思想进行代数方程求解以及因此而得出的代数方程求解理论解理论。 一一、彻底改变了人们的思维，使数学家们从单纯的彻底改变了人们的思维，使数学家们从单纯的寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的、通寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的、通用的方法，并使他们从繁重的数学计算中解脱出来；用的

4、方法，并使他们从繁重的数学计算中解脱出来； 二二、改变了代数方程求解的内涵改变了代数方程求解的内涵从寻找求根公从寻找求根公式（原方程系数的表达式，是一个结果）到寻找预解式式（原方程系数的表达式，是一个结果）到寻找预解式（原方程（原方程根根的函数，是一种结构）；的函数，是一种结构）； 三三、得出一系列重要的代数知识，比如域概念、置得出一系列重要的代数知识，比如域概念、置换群概念的雏形，这些知识被以后的数学家换群概念的雏形，这些知识被以后的数学家Ruffini、Gauss、Abel、Galois等恰当的运用使代数方程求解问题等恰当的运用使代数方程求解问题最终得以解决，并推动了代数学本身的发展。最终

5、得以解决，并推动了代数学本身的发展。 Lagrange是代数方程求解的转折者，也是近代代数是代数方程求解的转折者，也是近代代数学的先驱。学的先驱。二、置换产生的二、置换产生的原因原因 到到Lagrange时期代数方程的求解已经得到发展，伟时期代数方程的求解已经得到发展，伟大的数学先驱们（大的数学先驱们（Cardan、Ferrari、Tschirnaus、Bezut、Euler）已经过不懈的努力解决了三、四次方程的求解）已经过不懈的努力解决了三、四次方程的求解; 采用纯代数的方法，采用纯代数的方法，都都是代数技巧方法的运用及复是代数技巧方法的运用及复杂冗长的计算。杂冗长的计算。 这五个人对这五个

6、人对Lagrange的影响最大，虽然他们都采用的影响最大，虽然他们都采用自己的方法进行求解，但自己的方法进行求解，但Lagrange经过严密的验证得出经过严密的验证得出其实他们方法的本质都是一样的，所以最终归属也必然其实他们方法的本质都是一样的，所以最终归属也必然一样。一样。 Lagrange从这些解法中得到辅助方程的思想，即：从这些解法中得到辅助方程的思想，即：解一元三次方程需要预解二次辅助方程，解一元四次方解一元三次方程需要预解二次辅助方程，解一元四次方程需要预解三次辅助方程；程需要预解三次辅助方程； 解一元五次方程需要预解二十四次的辅助方程解一元五次方程需要预解二十四次的辅助方程 （ T

7、schirnaus、Bezut、Euler也得到同样的结果）也得到同样的结果）。 代数方程求解进入了困境，寻找特殊技巧进行代数代数方程求解进入了困境，寻找特殊技巧进行代数方程求解似乎是不可行的了方程求解似乎是不可行的了； 此时不仅是要为代数方程求解寻找一般的、通用的此时不仅是要为代数方程求解寻找一般的、通用的方法，更重要的是得为代数方程求解谋求出路方法，更重要的是得为代数方程求解谋求出路。 置换应时代之召唤出现了置换应时代之召唤出现了。置换的产生是必然的。置换的产生是必然的。 置换思想的出现有其自然置换思想的出现有其自然的的过程，是过程，是Lagrange经过认经过认真计算、缜密思考、反复实践

8、而得出的。真计算、缜密思考、反复实践而得出的。 寻找一种区别寻找一种区别于于运用代数技巧进行代数方程求解的运用代数技巧进行代数方程求解的方法势在必行方法势在必行。（1、思考思考） Lagrange明白：要解高次方程主要是解它的辅助方明白：要解高次方程主要是解它的辅助方程程； 辅助方程的次数是至关重要的，因为如果辅助方程辅助方程的次数是至关重要的，因为如果辅助方程的次数小于原方程的次数则原方程就可解，若大于原方的次数小于原方程的次数则原方程就可解，若大于原方程的次数则一般不可解。程的次数则一般不可解。 Lagrange马上注意到马上注意到Cardan解解三次方程三次方程时时的辅助方的辅助方程程

9、为什么是六次的呢为什么是六次的呢？（可按二次方程求（可按二次方程求解）解）027npyy336三、置换产生的三、置换产生的过程过程rnrxrnrxrnrxixrrrnypyynyxpxnxmxxCardancbapnxmxx3,3,3)23101,(,02730,3,032336323则易得：也为其根的根为和则令其根为有令则原方程变为的方法，令为使用的根为设一般三次方程srmcsrmbsrmasrmsrmsrmxsrnmxx3333,3,3,33故有的三个值有，令由于(*)(1()(1()1)(1 (1)(1)(1)(1)()(1 ()(1 (cbrcabarsrcasrbasrcasrba即

10、上两式联立得：即易得的值。的值即为即）有将上三式代入（有令对上式两端求导得：由于yrcbarcbarxxxxxxxxxxxx3333*)(1(3)(1(3)1)(1 (3, 1)(1()(1()(3)()(1(2223 对于根对于根 y的表达式的表达式 可以任意交换可以任意交换a,b,c的位置，即的位置，即 y的值有的值有 3!=32=6个，那么关于个，那么关于y的结构的结构辅助方辅助方程一定是六次的。程一定是六次的。 正如正如Lagrange本人所说：本人所说：y 的结构为什么是六次的，的结构为什么是六次的，因为因为它它不依赖不依赖a, b, c 的值，也不依赖系数的值，也不依赖系数m, n

11、, p的值，而的值，而是依赖是依赖r的结构在原方程根下置换出的结构在原方程根下置换出的的不同值的个数。不同值的个数。3cbary3,3,33,3,3abcybacyacbycabybcaycbay（2、实践实践） 置换的想法已正式的在置换的想法已正式的在Lagrange的脑海中形成的脑海中形成； 正像我们前面所讲的，既然辅助方程的次数是解方正像我们前面所讲的，既然辅助方程的次数是解方程的关键，而程的关键，而它又它又依赖于一个根的表达式依赖于一个根的表达式预解式预解式（就像上面（就像上面 )在原方程根的置换出不同值在原方程根的置换出不同值的个数，那么我们只需要找到这个表达式就可以了的个数，那么我

12、们只需要找到这个表达式就可以了； 只要有了预解式，那么很容易得到只要有了预解式，那么很容易得到它它在原方程在原方程根根下下置换出不同值的个数，那么辅助方程的次数就确定了。置换出不同值的个数，那么辅助方程的次数就确定了。3cbar 为证明自己的想法，为证明自己的想法，Lagrange做了如下的工作：做了如下的工作：CaBbAcCbBaAcCaBcAbCcBaAbCbBcAaCcBbAacbacbaCBACcBbAacbacbapnxmxx下的一切排列此式在原方程根做的系数为不依赖于的函数。如：；假设预解式为根设其根为：例如解三次方程,),(,02333233222222322)()(, 1,sy

13、sayasysyryrayaryrysaassraarrybcascbarCBAAAABACCaBcAbrrCcBbAarCcBbAarrrr）（）易知（；的辅助方程的根为则关于若令：则为简化，令）比较可得与（若个中的其中一个，一定等于上面除去第一则）（则若也是为其根，则令次的，故辅助方程的次数为六的二次方程此实际为关于的辅助方程为故关于可得又由根与系数关系知故有)(0)3()2792()3(27920)(332336333333333336yzznmypmnmyynmsrpmnmsrpabcnbcacabmcbasrysry3330)3()2792(322313231232313223123

14、231213232zzmczzmbzzmacbamcbazbcazcbazyzyzznmzpmnmz，的根联立，即可得到原方程与即：和有和假设次方程的根为即： Lagrange首次采用置换的方法取得三次方程求解首次采用置换的方法取得三次方程求解的成功，这无疑给的成功，这无疑给Lagrange增添许多的信心，使他增添许多的信心，使他相相信信这种方法是有效的。这种方法是有效的。就是解辅辅助助方方程程解解方方程程关键是辅辅助助方方程程的的次次数数寻找合适预预解解式式 图表图表 解方程关键是解方程关键是解解辅助方程，辅助方程，解解辅助方程关键是弄辅助方程关键是弄清楚清楚它它的次数，弄清楚次数关键是找预

15、解式（比如的次数，弄清楚次数关键是找预解式（比如像上式中的像上式中的 ）cbar2（3、验证验证1 1） 首次的胜利之后首次的胜利之后Lagrange立刻用置换的方法对四次方立刻用置换的方法对四次方程进行求解。程进行求解。qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbaCBuAuuucbadbdaccdabdcbauyFerarricdabdcbaqpxnxmxx由根与系数关系，设为的辅助方程必为三次的故关于，即的置换下只有三种在原方程根很明显的值未知数求解四次方程方法中的为取预解式的根为设方程0,)u2(u,023234。的根联立，即可求得原方程与即解为此三次方程可解

16、，设其）（的方程为故关于可得dcbamdcbaucbadubdacucdabuuupqnmuqmpnuuupqnmcbadbdaccdabCqmpcbadbdaccbadcdabbdaccdabBncbadbdaccdabA,0)4(4)4()()(4)()()()()()(321321222322 在在四次方程四次方程求解求解成功后成功后Lagrange更加相信更加相信用置换的用置换的方法去解代数方程是一种正确的、有效的处理方法方法去解代数方程是一种正确的、有效的处理方法； 为证明这种方法的一般性为证明这种方法的一般性Lagrange在解四次方程时在解四次方程时对预解式的选对预解式的选取稍作

17、取稍作改变。改变。qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbattttttCBtAttttsxzzsbadcsdcbaqpxnxmxx由根与系数关系）（，）（，）（，设其根为：；的三次方程则辅助方程变为关于故令为相反数，但发现这六个根两两互显然方程应为六次的，此即为辅助方程的根，换为在原方程根下的一切置做的系数端求解四次方程方法中右为取的根为设方程23222132123222234c-b-da d-b-ca d-c-ba 0,d-a-cb c-a-db b-a-dcc-b-da d-b-ca d-c-bas)Ferrari,2(,04 4、验证、验证2 2. dcb

18、ac-b-dad-b-cad-c-ba 0)84()641616163()83()84(6416161638332132123224223233212243231212321，即可得原方程的根联立故有、易得三个根的方程为故关于可得mdcbattttttpmnmtqmpnnmmtnmttpmnmtttCqmpnnmmttttttBnmtttA 对四次方程求解的对四次方程求解的又一次又一次成功使成功使Lagrange坚信这种方坚信这种方法法用置换思想进行代数方程求解是可行的用置换思想进行代数方程求解是可行的。（5、分析、分析） 解三次方程时辅助方程实际为二次的，即是说我们解三次方程时辅助方程实际为

19、二次的，即是说我们只需只需要找一个预解式（为原方程根的函数）使其在原方要找一个预解式（为原方程根的函数）使其在原方程根的置换下只能取两个值；而解四次方程时辅助方程程根的置换下只能取两个值；而解四次方程时辅助方程实际为三次的，即是说我们实际为三次的，即是说我们只需只需要找一个预解式（为原要找一个预解式（为原方程根的函数）使其在原方程根的置换下只能取三个值。方程根的函数）使其在原方程根的置换下只能取三个值。 Lagrange的确这样做了，正如我们知道的他的预解的确这样做了，正如我们知道的他的预解式分别为：式分别为： 和和 ，并且用上述的，并且用上述的方法同样取得了成功；并且他还得到了解任意次方程的

20、方法同样取得了成功；并且他还得到了解任意次方程的预解式预解式 3221xxxu4321xxxxunnxcxcxcu2211 内涵：内涵：解代数方程实际是要解辅助方程，因此要寻解代数方程实际是要解辅助方程，因此要寻找一个预解式，此预解式在原方程根的置换下取不同值找一个预解式，此预解式在原方程根的置换下取不同值的个数即为辅助方程的次数，找的个数即为辅助方程的次数，找到到了合适的预解式就得了合适的预解式就得到了辅助方程（辅助方程的系数可由原方程的系数表到了辅助方程（辅助方程的系数可由原方程的系数表示），解答了辅助方程就可以顺利的得到原方程的根。示），解答了辅助方程就可以顺利的得到原方程的根。我们我们以以四次方程为例用图表表示如下：四次方程为例用图表表示如下：解解四四次次方方程程原方程根的函数预预解解式式在原方程根的置换下只能取三个不同值三三次次辅辅助助方方程程三三次次辅辅助助方方程程的的根根与 联立mdcba原原四四次次方方程程找得到 解 答得到解方程 得到了三、四次方程的一般求解方法其实就得到得到了三、四次方程的一般求解方法其实就得到了一般任意次方程的解法，所以用置换思想解代数方了一般任意次方程的解法，所以用置换思想解代数方程就可以推广到任意程就可以推广到任意n次。次。解解 n次次方方程程在原方程根的置换下只能取r（rn）个不同值 r次次辅辅助助方方程程原原方方程程