抛物线中的三角形面积

1、抛物线中的三角形面积xyOD(1,4) 如图，抛物线的如图，抛物线的顶点顶点D D坐标为（坐标为（1 1，4 4）, ,且经过且经过点点A(-1，0）. .( (1)1)根据以上条件你能获得哪些信息？根据以上条件你能获得哪些信息？交流讨论交流讨论讨论交流讨论交流A1x-1B3C3ABCABCo oy yx xA(-1,0)A(-1,0) B(3,0)B(3,0) C(0,3)C(0,3)COABSABC2163421（2 2）连结）连结ACAC，BC.BC.则则SABCABC= = . .6 6如图：抛物线如图：抛物线 与与 轴的另一交点为轴的另一交点为B B点，点，与与y y轴交于点轴交于点

2、C C，点，点D D是抛物线的顶点。是抛物线的顶点。322xxyxABDABDo oy yx xA(-1,0)A(-1,0) B(3,0)B(3,0) D(1,4)D(1,4)DDABSABC2184421D D/ /在直角坐标系中计算三角形面积的基本方法：在直角坐标系中计算三角形面积的基本方法：寻找寻找横向横向或或纵向纵向的边为底，再利用面积公式的边为底，再利用面积公式（3 3）连结）连结ADAD，BD.BD.则则SABDABD= = . .8如图：抛物线如图：抛物线 与与 轴的另一交点为轴的另一交点为B B点，与点，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点D D是抛物线的顶点。是抛物线的顶点

3、。322xxyxBCDBCDo oy yx xB(3,0)B(3,0)C(O,3)C(O,3) D(1,4)D(1,4)割补法割补法（4 4）连结）连结CDCD，BD,BC.BD,BC.则则SBCDBCD= = . .如图：抛物线如图：抛物线 与与 轴的另一交点为轴的另一交点为B B点，与点，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点D D是抛物线的顶点。是抛物线的顶点。322xxyx此时，没有大家期待的此时，没有大家期待的横向横向或或纵向纵向的边，那么的边，那么BCD的面积可以用别的面积可以用别的方法来求吗？的方法来求吗？3如图，过如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条的三个顶点分别

4、作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的的“水平宽水平宽”(a)，中间的这条直线在中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫内部线段的长度叫ABC的的“铅垂铅垂高高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21即三角形面积等于即三角形面积等于水平宽水平宽与与铅垂高铅垂高乘积的一半乘积的一半. .阅读材料阅读材料BC铅垂高铅垂高水平宽水平宽h a AACDACDC(O,3)C(O,3) D(1,4)D(1,4)在直角坐标系中求面积常用方法：在直角坐标系中求面积常用方法：1.寻找寻找横向横向或或纵

5、向纵向的边为底是计算面积的基本方的边为底是计算面积的基本方法。法。2.不能直接求出面积时，用不能直接求出面积时，用割补法割补法进行转化进行转化(构构造造横向横向或或纵向纵向的边为底是常用的方法的边为底是常用的方法)o oy yx xA(-1,0)A(-1,0)（5 5）连结）连结CDCD，AD,AC.AD,AC.则则SACDACD= = . .如图：抛物线如图：抛物线 与与 轴的另一交点为轴的另一交点为B B点，与点，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点D D是抛物线的顶点。是抛物线的顶点。322xxyx1o oy yx xo oy yx xo oy yx xo oy yx x直接利用面积公

6、式直接利用面积公式割补法割补法回顾回顾 三角形面积等于三角形面积等于水平宽水平宽与与铅垂高铅垂高乘积的一半乘积的一半. .（6 6）在抛物线上是否存在一点）在抛物线上是否存在一点P P，使使SPAB=SCAB， 若存在，求出若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由点的坐标；若不存在，请说明理由.xyOD（1，4）ACB-133P PP PP PP P33拓展拓展（7 7）若若 3SPAB=4 SCAB， 则则符合条件的点符合条件的点P有几个有几个?xyOD（1，4）ACB-133P PP P3个个P44（8）点）点E是此抛物线是此抛物线(在第一象限内在第一象限内)上的一个动点，设上的一个动

7、点，设 它的横坐标为它的横坐标为m， xyODA-13E EBC3mmS29232ECB 当点当点E运动到什么位置时，运动到什么位置时， ECB的面积最大，的面积最大，最大值为多少？并求出此时的最大值为多少？并求出此时的E点坐标。点坐标。 试用试用m的代数式表示的代数式表示ECB的面积的面积.FH直接利用面积公式直接利用面积公式o oy yx xo oy yx xo oy yx x割补法割补法小结小结抛物线中面积问题的常用方法：抛物线中面积问题的常用方法：1.寻找寻找横向横向或或纵向纵向的边为底是计算三角形面积的边为底是计算三角形面积的基本方法。的基本方法。2.不能直接求出面积时，用不能直接求

8、出面积时，用割补法割补法进行转化进行转化(构造构造横向横向或或纵向纵向的边为底是常用的方法的边为底是常用的方法)三角形面积等于三角形面积等于水平宽水平宽与与铅垂高铅垂高乘积的一半乘积的一半. .2650 xxnm,已知：已知： 是方程是方程 的两个实数根，的两个实数根，且且 ，抛物线的图像经过点，抛物线的图像经过点 mn(0)(0)A mBn， (1 (1）求这个抛物线）求这个抛物线 的解析式；的解析式；M MBCD（2）设（）设（1）中抛物线与）中抛物线与x轴的另一交点为轴的另一交点为C，抛物线的，抛物线的 顶点为顶点为D，试求出点，试求出点C、D的坐标和的坐标和 的面积的面积C（-5，0）

9、542xxyD（-2，9）27 25141522BCDDMCBOCMDBOSSSS梯形M Mbaxxy2思考题思考题v解：解：（3）设）设P点的坐标为（点的坐标为（a，0），因为线段），因为线段BC过过B，C两点，所以两点，所以BC所所在的直线方程为在的直线方程为 那么，那么，PH与直线与直线 BC的交点坐标为的交点坐标为 vPH与抛物线的交点坐标为与抛物线的交点坐标为 v由题意，得由题意，得vv ，即，即 v 解这个方程，得解这个方程，得 或或 （舍去）（舍去）v ，即，即 v 解这个方程，得解这个方程，得 或或 （舍去）（舍去）v v 即即P点的坐标为点的坐标为 或或 （3 3）P P是线段是线段OCOC上的一点，过点上的一点，过点P P作作PHxPHx轴，与抛物轴，与抛物 线交于线交于H H点，若直线点，若直线BCBC把把PCHPC