2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)

1、专題1、圆锥曲线与重心间題从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.三角形的重心：三角形三条中线的交点。知识储备：（1）G是A4BC的重心<>GA + GB + GC = d；重心坐标G（丸十也_匕,出十土）；3（2）G为A4BC的重心，P为平而上任意点，则PG = -（PA + PB+PC）3（3）重心是中线的

2、三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1：（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比:经典例题 例K （2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线C.y2= 4x的焦点为点P、Q、R在C上，且空QR的重心为F,则PF+QF的取值范围为（）91 .9 ；A.3， UI 2丿<2 J9）.(9 JB.4,-U -,5.2 J12 J9C. (3,4)U|4,-D. 3,5【答案】A【解析】由题意知，抛物线C的焦点为F（l,0）f设点P（xpp）.弘心宀）,xP+xQ+xR由重心的坐标公式得s=1=0天=ky + tn.

3、设直线P0的方程为x = ky + m.；，消去x得尸一4炒一 4加=0,y =力 = 16，+16加=16代+加）0,由韦达宦理得 yP + yQ =, yPyQ = -4w t所以，XP+XQ =（灯p+加）+ （幼G&（+儿）+ 22 = 4&丄+22 ,故xK=3-xP + xQ） = 3-4k2-2m ,）认=_（+°） = -4£ ,将点R的坐标代入抛物线C的方程得16/=4x（34/_2zn）,得加=3-8宀 则厶=8（2疋+ 2加）=8（3-6/）0,得0訪v丄,2贝 ¥鬥+|餌=勺+%+2 = 4疋+加 + 2 = 5-4化（3,

4、5.1 ovF（hO）不在直线PQ上,则加工1,此时,贝|JF| + |QF匕82（9、f 93,-U_,51 2丿（2因此，|“田0鬥的液值范|故选:A.【点睛】考查抛物线与直线的综介，求距离的取值范国，重心坐标的汁算，属于难题.例2. （2020-浙江高三月考）已知歼（一1,0）,人1,0 , M是第一象限内的点，且满足|M可+ |M可=4,若/是MFf?的内心，G是的重心，记巧与 GFM的而积分别为S- S“则（）A. S S2BS严SCS2DS与S?大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据人G的特別农示出SS- I!卩可判断出耳上2的人小关系.【详解】因为|MF；|+|M用=4闪可=

5、2,所以M的枕迹是椭関乂 +才=1在第一象限内的部分，如3因为/是MF/?的内心，设内切圆的半径为厂,所以（呵田心田旳）打明所以一如，所以牡:=生，2 231223又因为6是厶MF2的重心，所以OG:GM = 1:2,所以 6 =亍 Se.MOFl =亍 $ 迅 OF = - ' *，听以 S=S2 故选：B.【点睛】本题考查椭圆的立义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.例3. （2020湖南长郡中学高三期中）已知片、耳为椭圆L + g = l（“>b>0）的左、右焦点，P的椭圆2上一点（左右顶点除外），G为为重心若ZF'

6、;GF? <-tt恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（）【答案】B2【分析】根据P的椭圆上一点，且FxGF2<-7t恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据G为刃;坊为重心» fll GO = - PO = -b > tan F.O = -c 求解.3 36 132【详解】因为P的椭圆上一点，且FGF2<-恒成立，不妨设点P为上顶点，如图所示：-333而込吨“，即沁少0所以护纠所以b2 > 3c2 所以«2«c2>3c2<即丄，解得0 <05丄.故选：B4 2【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考査了

7、数形结介的思想和运算求解的能 力属于中档题.例4. (2。2。全国高二单元测试)已知八分别是双曲线"士“的左、右顶点，P为C上-点,且P在第一象限.记直线Q4,阳的斜率分別为人，k-当取得最小值时，APAB的重心坐标为()A. (1,1)D.【答案】B【分析】由双曲线的性质町得点A(1,0), 5(1,0),设点P(x,以a>l,y>0),则叭=2,再由基本不等£川烈2/ =心=2.进而町衍点P(3,4)dJ求得重心坐标.【详解】由题总点A(-hO), 3(1,0),设点Pgy),(xl0) 则人0,心0, = = 4= - = 2.x+1 a-1%一1

8、71;r-l所以2«+£n2j旺=4,当一“仅'12k =k2=2时取等号，7TT = 1x = 3'解得尸4所以点'则PAB重心坐标为'1 + 1 + 3 0 + 0 + 4、 (t 4、?,3，3丿即故选:B.【点睹】本题考査了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中 档题.2 2例5.已知椭圆C: + = 1的右焦点为F(l,0),上顶点为3,则3的坐标为,直线4 m与椭圆C交于M, N两点,且BMV的重心恰为点F,则直线MN斜率为【答案】也4【分析】空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出g

9、c,再根据椭圆中a, b, c之间的关系 求出血的值，最后求出上顶点B的坐标：空2：设出直线的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到 一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求岀弦的中点的坐标，再 利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.2 2【详解】空1：因为C: + = 1右焦点为F(1,O),所以有4加0且a =4 in而/=戻+宀 所以4 = m+=m = 3，因此椭圆上顶点的坐标为:(0“)；玄2：设直线的方程为,y = kx+m9 |-| (1)町知:椭圆的标准方程为:T+f = 1*讥线方程帥圆方呗立：7743,化简得:y = kx +

10、m(3 + 4疋庆+8如以+ 4加2一12 = 0,设M(召儿)，线段MN的中点为D,于是有:-Skm, z 、 c 6m. k. Hz -4km 3m 、x.+x= y. +> =k（x +x） + 2m = 丿九以D点坐标为：（r），1 - 3 + 4疋3 + 4疋3 + 4" 3 + 4/A J因为 &MN的重心恰为点F,所以有丽=2而，即（1,J了） = 2（=-1,仝L）,3 + 4L3 + 4L2加円2斗=_屯3 + 4“-4km 3因此有：3 + 4/社4皿询得：卞'所以直线测斜率为攀故答案为：(。“)：芈【点睛】本题考査了求椭圆上顶点的坐标.考査

11、了直线与椭圆的位置关系的应用.考査了三角形重心的性质，考査了数学运算能力一 例6.（2020-上海高三专题练习）已知直线厶交椭圆 +22 = 1于册、N两点，椭圆与y轴的正半轴交20 16于点3,若ABAW的重心恰好落在椭圆的右焦点F上，则直线厶的方程是.【答案】6x-5.y-28 = 0【分析】姑介重心坐标公式推导岀弦中点坐标，可设必（心必）"也*2），采用点差法，求出直线斜率, 采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，B（0,4）, F（2,0）,设”（州,廿）,"也,），由重心坐标得上匕=2, ±4 = o,33所以弦MN的中点坐标为斗邑=3,乂产=-2

12、,即（3,-2）,= =2生1622216+ +2土202邑202 2又M（s）,N（S2）在椭圆上,故 作差得4（舛+E）（斗一召）+5© +力）（必一力）=°将中点坐标代入得= 7，所以直线厶的方程为：y = f（A-3）-2,兀2 X工5即 6x-5y-28 = 0 故答案为：6x-5y-28 = 0【点睛】本题考査重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C： y2 = 8x的焦点为F,人（召,牙），鬥（冬,儿）， （x3,y3）为抛物线C上的三个动点，其中册 花尤3且比0,若尸为厶PP2P3的重心，记呂8

13、出三 边PP“ PR,的中点到抛物线C的准线的距离分别为“2,血,且满足山+3=22,则R出所在直线的斜率为（）3A. 1B. -C. 2D. 32【答案】C【解析】由题意知/=玉二电+ 2;厶乞匸殳+ 2;£ =乞0 + 22 2 2 帯入+3=22中，得到：X +2吃+兀3 =2（內+禺）；即2欠2=召+/3：又尸为厶PPR的重心，则有"+'+" =2：'1 +门+儿=0, 33即2冬=6-® 得到x2=29y2=-49因此有必+儿=4,故人人的中点坐标为（2, 2）.所以直线的斜率为：£ =丄匚、=2：故答案为2.召一召开

14、+儿2 2例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ： -斗=l（a > 0、b > 0）的右支上存在点A，使得点A与双曲线的左、右焦点片，耳形成的三角形的内切圆P的半径为5若的重心G满足PGIIF'F"则双曲线C的离心率为（）A. V2BC. 2DV5【答案】C 【解析】如图，由PG平行于X轴得儿=儿=0则儿=3儿=36 所以 8杯的而积 5 = |-2c-3</ =|-(l AF, + AF2+2c)cb 又 IAF； 1-1帖 l=2a,则IMl=2i + GlA&l=2i-a,由焦半径公式IA£l=a + wx 得无=2

15、gQz/-Lf”因此A(% 3“)，代入椭圆方程得空二-共=1,可得b = e c = V?7F=2n, cr lr即£ = £ = 2故选C.例9、（2。2。年绵阳南山中学高三月考】6题）已知P为双曲线C：計上-点,7巧为双曲线C的左、右焦点，M、I分别为/W込的重心.内心，若M /丄x轴，则片耳内切圆的半径为【答案】&【解析】如图，不妨设点P在第一象限，D、E、F分别为G7与/>斥厶三边相切的切点。则由切线长左理以及双曲线定义，得加=| PF、|-| PF2 | = （| PF+ FF、|）-（| PE |+| EF2 |） = | FF |-| EF2

16、| = | Ffl |-| F2D =(xD +c)-(c-xD) = 2xd :. xD = a = 2 9 xM =Xj=xD = 2 a 设P（x°,y。），由M 为巧重心，知心=3x."=6, y0=4>/6o | PF | = 7(6 + 4)2+(4>/6-0)2 =14 . | PF2 | = (6-4)2+(46-0)2 =10 设ZP厅巧内切圆半径为厂，则S"卒，：；=2(1戸片田田也|)X 16宀I |x= x8x4/6 = 16->/6 o 16r = 16>/6 r = >/62另一方而，例10、（2020年湖

17、北省统一联考16题）已知椭圆G 4 + = 1（a>b>0）的左、右焦点分别为几 尺, cr Zr点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点设人G分别为PF02的内心和重心.当直线ZG的倾斜角不随 着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为.连接刃并延长交x轴于M点，连接GZ并延长交x轴于M 则GN丄；r轴，作M垂直于x轴交于E 町得重心G今牛所以/的横坐标也罟，6 =牛由内切圆的性质可得，PG二曲FQFN NFEF-2 v 所以 PFi- PFy (PG+OFi)-(刃+,迟)二FiN - NF卩(FiO+QV) - - OFi - ON)二2ON= 而歼PZ,所"R+彳，吩_号

18、PF FM7c + OMex山角T分线的性质可得一= 一=一鼻=，所以nffU 0M=二2 ,33 3a所以可得 MN二ON _ 0M=巴_虫=（° _叭,所以 ME二OE- OM=xo空 =（%_°）儿,c 11所以整理为：一=一，故答案为：-.a 33【点睛】本题考査了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其 方法为根拯条件得到关于a，b, c的齐次式，化简可得.本题屈于难题.2 2例11、（2018年北京师大附中高三月考11题）已知椭圆鼻+右=1（"方0）的左右焦点为F】、F2,点、P为椭圆上一点，F】FF2的重心.内心分别

19、为G. L若75 = 2（1,0）,（20）,则椭圆的离心率等于c ?【答案】A【解析】设P（","畑展的重心£点坐标为（牛即,V/G 9(1, 0)0=0), ：.IG/x 轴 / 的纵坐标为 / ,3心如眛的内心，的纵坐标普即为内切圆半径,内心/把F4F2分为三个底分别为EPF?的三边，髙为内切圆半径的小三角形Hr-x2c<vol=- （2“+2（）I如 h 2（=© 二椭圆 C 的离心率2232y2例12、在直角坐标系X。）冲，已知椭圆c：y + /= 1的左右焦点分别为件，f29过片且斜率不为o的直2线/与椭圆C交于儿B两点，S晒的重心为G

20、,且3再，则直线/的方程为【答案】X + >/2 V + 1 = 0 nJc X - yfly + 1=0【解析】/过点斥（一1,0）且斜率不为0可设/的方程为x = y l设Agj），8（尤22），x = my _ 1由“x2 2得（肿 + 2） y $ - 2my -1=0+ '=12 “2mm2 + 21m2 + 2：召 +x2=m（y+y2）-2 =4m2 + 2；厂 '一 22m' 3（,+2）'3何 + 2） IOG =（心2）疔令匹返，解得”土血9（/ + 2* 9（m2 + 2）23（肿 + 2） 3何 +2）6直线/的方程为兀+屈+ 1

21、= 0或x-亦+ 1=0课后训练：lx （2020年成都市外国语学校12题）设F为抛物线y2 = 4x的焦点，A.B.C为抛物线上不同的三点，点尸是ZABC的重心，0为坐标原点， OE4、 OFB、 OFC的而积分别为SS?、S3,则S； + S； +=（）A. 9B. 6C. 3D. 2【答案】C【解析】抛物线'2 = 4x的焦点F（1,O）;设您Sy）%®），®%儿）；则y,2=4xpK =4x2,y; =4巧；乂AABC的重心是F（1,O）;所以x1+x2+x3 =3：根据三角形而积公式得S】=*x|OF|yJ,S2 =x|OF|y2|,53=x|OF|y3|

22、,=|, S2=y2y S3=y3t 则S； +S； +S；=扣；+ y； + y；） = xl+x2+x3=3 .故选 C本题考査抛物线标准方程和几何性质，平而几何知识.2、已知F为抛物线C.y2=4x的焦点，A, B, C为抛物线（7上三点，当FA + FB + FC = a,称ABC为“和谐三角形”，则"和谐三角形”有（）A. 0个B. 1个C. 3个D.无数个【答案】D【解析】抛物线方程为y2=4x, A, B, C为曲线C上三点，当丙+丽+无=0时，F为ABC的重心，用如卜-办法构造ABC.连接AF并延长至£,使=2当£在抛物线内部时，设（旳,旳），若存

23、在以D为中点的弦BC,设, C（j松，）, 则加！+伽=2看），/?. +；b =2v0, _ =kpc、“ _叫则P=4/M* ,两式相减化为他+从）上1二2 = 4,“2, =4加2加一加2c=LZ = 所以总1?在以D为中点的弦8（儿 所以这样的二角形有无数个故选D加1 一加2 Jo23. （2020-湖南高三月考（理）设直线/：x 2y 2 = 0与椭圆C：罕+ ）'= 1相交于A, B两点，M为4椭圆C的左顶点，若ABl的重心在y轴右侧，则加的取值范围是【答案】（2,22）【解析】将x = 2y + m代入椭圆方程，得（2y + y+4y2=4 ,即8>-2+4/?y

24、+ /7r-4 = 0 .由 = 16加2_32（加2_4）>0 ,得 m2<S ,即 -2迈5<2近.设点 A（西），B（A-2,y2） 则 开+儿二一斗，从而卯+兀2=2（）+力）+加=加.因为AABM的重心在y轴右侧，点M（2,0）,则 2州+花一2>0,所以m-2>0,即加>2.综上，加的取值范围是（2,2冋.考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考査直线与椭圆的位置关系，讣算疑大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数x得到8），+ 4/ny + m2-4 = 0,降低讣算量，再由 = 1632（莎-4）>0=>

25、; nr <8 => -22 < m < 2>/2 .再由韦达左理得才 + y2 =-=>舛 +x2 =2（廿 +y2） + 2in = m .又由 2AABM的重心在y轴右侧=>x,+x2-2>0=>/n>2=> m的取值范II；是（2,2、伍）.2 24. （2020年吉林省三模12题）设点P为椭圆C:+ = 1上一点，片、人分别是椭圆C的左.右焦点,2516且卩斤竹的重心为点G,如果l"J：l“2l=2:3,那么AGP片的面积为（）A.芈B. 2近C.晋D. 32【答案】C【解析】y山于点P为椭圆C哙+話=1上-

26、点,vl PF21= 2:3 J PF I +1PF21= 2« = 10 PF l=4,IPF2l=6又|f；|= 2c = 272516 =6故AP斥耳为等腰三角形，以PR为底的髙为:/7 = 4>/2PF乱畝spf.f、= -11 xh = 8返：S如 = |S如 =|xs丹=泌:【点睛】本题考査了椭圆的左义和性质，考査了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力, 属于中档题.5已知抛物线尸=张的焦点是只点A.B.C在抛物线上，0为坐标原点，若点F为厶ABC的重心OE4、HOFB、OFC面积分别记为&、$2、S3,则5.2 + 522 + S/的值为（）A

27、. 16B 48C. 96D. 192【答案】B【解析】设 A（X,）“3（花2）（七丿3），所以有yr =8xpy22 =8x2,.y32 =8x3,抛物线的焦点坐标为F（2,0）, 3C的重心坐标为（西+乍+禺,字电）, 由题总可知：山+y=2,即召+兀2+尤3=6.S+ 522 + 532 = ( x 2 I)、If +(x2-|y2|)2 +(x2- |y3|)- =+ y22 + X =站 + 8x2 + 8x3,听以S+ S + Sy = 8a*| +8x2 +&V3 = 8(%)+ x2 + 冷)=48.故选：B【点睛】本题考査了三角形重心坐标公式，考査了三角形而积公式，

28、考查了数学运算能力.2 26.设点P为椭圆：+ = 1上一点，屛，尺分别是椭圆的左右焦点，G为HPF戸的重心，且PF】丄PF.,4924那么'GPF?的而积为【答案】8> >【解析】由椭圆方程二+二=1得，° = 7,夕=24, c = /7二7 = 5，4924设 |P用=加，|PF21 =",则仃? + n = 2d = 14 所以 m2 + 2mn + n2 =196.又/¥；丄 P耳，则得/W2+n2=|/s|2=4<-2=100,所以得加= 48,乂 G '）、）PFF?的重心，故Sgp& = _S斗片人=xmn

29、 8.故答案为:83 3 2【点睛】本题主要考查了椭圆的怎义，有关焦点三角形的而积计算，考查了学生的运算求解能力.2 27设A，F分别为椭圆（7:二+=1 （d>b>0）的右顶点和右焦点，B、,乞为椭圆C短轴的两个端点,若点F恰为“目艮的重心，则椭圆C的离心率的值为.【答案】-【解析】如图:強答案为：-3【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题8. （2020届都江堰一诊模拟12）已知月是双曲线二一二=1>0">0）的左顶点，左右焦点为仟，只,么lyA. 2B. 3C4D与几的取值有关P为双曲线C上一动点，G是三角形朋尺的重心，若GA =

30、 APF则双曲线的藹心率为（）【答案】B【解析】若可=APF.则可/两: 乂因为G是三角形嘶的重心,所以箸二筹冷所以. = 1,即0 = £ = 3 故答案选B- Cj 3a9. （2020年垂庆市南开中学三诊）已知F是抛物线y2 = 4x的焦点，A，3在抛物线上，且AABF的重心1 1FA-FB坐标为分），则“品9【答案】1 1【解析】设点（也焦点F（l,0）,AABF的重心坐标为-g由重心坐标公式可得 曲 斗"斗 b+ 牛 °,即Xa+xb=,儿+儿=14丿乙丿丿厶由抛物线的宦义可得|&4|-3|=心+1-（心+1）=心-勺=-=4.代入弦长公式|AB

31、|= J174 vA-yJ= XaXbXi+yfiV1411=喘疇'故答案为兽【点睛】本题考査直线与抛物线的位置关系的应用，考査抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公 式的应用，属于中档题.10. 已知AABC是椭圆+ 4 = 1（3>/7>0）的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是AABC的重9心.求A, B, C三点到F距离之和为；解析：设 A （xp yi）（X2，V2）> C（X3，V3） ,贝ijL4FI="<, IBFlny, ICFI=“w AF+BFMCF-3a-e（门+旳+力）、因为AABC的重心在原点O, H + '

32、'寸 X = 0 , 3又 “=3, :.AFMBF+CF=9Y11. 在直角坐标系xOy中，已知椭圆+ / = 1的左右焦点分别为F“过片且斜率不为0的直线/ 2与椭圆C交于A , B两点,设aAB只的重心为G,若OG l=,则直线/的方程为. 6解析：过点£（l,0）IL斜率不为0町设/的方程hx = my-.设人（心）欧兀亠）.x = my _ 1x2 . 役（亦 + 2）/-2my -1 = 0：才 + y2 =，廿、=_ +）厂=1'7nr + 2nr + 2124xA +x2+ 儿）一 2 =_- 乂 :竹（1,0）» GI!卩Gnr - 2 2

33、m3（r + 23（,+2）iogi=（、2|“）2”9（ + 29（F + 23（r + 2）如+4 _迈、3（m2 + 2）6解得/» = ±41A.（V-'B.D.直线/的方程为 x + >/2y + = 0 或 x->/2y + l = 03112. 已知P是以为焦点的双曲线二-牛=1上的动点，则'吓才的重心G的轨迹方程为（）169A.千_b=i（yHO）B. -x2=l（yO） C.千+尸=1（）,工0）D. - +x2 = 1（0）【答案】A2 2【分析】（叫n ），则 =1设"FE的重心G （x. y）,则由三角形的重心坐

34、标公式对得169x=/w5 + 5 尸"+ ： + 0 ,解出叫n的解析式代入化简可得所求.【解析】由双曲线的方程可得a=4, b=3, c=5, AFi （5, 0）, F2（5, 0）.2 2设点P （m, n）,则 =1 设aPF!F2的重心G （x, y） （#0）,则由三角形的爲心坐标公式MG169x=_ , 尸 "+ + ° , 即 m=3x, n=3y, 代入|化简厉J得Q y-qy = 1 （y工0）,故ZiPFiF?的重心G的轨迹方程是 y = l（y H 0），故选A.【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P

35、 （m, n ）与重心G（x, y）的坐标间的关系是解题的关键.13.已知抛物线y2 = 4x上有三点A.B.CAB.BC.CA的斜率分别为3, 6, _2,则AABC的重心坐标【答案】C【分析】设人（卯川）"也2）（无3），进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.k _ * 一门_必一儿4【详解】设 A（xl9yl）9B（x2,y2）,C（x39y3）.则皿 西一禺 f y； y, + >s ，得乳 + 力= 3 444 24同理”+兀=：=丁，儿+'】=-; = 2三式相加得” +2 +儿=° o 3-2故咖三式

36、联立,得"一|宀=2，沪冷斗乎冷丰1'普冷14则円+中+“ =导故所求重心的坐标为（善，o，故选C.127【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的 能力有一定的要求，属于中档题.2 214. （2020-浙江高三模拟）已知椭圆C：冷+ = 1（“>>0）,斥，化为左右焦点，点P（2,、/亍）在椭圆C上，片P骂的重心为G,6T b"内心为/，且有1G = AFF （兄为实数），则椭圆方程为（c.927d s+r=i105【答案】A【解析】设点卩距尤轴的距离为JJ，因为IG 片E,则点/距X轴的距离为亜，连

37、接耳/迅/,/7,则-3S斗严=gx|片巧|x = 2cx 馆=y/c ,S旳远$网F?十S旳f十$近疋=乂 |耳形卜三】+学（戸耳|+巧|卜=匕+c ，所以（a + c） - = >j3c,=> a = 2c=>b = JJc , W r + s- = 1 => c2 = 2 ,所以椭闘方程为= 1 34c3c«6考点：椭圆的标准方程.2 215. （2020-河南郑州外国语学校高二期中）设点P为椭圆C:+ = 1上一点，匚 &分别是椭圆C的 左、右焦点，且迟的重心为点G,如果11:11=2:3,那么AGPF|的而积为（）4>/2【答案】CA,

38、C.【分析】由题设条件妝椭闘的怎义，可得I”! -4,1 ”2 1=6Linjnf得AP片F2为等腰三角形，讣算匚朽，2 2 1由重心和中点的定义，S°GPF = 3 Sgp斤=丁 XS邓片，即得解【详解】y山于点P为椭關C:务+話=1上-点,.I PFl 1:1 PF21= 2:3,1 PFJ +1 PF2I=2« = 1O /.I PFl 1= 4,1 PF2= 6又l£巧1= 2c = 2亦二IE = 6故APFf?为等腰三角形，以P片为底的高为： =J归才=4血故 S、pf乱=- PFi xh = 8>/2 S°gpf、= IS5F1 =|

39、x S昭=)攵选:C【点睛】本题考査了椭圆的立义和性质，考査了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力， 属于中档题.16. 抛物线C-.y2=2px(p>0)的焦点为F，是抛物线C上两点，且|AF| + |BF| = 10, O为坐标原 点，若ACMB的重心为F,则"=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】设人3),3(七,力)，由|AF|+|BF| = 10.可得丙+彳+勺+彳= 10.结合OAB的重心坐标， 即可求得P.【详解】设 A(Xj,y,),B(x2,y2), v |AF+1BF| = 10，则 +- + x2+-y = 10.2 2T O

40、AB 丁重心为 F »= » /. + /? = 10, /? = 4 .故选：D.322【点睛】本题考査的是抛物线泄义的应用及三角形的重心坐标公式，属于基础题.17. （2020福建高三）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2 =8x的焦点，过F作直线/与C交于人3两点.若IABA1O,则OAB重心的横坐标为（）4 QA. -B. 2C. -D. 33 3【答案】B【解析】F为抛物线C .y2=Sx的焦点,所以F（2,0）设心,刃）,8也,乃）由抛物线定义知：|48| =舛+2 +吃+2 = 10,解得册+勺=6.OAB重心的横坐标山= 2.故选B.18. 已知抛物线厂：y

41、2 = 2px （>0）,从点M（4,“）（d>0）发出，平行于x轴的光线与17交于点A, 经厂反射后过r的焦点N,交抛物线于点3,若反射光线的倾斜角为y，IANI=2,则 的重心坐 标为（）（2,-间B.C.D. )U丿<3；t 3丿【答案】C【分析】如图所示，过点AUtNC丄AM，匝足为点C,计算A（彳一 1,省），M（4,JJ）,得到卩=3,佔的方程为）一省卜一吕，联立方程得到”+），2=-2馆，易+吃=5,根据重心公式计算得到答案. 厶）【详解】如图所示，过点N作NC丄4M,垂足为点C,因为1的1=2,反射光线的倾斜角为幷，所以IACU |NCI=JJ，可得心=彳一1

42、2M (4, x/3)代入y2 = 2px ( p>0)中，得3 = 2pR-l解得P = 3或 =一1 (舍去),所以抛物线的方程为y2=6x,直线AB的方程为y = -V3-| .y = -J3(x-l设点3(召2)，联立I 2丿'消去兀得笛尸+6)-9笛=0,lr=6兀显然吕>0,故兀 + 儿=一* = 一2石又因为y1+y2=-x/3(x1+x2-3),所以x1+x2=5.设4WM的重心坐标为(x,y),所以x = -V|y4=3, y = 2122112 = _1E,333(所以WM的重心坐标为3,-计，故选：C< >【点睛】本题考査了抛物线的性质及直

43、线与抛物线的位置关系、三角形的重心坐标公式，意在考査学生的 计算能力和转化能力.19. (2020-浙江高考模拟)设双曲线C : + 卡 =1(" > 0, b > 0)在左右焦点分别为°F,，若在曲线C的右支上存在点P,使得AP片d的内切圆半径圆心记为M,又斤竹的重心为G,满足MG平行于x轴，则双曲线C的离心率为()A. VIB. 3C. 2D. 5【答案】C【解析MGIIFxF2得yM = ayyP = 3a ,所以 S = (PF + PF2 + 2c)xa = x3tzx2c, PF、一 PF2 = 2a => PF =2c + a, PF2 =2

44、c-a , 2 2由 PF( 一(Xp +c)2 = PF； 一(c-»)2 => xP = 2a ,"_(¥ = => b =長(1 => c = 2u、e = 2，选 C. cr 点睹：解决椭岡和双曲线的离心率的求值及范用问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方卅或不等式，再根 据Q,b,c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等.20. (2020-重庆巴蜀中学高三月考(理)已知抛物线'2 = 2px (>O), F为抛物线的焦点，O为坐标原 点，

45、人(舛,), B(x2,y2)为抛物线上的两点，2, B的中点到抛物线准线的距离为5, "BO的重心为F, 则()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】由/的中点到抛物线准线的典离为5可得丑磐+ £ = 5,由aABO的重心为F可得2 2込凹即可解出几3 2【详解】.-的中点到抛物线准线的距离为5, .泊巴+纟=5，即西+E=10P，2 2o,的重心为 F, .、+"¥)=£,即 Xj+X,=,12 丿322.10-“ =半，卩=4.故选：D.【点睛】本题考査抛物线性质的应用，属于基础题.2 221. (2020-北京市平谷区第五中

46、学高二期中)已知实轴长为2血 的双曲线C：二一二=l(d > > 0)的左、a- b右焦点分别为Fi ( -2, 0), F2 (2, 0),点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则ABFiF2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为()A. 1B.並C.逅D. ?3333【答案】A【分析】求出g b, c得到三角形的重心坐标，求岀双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即 可.2 2【详解】实轴长为2返的双曲线C： Ly=l(a>b> 0)的左、右焦点分別为月(0),尺(2 0),72为：T=X的距离为：d= 3 _ 1故选丄【点睛】本题考査双曲线的简单性质的应用考查转化思

47、想以及汁算能力.22. 过抛物线 = 2x2焦点的直线交抛物线于AB两点，已知|佔| =冷，0为原点，则AOAB重心的纵坐 标为.2 【答案】亍【分析】根据抛物线的立义和性质,解得"+力=2,利用重心坐标公式可得结果.1 （、【详解】根据题意，拋物线x2=-y的焦点为F左0 ,设Agj）/（花,力），2 o 7准线方程为x = -,由抛物线的怎义可得AF = yl+-t BF=y2+-8 8 8AB = AF + BF =卜 +日 + （儿 + 占卜?解得 X + 儿=2 ,AAOB的.»心纵坐标为 三=»故答案-333【点睛】本题主要考查抛物线的立义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题i般情况下都与抛 物线的立义有关，解决这类问题一宦要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到 准线距离转化为该点到俵点的距离：（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解 决.23. 已知抛物线C:y2=4x±有三个不同的点A5C,直线AB.BC.AC的斜率分别为匕仞心厂心厂若满足：+c=0.且AABC的重心在直线），=一1上则