利用正交矩阵将对称矩阵

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结三、小结 思考题思考题二、利用正交矩阵将对称矩阵二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法对角化的方法一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质第四节第四节 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化第五章 相似矩阵及二次型机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5 5对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 .xxAx 一、对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，

2、除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵, 的的表示表示xx共轭复向量共轭复向量一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5 5的意义的意义.,0,0)( , 以以取取实实向向量量从从而而对对应应的的特特征征向向量量可

3、可系系知知必必有有实实的的基基础础解解由由是是实实系系数数方方程程组组线线性性方方程程组组所所以以齐齐次次为为实实数数的的特特征征值值由由于于对对称称矩矩阵阵 EAxEAAiii 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT., 221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理

4、ppppA 定理定理6机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21).(21nrrrs 根据定理根据定理5（对称矩阵的特征值为实数）和定（对称矩阵的特征值为实数）和定理理( 如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A. ,)( , , 3个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有对对应应特特征征值值从从而而的的秩秩则则矩矩阵阵重重根根的的特特征征方方程程的的是是阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理rrnEAREArAnA 定理定理定理定理7 设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有正交阵阶对称阵，则必有正交阵

5、 P ,使使P1 A P=PTA P= ,其中其中 是以是以 A 的的 n 个特征值为个特征值为对角元的对角阵。对角元的对角阵。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,21知知由由nrrrs 由定理由定理6知对应于不同特征值的特征向量正交，知对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的

6、特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P设设A为为n阶实对称阵，则必有正交矩阵阶实对称阵，则必有正交矩阵P，使，使P-1AP= ，其中其中 是以是以A的的n个特征值为对角元素的对角阵。个特征值为对角元素的对角阵。机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征

7、向量单位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A二、利用正交矩阵将对称矩阵二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法对角化的方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ，使使 P-1 A P 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEA

8、i, 0 得得由由对对, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得得由由对对, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步

9、将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 21 xEA 1101 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .110,00132 ,32恰恰好好正正交交与与 .,321两两两

10、两正正交交所所以以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化三、小三、小 结结机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2det, 2的值的值试求行列式试求行列式的秩为的秩为且且满足满足阶实对称矩阵阶实对称矩阵设设AErAAAAn 思考题思思 考考 题题机动 目录 上页 下页 返