数学应用举例新人教必修学习教案

1、会计学1数学应用举例数学应用举例(j l)新人教必修新人教必修第一页，共31页。例例1海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距(xingj)10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成60的视角，的视角，从从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛间的距离是岛间的距离是 。ACB10海里海里6075答：答：23.1265 海里海里解：应用解：应用(yngyng)正弦定理，正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45BC=10sin60 /sin45知道知道(zh do)它有多远吗？它有多远吗？第2页/共31页第二页，共31页。第3页/共31页第

2、三页，共31页。例例2.为了开凿隧道为了开凿隧道,要测量隧道口要测量隧道口D,E间的距离间的距离,为此在山的一侧选取适当的点为此在山的一侧选取适当的点C(如图如图),测得测得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得又测得A,B两点到隧道口的距离两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线在一直线(zhxin)上上).计计算隧道算隧道DE的长的长ABCDE 由余弦定理由余弦定理(y xin dn l)可解可解AB长。进长。进而求而求DE。析：析：思思1：能否：能否(nn fu)直接解直接解三角形三角形ABC？2：能否保证：能否保证A、

3、D、E、B在一直线上？在一直线上？知道它有多宽吗？知道它有多宽吗？第4页/共31页第四页，共31页。解斜三角形理论解斜三角形理论在实地在实地(shd)测量中的应用测量中的应用第5页/共31页第五页，共31页。ABCD知道知道(zh do)它有多长吗？它有多长吗？第6页/共31页第六页，共31页。练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行北航行(hngxng)。在。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北在船的北偏东偏东20o的方向，的方向，30min后航行后航行(hngxng)到到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65o的方向的方向，已知

4、距离此灯塔，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航以外的海区为航行行(hngxng)安全区域，这艘船可以继续沿安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行正北方向航行(hngxng)吗？吗？第7页/共31页第七页，共31页。练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精

5、确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角(ji jio)CAB6620，求，求BC解：由余弦定理解：由余弦定理(y xin dn l)，得，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB第8页/共31页第八页，共31页。 解斜三角形应用解斜三角形应用(yngyng)举例举例小结小结(xioji)实际实际(shj)问题问题抽象概括抽象概括示意图示意图构造三角形构造三角形演演算算解三角形解三角形实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明注意合理性！注意合理性！第9页/共

6、31页第九页，共31页。教室(jiosh)AB围墙(wiqing)试试看试试看！第10页/共31页第十页，共31页。，试求云的高度，试求云的高度(god)(god)的仰角的仰角(yngjio)(yngjio)为为湖中的象）湖中的象），而湖中云之影（云在，而湖中云之影（云在角为角为处，测得云的仰处，测得云的仰米的米的在离湖面高为在离湖面高为HAhb ba a知道知道(zh do)它有多高吗！它有多高吗！例例6第11页/共31页第十一页，共31页。 如何在平地上如何在平地上测量位于山上的灯测量位于山上的灯塔塔(dngt)顶部离地顶部离地面的高度？面的高度？知道知道(zh do)它有多高吗？它有多高

7、吗？例例7：第12页/共31页第十二页，共31页。例例8 AB是底部是底部B不可到达不可到达(dod)的一个建筑物，的一个建筑物，A为为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不是不可可(bk)到达的，所以不能直到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出角三角形的知识，只要能测出一点一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角的仰角，就可以计算出建筑物的高。，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法

8、借助解三角形的所以应该设法借助解三角形的知识测出知识测出CA的长。的长。第13页/共31页第十三页，共31页。解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线三点在同一条直线(zhxin)上。由在上。由在H,G两点用测两点用测角仪器测得角仪器测得A的仰角分别是的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是测角仪器的高是h.那么那么，在，在ACD中，根据正弦定理中，根据正弦定理可得可得例例8 AB是底部是底部B不可到达的一个不可到达的一个(y )建筑物，建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法第14页/共31页

9、第十四页，共31页。例例9 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面处测得地面(dmin)上一点上一点A的俯角的俯角5440，在塔底在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501。已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出，求出山高山高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应该分析：根据已知条件，应该(ynggi)设法计算出设法计算出AB或或AC的的长长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据根据(gnj)正弦定正弦定理，理，第15页/共31页第十五页，共31页。CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度答：山的高

10、度(god)约为约为150米。米。第16页/共31页第十六页，共31页。例例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公处时测得公路南侧远处一山顶路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向的方向(fngxing)上，行驶上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向的方向(fngxing)上上，仰角，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测只要测出高所在的直角三角形的出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长另一条直角边或斜边的长。根据已知条件。根据已知条件(t

11、iojin)，可以计算出，可以计算出BC的长。的长。第17页/共31页第十七页，共31页。例例10 一辆汽车在一条水平一辆汽车在一条水平(shupng)的公路上向正东行驶，到的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此，求此山的高度山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C=25-15=10.根据根据(gnj)正弦定理正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度答：山的高度

12、(god)约为约为1047米。米。第18页/共31页第十八页，共31页。例例7 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达后到达海岛海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海后到达海岛岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该此船应该(ynggi)沿怎样的方沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到距离精确到0.01n mile）?解：在解：在ABC中，中，ABC1807532137，根据根

13、据(gnj)余弦定理，余弦定理，第19页/共31页第十九页，共31页。所以所以(suy)，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船应该答：此船应该(ynggi)沿北偏东沿北偏东56.0的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15n mile.第20页/共31页第二十页，共31页。例例8 在在ABC中，根据下列条件中，根据下列条件(tiojin)，求三角形的面积，求三角形的面积S(精确到精确到0.1cm)(1)已知已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;第21页/共31页第二十一页，共31页。(2)已知已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;第22页/共

14、31页第二十二页，共31页。（3）已知三边）已知三边(sn bin)的长分别为的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.第23页/共31页第二十三页，共31页。例例9 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过公园，经过(jnggu)测量得到这个三角形区域的三条边长分别为测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm）?解：设解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据根据(gnj)余弦定理的推论，余弦定理的推论，第24页/共31页第二十四页，共31页。第25页/共31页第二十五页，共31页。第26页/共31页第二十六页，共31页。第27页/共31页第二十七页，共31页。 练习练习(linx)3 (linx)3 任一任一 中，求证：中，求证： 练习4在ABC中，若B=60,2b=a+c,试判断(pndun)ABC的形状。第28页/共31页第二