信号与系统_牛力丕_第六章

1、第六章第六章 离散时间系统的离散时间系统的z域分析（域分析（z变换）变换）6.1 z变换变换 26.2 z变换的性质变换的性质 146.3 逆逆z变换变换 316.4 离散系统的离散系统的z域分析域分析 396.5 离散系统的系统函数离散系统的系统函数 466.6 离散系统的频率响应特性离散系统的频率响应特性 696.7 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 78 在离散系统中在离散系统中z变换是一种重要的数学工具，变换是一种重要的数学工具，z变换在变换在离散系统中的地位相当于连续系统中的拉普拉斯变换。离散系统中的地位相当于连续系统中的拉普拉斯变换。本章本章重点及要求重点及要求

2、86236.1 z变换变换6.1.1 z变换的定义变换的定义一）从拉氏变换到一）从拉氏变换到z变换变换1) )抽样信号的抽样信号的LT)(kTt kTse令令 z= = esT (z为复变量为复变量） 复变量复变量z的函数的函数kkzkTfzF)()(kkzkfzF)()()(tfskksTekTfsF)()()()()(ttftfTs)(kTfkkTt)(说明说明1) ) f (kT)简计为简计为f(k)2) ) 序列序列f(k)并非并非一定由连续信号一定由连续信号f(t)抽样抽样得到，得到，离离散时间信号源的形式是多样的。散时间信号源的形式是多样的。 在信号的处理过程中信号储存在储存器内，

3、可以根在信号的处理过程中信号储存在储存器内，可以根据需要随时取用它，甚至可以把它们的时间顺序颠来据需要随时取用它，甚至可以把它们的时间顺序颠来倒去。并且很多条件下信号处理是非实时的，信号都倒去。并且很多条件下信号处理是非实时的，信号都是先记录，后分析，因而是先记录，后分析，因而kT并不代表具体的时刻而并不代表具体的时刻而只表明信号的先后顺序。所以序列不必以只表明信号的先后顺序。所以序列不必以kT作变量，作变量，而直接以而直接以f(k)表示数字序列的第表示数字序列的第k个信息值。个信息值。简记为简记为 f (k) F(z) 二）二） z 变换的定义变换的定义f(k)的双边的双边z 变换，变换，求

4、和求和运算在正、负运算在正、负k域进行。域进行。 f (k)单边单边z 变换，变换，求求和只在正和只在正k 域进行域进行当当 f (k)为因果序列时为因果序列时说明：本书对单、双边说明：本书对单、双边z 变换都做讨论变换都做讨论F(z) 称为称为f(k)的象函数的象函数kkzkfzF)()(0)()(kkzkfzF0)()()(kkkkzkfzkfzF6.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 ( (重要的概念重要的概念) )只有当幂级数收敛时序只有当幂级数收敛时序列列f( (k) )的的z变换才有意义变换才有意义收敛域收敛域：对于给定的有界序列：对于给定的有界序列 f(k) ，使其，使其 z 变

5、换变换 收敛的收敛的z值的范围。值的范围。kkzkfzF)()(0)()(kkzkfzF1) ) 有限长序列有限长序列 z 变换的收敛域变换的收敛域解解 (k)的的z变换是与变换是与z无关的常数无关的常数1，因而在因而在z的全平面收敛，即的全平面收敛，即 |z| 0Im( ) zRe( ) zkkzkzF)()(1112321)(, )()(021kkfkkf例：求以下有限长序列例：求以下有限长序列f(k) 的的z变换变换为使为使f(k)的双边的双边z变换存在，应满足变换存在，应满足0 | z | 0结论结论： f(k)为有限长序列时为有限长序列时, ,F(z)是是z的有限次幂的有限次幂z-k

6、 的加的加权和，收敛域至少为权和，收敛域至少为0|z|a| 时时其其ZT存在，收敛域是半径为存在，收敛域是半径为|a| 的圆外区的圆外区域域|a|Im zRe z( )( )( ) ,kzf kakF zzaza111az0)(kkkzazFazz01)(kkaz1|za例：求例：求 的的z变换，并确定其收敛域变换，并确定其收敛域)()(kakfk3) ) 反因果序列反因果序列z变换及其收敛域变换及其收敛域解解结论：反因果序列仅当结论：反因果序列仅当 |z|a| 时其时其ZTZT存存在，其收敛域为半径为在，其收敛域为半径为|a|的圆内区域的圆内区域aIm zRe z( )(1)( ) ,kzf

7、 kakF zzaza 1)(kkkzazF11)(kkzazaza111azz1|az例：求例：求 的的z变换，并确定其收敛域变换，并确定其收敛域) 1()(kakfk注意注意：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的相同的z变换，为了唯一的确定变换，为了唯一的确定z变换所对应的序列，变换所对应的序列，不仅要给出不仅要给出z变换式，还必须同时标明其收敛域。变换式，还必须同时标明其收敛域。( )( )( ) ,kzf kakF zzaza( )(1)( ) ,kzf kakF zzaza azzzF)(求求 的反变换的反变换当当 时时|az )(

8、)(kakfk当当 时时|az )()(1kakfk4) ) 双边序列的双边序列的z变换及其收敛域变换及其收敛域10 ( ) kkkkkkF zb za z解解双边序列双边序列当当|a|b|时时z变换存在，收敛域为变换存在，收敛域为|a|z|b|的环状区域的环状区域 双边序列双边序列当当|a| |b|时没有公时没有公共共收敛域，收敛域，其其z变换不存在变换不存在Im zRe z半径为半径为|b|的圆的圆半径为半径为|a|的圆的圆)() 1()(kakbkfkk例：求例：求 的的z变换，并确定收敛域变换，并确定收敛域azzbzzbz az 总总 结结1) )有限长序列，收敛域至少满足有限长序列，

9、收敛域至少满足0 | z | 2) )因果序列，收敛域在因果序列，收敛域在z平面上半径为平面上半径为|a|的圆外区域的圆外区域3) )反因果序列，收敛域在反因果序列，收敛域在z平面上半径为平面上半径为|b|的圆内区域的圆内区域4) )双边序列双边序列|a|b|时时ZT存在，收敛域存在，收敛域|a|z|b|的环状区域的环状区域 |a|因果序列因果序列Im zRe z|b|Im zRe z反因果序列反因果序列Im zRe z双边序列双边序列注意：求序列的注意：求序列的z变换，变换，必须标明其收敛域必须标明其收敛域6.1.3 常用序列的常用序列的z变换变换kkzkfzF)()(5. .正弦、余弦序列

10、正弦、余弦序列)(cos0kk)(2100keekjkj0021jjezzezz1cos2cos0202zzzz)(sin0kk1cos2sin020zzz返回返回1. .单位序列单位序列)(k12. .指数序列指数序列)(kakazz3. .单位阶跃序列单位阶跃序列)(k1zz4. .虚指数序列虚指数序列)(kekjjezz0zaz 1z1jez6.2 z变换变换的性质的性质1. 线性性质线性性质 ( (单、双边均成立单、双边均成立) )Im zRe z1111)()(zzFkf2222)()(zzFkf)()()()(2121zbFzaFkbfkaf),min(),max(2121 z)(

11、2) 1(2)()(kkkkfkk例：求例：求 的的z变换变换解解1zz21zz2zz)21)(2)(1()21(2zzzzzz21 z)(2100keekjkj解解)(2100keejkjkj)(0kekj)(cos0kk1z)(sin0kk例：求例：求 和和 的的z变换变换)(cos0kk)(sin0kk)(cos0kk)(sin0kk0jezz0021jjezzezz1cos2cos0202zzzz1cos2sin020zzz0021jjezzezzj2. .移位特性移位特性( (单、双边单、双边ZT的移位特性有重要差别的移位特性有重要差别) )( ) ( )f kkk501 2 3 4

12、 5(2)f k k0 1375-5-1-3( )f kk0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-5(2)f k k03-1-3-7-5-5(2) ( )f kkk0 1375-53(2) ( )f kkk0313移位序列的双边移位序列的双边z变换变换没有丢失原序列的信息没有丢失原序列的信息移位序列的单边移位序列的单边z变换变换，移位前后序列长度移位前后序列长度不同不同1) )双边双边z变换的变换的移位特性移位特性zzFkf)()(zzFzmkfm)()()(Mk 例：求例：求 的的z变换变换解解)(Mk)(k1zzzM1z1zz1zkkzMk)(Mkkz1|1z11zzM11zzM按照定

13、义计算按照定义计算)4(21)(kkfk例：求例：求 的的z变换变换解解)(21kk21zz) 4(2121)(44kkfk21z) 12(813zz211614zzz21z2) )单边单边z变换的变换的移位特性移位特性 对对f(k) 移位后取单边移位后取单边ZT ( )f kk01 2 3 4 5-1-2-3-4-5-5(1)f kk0246-2-4-5f(k)为双边序列时，为双边序列时，右移后所含信息右移后所含信息增加增加a) ) f(k)右移时右移时azzFkf)()(azzmkfzFzmkfmkkm10)()()()()2(kkf)() 1(kkf)()(11fzFz)()()(211

14、2fzfzFz)() 3(kkf)()()()(321123fzfzfzFzb) ) f(k)左左移时移时( )f kk01 2 3 4 5-1-2-3-4-5-5(2)f kk03-1-3-6-5-51f (k) 左移后左移后(其单边所含其单边所含)信息信息减少减少azzFkf)()(azzkfzFzmkfmkkmm10)()()()()2(kkf)() 1(kkf)0()(fzFz) 1 ()0()(12zffzFz)2() 1 ()0()(213zfzffzFz)()3(kkf解解)()2(kkf)(kakazz) 1 ()0()(12zffzFz)()2(kkf1212zffzFz)(

15、)()()(2kak)(2kakazza2azza2)(2kakaz 法法2azza2)(2kaak)(2kakazza2)(2kaak12) 1()2(zffazzzzfzfazzz) 1 ()0(22az 例：求例：求 和和 的单边的单边z变换变换2ka2kaIm zRe z|1|解解)(k1例：求周期序列例：求周期序列 的单边的单边z变换变换0)()()(mNmNkkk)(mNkmNz0z0zmNNNzzz210mmNk)(Nz111NNzz收敛域收敛域= = ？1Nz1z3. 序列卷积序列卷积1111)()(zzFkf2222)()(zzFkf)()()()(2121zFzFkfkf)

16、,min(),max(2121 z解解)(kakaz )(kbkbz azz例：求序列例：求序列 的的z变换变换(其中其中0 a n时时说明说明 1) ) F(z)/z 展开成部分分式的方法与把展开成部分分式的方法与把F(s)展开展开 成部分分式的方法完全相同成部分分式的方法完全相同2) ) 由部分分式求原函数由部分分式求原函数f( (k) )时时, ,必须结合收敛域必须结合收敛域1) )若若m n时时nnzzkzzkzzkzzF2211)(nnzzzkzzzkzzzkzF2211)(先用长除法分解出真分式再用上述方法先用长除法分解出真分式再用上述方法)(kf)(31kk)(231kkkzzF

17、)()2)(13(5zz213zz2133)(zzzzzF231zzzz)()2(kk例：已知例：已知 求求f (k)2,2735)(2zzzzzF解解2z27352zz13)31)(21()(zzzzzF312213zz312213)(zzzzzF21) 1z)(kf解解例：已知例：已知 ) 31)(21()(2zzzzF求求 时的时的f (k)2131,31,21zzz说明说明f (k) 是因果序列是因果序列)(312213kkk312213)(zzzzzF31)2z)(kf) 1(213kk) 1(312kk) 1(312213kkk2131) 3 z)(kf) 1(213kk)(312

18、kk说明说明f (k) 是反因果序列是反因果序列说明说明f (k) 是双边序列是双边序列) 1() 1(1)(2zzzzF) 1() 1() 1(312211zkzkzk1211)() 1(zzzFzk21 131zzzFzk)()(12121zzzFzdzdk)()(141141) 1(21)(2zzzzzzzF)(kk2) 1( zz)(k)(1414121)(kkkfk例：已知例：已知 求求f (k)1,) 1() 1()(2zzzzzF解解1)(zzdzdz1zz41413cos26sin例：已知例：已知 求求f (k)1,13)(2zzzzzF解解)(coskk)(sinkk1cos

19、2cos22zzzz1cos2sin2zzz16cos26sin2)(2zzzzF)(6sin2)(kkkf6211212cos22sin)(zzzzzF)()(zFkf)(1zFz例：已知例：已知 求求f (k)1,11)(2zzzF解解0cos) 1() 1(2sin)(kkkf返回返回)(coskk)(sinkk1cos2cos22zzzz1cos2sin2zzz) 1( kf2sin216.4 离散系统的离散系统的z 域分析域分析6.4.1 差分方程的变换域解差分方程的变换域解e(k)在在k=0时加入，系统初始状态为时加入，系统初始状态为y(1), y(2) y(n)对差分方程两边作对

20、差分方程两边作z变换，据单边变换，据单边z变换的移位性质变换的移位性质A(z) - M(z)B(z)( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )zizsM zB zY zE zYzYzA zA z)()()(01000zEzbzikyazYzamjjjmikkniinniiinmjjmniinjkebikya00)()(10)()()(mkkmzmkfzFzmkf解解例：已知例：已知 )2(2)()2(2) 1()(kkkykyky求求5 . 0)2(,2) 1(yy)(, )(, )(kykykyzszif(k1) (k) f(k2) (k) )(zY)()21 () 1(2)2(2

21、) 1()21)(2121zEzzyyyzzzY)(212121) 1(2)2(2) 1()(212211zEzzzzzzyyyzYz1 F (z)+ f (1)z2 F (z)+ f (2)+ f (1) z1121212141)(212211zzzzzzzzzY)()(11yzYz)()()(12122zyyzYz)()(zEzzE22yh(k)(自由响应自由响应)yp(k) (强迫响应强迫响应)yzi(k)yzs(k)12312122122)(zzzzzzzzzzzY)(23) 1(21)2(2)() 1()2(2)(kkkykkkk)(zYzi)(zYzs该系统是否有暂态响应？该系统是

22、否有暂态响应？121212141)(212211zzzzzzzzzY6.4.2 系统的系统的z域框图域框图1) )数乘器数乘器a( )f k( )( )y ka f k2) )加法器加法器1( )f k2( )fk12( )( )( )y kf kfk3) )延时单元延时单元D( )f k( )(1)y kf k( )e k1a0aDD2b1b0b( )y k由由k域模型根据域模型根据z变换的性质可得系统的变换的性质可得系统的z域模型域模型1) )数乘器数乘器a( )f k( )( )y kaf k2) )加法器加法器1( )f k2( )fk12( )( )( )y kf kfka( )F

23、z( )( )Y zaF z1( )( )(1)( )( 1)f kF zf kz F zf系统差分方程与初始状态无关，因此用零状态的系统差分方程与初始状态无关，因此用零状态的z域模型域模型3) )延时单元延时单元D( )f k( )(1)y kf k1( )F z12( )( )( )Y zF zF z)(2zF( )F z1( )z F z1z( )x k(1)x k (2)x k k 域框图域框图( )e k( )y k0b1b1a0aDD( )X z1( )z X z2( )z X zz域框图域框图1a0b1b0a1z1z)(zE)(zY1210( )( )( )( )X zE za

24、z X za zX z-12101( )( )1X zE za za z12210( )()( )Y zbb zb zX z( )X z1( )z X z2( )zX zz域框图域框图1a0a1z1b0b( )Y z2b+( )E z1z返回返回)()(zEzazazbzbbzY20112011216.5 离散系统的离散系统的系统函数系统函数6.5.1 系统函数系统函数( ) ( )B zA z可看出可看出: : H(z)只与系统的结构、参数有关而与激励、只与系统的结构、参数有关而与激励、初始状态均无关。初始状态均无关。H(z)反映系统的固有特性。反映系统的固有特性。)(zH)()(zEzYz

25、sA(z) - M(z)B(z)( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )zizsM zB zY zE zYzYzA zA z)()()(01000zEzbzikyazYzamjjjmikkniinniiinmjjmniinjkebikya00)()(2) )由系统的差分方程求由系统的差分方程求H(z) )()()(zEzHzYzs)(*)()(kekhkyzs21134131)(zzzzH34322zzzz)()()(zEzYzHzs例：例： 求求H(z) 1(3)()2(3) 1(4)(kekekykyky解解 h(k) H(z) 3) )由由H(z)写出系统的差分方程写出系统的

26、差分方程例：已知系统例：已知系统 写出系统的差分方程写出系统的差分方程 656)(22zzzzH65622zzzzH)(解解)2(6)()2(6) 1(5)(kekekykyky21265161zzz)(zE21275. 015 . 02zzz解解)(zYzs12zz)()()(zEzYzHzs)5 . 1)(5 . 0)(1()5 . 02(2zzzzz5 . 1z)2(5 . 0)(2)2(75. 0) 1()(kekekykyky)(zH例：已知例：已知 时时 求该系统的求该系统的H(z)和差分方程和差分方程)()(kke)(5 . 15 . 02)(kkykkzs)5 . 1)(5 .

27、 0(5 . 022zzz1zz50.zz51.zz例：如图所示，当例：如图所示，当 时，求时，求5 . 0)2(,0) 1(yy)(kyziz域框图域框图2331)(zY)(zE1z1z解题思路：解题思路：H(z) 差分方程差分方程)(zYzi零输入响应零输入响应)(kyzi)(sY)(ty)()()()()()()(sYsYsEsAsBsAsMzszi)(tyzi)(tyzsH(s)的极点的极点( (即即A(s)=0的根的根) )决定零输入响应的形式决定零输入响应的形式H(s)的极点与的极点与E(s)的极点共同决定零状态响应的形式的极点共同决定零状态响应的形式 1)(zzX)(zX2)(z

28、zX5 . 0)2(, 0) 1(yy )(221)(kkykzi1233)(zY)(zE1z1z解解21123131)(zzzzH21)(2)(3)()(zzXzzXzEzX)231)()(21zzzXzE)31)()(1zzXzY2121zzkzzk23322zzzz21)(21zzczzczYzi)(2)()(21kckckykzi21214121)2(210) 1(ccyccy2121cc6.5.2 系统函数的零点与极点系统函数的零点与极点)(zH)()(zEzYzs01110111azazazbzbzbzbnnnmmmm)()(zAzB)()()()(2121nmmpzpzpzzzz

29、zzzbniimjjpzzzB11)()(当当 z = pi 时时 H(z) 当当 z = zj 时时 H(z) = 0A(z)=0的根，称的根，称H(z)的的极点极点( (即差分方程的特征根即差分方程的特征根) )B(z) = 0 的根，称的根，称H(z)的的零点零点在在z平面上极点用平面上极点用“ ” 零点用零点用“”表表示示零极点图零极点图：把系统函数把系统函数H(z)的极的极( (零零) )点画在点画在z平面上的平面上的图，称作系统函数的零、极点分布图。图，称作系统函数的零、极点分布图。1Im zRe z -0.50.5(2) j0.7)7 . 05 . 0()7 . 05 . 0()

30、5 . 0() 1()(2jzjzzzzzH5 . 01p7 . 05 . 02jp7 . 05 . 03jp01z132 zz1. 由由H(z)的的零极点分布确定单位样值响应零极点分布确定单位样值响应h(k)的形式的形式6.5.3 系统函数的零极点分布与系统特性的关系系统函数的零极点分布与系统特性的关系a) pi 在单位圆内在单位圆内0k( )h k0k( )h k单位圆内二阶及二阶以上极点单位圆内二阶及二阶以上极点对应响应，对应响应，当当k 时时h(k) =0r阶极点阶极点一阶极点一阶极点apiazzzH)(jaep2, 1)()(kakhkjjaezzkaezzkzH21)()()cos

31、()(kkAakhk 1aImzRez0b) ) pi 在单位圆上在单位圆上( )h kk011230k( )h k单位圆上的一阶极点，单位圆上的一阶极点，对应的响应幅度恒定对应的响应幅度恒定r 阶极点阶极点单位圆上的二阶及二阶以上单位圆上的二阶及二阶以上极点对应的响应，幅度发散极点对应的响应，幅度发散一阶极点一阶极点1ip1)(zzzH)(1)(kkhkjep2, 12) 1()(zzzH)()(kkkhjjezzkezzkzH21)()()cos()(kkAkh 1 ImzRez00k( )h kc) pi 在单位圆外在单位圆外r 阶极点阶极点单位圆外的极点，对应的响应幅度均发散单位圆外的

32、极点，对应的响应幅度均发散一阶极点一阶极点0k( )h k 1ImzRez0apiazzzH)()()(kakhkjaep2, 1jjaezzkaezzkzH21)()()cos()(kkAakhk)()(1kkakhk2)()(azzzH结论结论1) ) LTI离散系统的离散系统的h(k), yh(k), yzi(k)均由均由H(z)的极点决定的极点决定2) ) 单位圆内的极点所对应的响应单位圆内的极点所对应的响应，当当k时时衰减到零衰减到零极点全部在单位圆内的系统为稳定系统极点全部在单位圆内的系统为稳定系统3) ) 单位圆上的一阶极点对应的响应幅度稳定单位圆上的一阶极点对应的响应幅度稳定单

33、位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内的系单位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内的系统为临界稳定系统统为临界稳定系统4) ) 单位圆上的二阶及二阶以上的极点及单位圆外的单位圆上的二阶及二阶以上的极点及单位圆外的 极点所对应的响应，随极点所对应的响应，随k而而趋于无穷大趋于无穷大含有单位圆外或单位圆上的二阶及二阶以上极点的含有单位圆外或单位圆上的二阶及二阶以上极点的系统为不稳定系统系统为不稳定系统复复 习习nnzzkzzkzzkzzF2211)(nnzzzkzzzkzzzkzF2211)(必须结合收敛域必须结合收敛域单极点、重极点、共轭极点单极点、重极点、共轭极点)(kkf)(zFdzdz)(

34、)2(kkf)() 1(kkf)()(11fzFz)()()(2112fzfzFz)(coskk01cos2cos0202zzzz)(sinkk01cos2sin020zzz差分方程的差分方程的z域求解域求解H(z) 差分方程差分方程) 31)(21()(2zzzzF2131 z1112zzzF,)()2(2)()2(2) 1()(kkkykyky求求5 . 0)2(,2) 1(yy)(kyzi写出系统写出系统 的差分方程的差分方程 656)(22zzzzH1) )离散系统的因果性离散系统的因果性a) )从从k域判断域判断因果系统：因果系统：yzs(k) 不出现于不出现于 e(k)之前的系统之

35、前的系统b) )从变换域判断从变换域判断 0 Im( ) zRe( ) z 2. 离散时间系统的稳定性和因果性离散时间系统的稳定性和因果性0,0)(kkh离散因果系统的充要条件离散因果系统的充要条件0, )(zzH离散因果系统的充要条件离散因果系统的充要条件2) ) 离散系统的稳定性离散系统的稳定性稳定系统稳定系统: : 对有界的输入对有界的输入 | yzs(k) | My( (即有界即有界) )a) ) 从时域判断从时域判断b) ) 从变换域判断从变换域判断Mkhk)(离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件: : H(z)的收敛域包含单位圆的

36、收敛域包含单位圆3) )因果稳定系统因果稳定系统a) ) 从时域判断从时域判断b) ) 从变换域判断从变换域判断1) ) 因果稳定系统因果稳定系统 H(z)在单位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内在单位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内H(z)的极点全部在单位圆内的极点全部在单位圆内2) ) 因果临界稳定系统因果临界稳定系统3) ) 因果不稳定系统因果不稳定系统H(z)含有单位圆外或单位圆上的二阶或二阶以上的极点含有单位圆外或单位圆上的二阶或二阶以上的极点Mkhk0)(离散因果稳定系统离散因果稳定系统例：因果系统的差分方程如下，判断系统是否稳定例：因果系统的差分方程如下，判断系统是否稳定

37、)()2(24. 0) 1(2 . 0)() 1kekykyky) 1()()2(2 . 1) 1(4 . 1)()2kekekykyky解解)(1zH24. 02 . 022zzz2124. 02 . 011zz) 4 . 0)(6 . 0(2zzz)(2zH2 . 14 . 122zzzz2112 . 14 . 111zzz) 6 . 0)(2(2zzzz收敛域为：收敛域为：6 . 0z收敛域为：收敛域为：2z3 离散系统的稳定性准则离散系统的稳定性准则-朱里准则朱里准则)()()(zAzBzH0) 1 ()(1AzAz0)() 1(1znzA朱里表中朱里表中奇数行奇数行的第一个元素大于最

38、后一个元素的第一个元素大于最后一个元素的绝对值的绝对值( (连续系统连续系统-罗斯稳定准则罗斯稳定准则) )0aannnnaaaaaa1221001221aaaaaannn654321由由A(z)多项式多项式的系数构成的系数构成朱朱里里表表三行以后的奇三行以后的奇数行需要计算数行需要计算12210nnccccc01321cccccnnn2210ndddd0432ddddnnn012rrr32 nnnnaaaac001第三行以后奇数行的运算规则第三行以后奇数行的运算规则最后一行有最后一行有三个元素三个元素1012nnnaaaac1010aaaacnn10012nnnccccd20113nnncc

39、ccd10210ccccdnn对于二阶系统，其极点均在单位圆内的充要条件是对于二阶系统，其极点均在单位圆内的充要条件是0122)(azazazA0) 1 (A02aa 0) 1(A例：判别下列系统的稳定性例：判别下列系统的稳定性an |a0|, ,系统不稳定系统不稳定A(1) 0 ,系统不稳定系统不稳定151812121212181581414396r21/3 ( (即单位圆在收敛域内即单位圆在收敛域内) )jezjzHeH)()(13) 1(2jjeesin31cos3sin22cos2jj)()(jjeeH0()jH e22)(2法二法二 几何法几何法ABeHj32)()(13) 1(2)

40、(jjjeeeH)(3)(211pezejjjjBee ) 1(jjAee) 31(jjAeBe32 1BA11/3jez ImzRez00()jH e22)(2返回返回6.7 z 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系由抽样序列的由抽样序列的LT引出了引出了ZT，因此在一定条件下两，因此在一定条件下两种变换可相互转换种变换可相互转换复变量复变量s与与z的关系的关系T(或或Ts)为抽样周期为抽样周期sTez zTsln1T为采样周期：为采样周期： 采样频率；采样频率； 采样角频率采样角频率Tfs1Ts2jsjez s 平面表示为直角坐标形式平面表示为直角坐标形式z 平面表示为极坐标形式平面表

41、示为极坐标形式重复频率重复频率 s为重复频率为重复频率 j0虚轴虚轴1Im( ) zRe( ) z单位圆单位圆sz平面的映射关系平面的映射关系sTez jsTjTjeeTeTs2jez 1) ) s 平面的虚轴平面的虚轴01 j01Im( ) zRe( ) z j02) ) s 平面的左半平面平面的左半平面0TeTs2sTez 3) ) s 平面的右半平面平面的右半平面01Im( ) zRe( ) z0TjTjee 021 j1Im( ) zRe( ) z 0 jTeTs2sTez 4) ) s平面上平行于虚轴的直线平面上平行于虚轴的直线为常数为常数5) ) s平面的实轴平面的实轴0 01Im

42、( ) zRe( ) zTjTjee j 0 2sj2sjTeTs2sTez 6) ) s平面上平行于实轴的直线平面上平行于实轴的直线为常数为常数Im( ) zRe( ) zT2T10 j2j1j2skj, 5 , 3 , 1k7) ) s平面上通过平面上通过 且平行于实轴的直线且平行于实轴的直线Im( ) zRe( ) z 0TjTjee例：画出例：画出s平面上直线平面上直线l1 ,l2及及a , ,b点在点在z平面的映像平面的映像( (T=1) ) 0 1 2sj 4sj 6sj j1l2lab1) ) l1有有1Te1 e1l1/e Im( ) zRe( ) z2lab24Ts2) )

43、l2有有Ts23) ) a 有有36Ts4) ) b 有有TeTs2sTez 总总 结结1 s平面到平面到z平面的映射是平面的映射是多到一多到一的映射的映射, , 即即z平面上的一点与平面上的一点与s平面上的无穷多点对应平面上的无穷多点对应。2 z平面与平面与s平面上的平面上的 宽的条带之间的映射是宽的条带之间的映射是 一、一映射一、一映射T2返回返回作作 业业画出画出s平面上直线平面上直线l1, ,l2及及a , ,b , ,c点在点在z平面的映像平面的映像( (T=2) )1l2lab4sjc43sjj2sj0111) ) 理解单、双边理解单、双边z变换的定义、收敛域的概念，并熟变换的定义

44、、收敛域的概念，并熟练掌握典型信号的练掌握典型信号的z变换。变换。2) ) 掌握掌握z变换的常用性质，应用变换的常用性质，应用z变换性质求序列变换变换性质求序列变换3) ) 熟练应用部分分式法求逆熟练应用部分分式法求逆z变换变换( (注意收敛域）注意收敛域）4) ) 熟练掌握差分方程的变换熟练掌握差分方程的变换( (z) )域解法域解法6) ) 能由系统能由系统z域框图直接写出系统域框图直接写出系统z域的方程域的方程5) ) 深刻理解系统函数深刻理解系统函数H(z)的含意，会由差分方程求的含意，会由差分方程求 H(z)，由，由H(z)写出系统的差分方程。写出系统的差分方程。第六章第六章重点及要求重点及要求c) )熟练掌握熟练掌握正弦正弦( (或虚指数或虚指数) )激励下求稳态响应激励下求稳态响应y