中考数学圆内心外心

1、重重、难点突破A、AIB AOBB、AIB AOB1CC、2 AIB AOB 180021CD、2 AOB AIB 18002分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。第1个问题 内心、外心知多少【2013 元调第10题】如图，点I和O分别是 ABC的内心和外4,则/ AIB和/ AOB的关系为（）第3页共7页/AIB=180°(/ IAB+/ IBA ) =180°1 ,，。(/ A+ /B) =180 21(180 2-/C)=90三角形外接圆的圆心，圆心到 3个顶点的距离相等，它是三边的

2、垂直平分线的交点内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点/AIB 和/AOB 都与 /C 有关系，/ AOB=2 /C,直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（内心的考查更灵活：常考角度、面积1(1 ) BOC 90o A, BOA 90o21一 C, AOC 2(2) SVabC (a b c)r , a、b、c为三边长,r是内切圆的半径O2013 中考第25题） A，FD外心和内心的考查很频繁外心考查重点：圆周角与圆心角的转换，如 2013中考第22题如图，4ABC为等腰三角形，AB=AC ,则/ BEC= / BOD当

3、 BAC 900时，四边形ADOF为正方形，r a b c 2）个【例题11如图，AB是。O的直径，点P为半圆上一点（不与 A、B重合），点I为AABP的内心，连接PI 交。O 于点 M , IN，BP 于 N ,下列结论： / APM=45° ; AB= J2 IM ;/ BIM= / BAP ;IN OB 2=-；其中正确的个数有PM 2A、1个B、2个C、3个D、4个分析：题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于 180度，则4 ABP是直角三角形I为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线则PI平分 APB ,所以/ APM=45° 。圆中题目涉

4、及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意 弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里 APM则4AMB为等腰直角三角形， AM=BM , AB= J2 AM欲证AB= J2 IM ,则证IM=AM 或IM=BM 即可。令 IABIAM 45 x, AIM 45 x （内心性质、外角等于不相邻对于/ BIM= /BAP这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别，若p在Ab中点处，显然/ BIM= /BAP不成立式子看起来很复杂，看见 J2联系等腰直角三角形。本题的主线是内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点 M作AP、BP2边的垂线，易证 PCMD为正万形。AB=

5、2OB ,则IM=AM= -AB , 而 AB=2OB ,所以 IM= J2OB ,又 PI= J2IN ,所以PM= V2 （IN+OB ）,证毕【例题2】（2013黄冈一模）如图， ABC中，下面说法正确的个数是（若 O 是4ABC 的外心，/ A=5Cf ,贝U/ BOC=100;若 O 是4ABC 的，/ A=5CT ,则/ BOC=115;若BC=6 , AB+AC=10 ,则4 ABC的面积的最大值是12 ;4ABC的面积是12,周长是16,则其内切圆的半径是 1;重重、难点突破令 AB=a , BE=b ,贝U AC=10a, CE=6 b由于 AB2 BE2 AC2 CE2,则

6、 a2-b2 (10-a)2-(6 - b)2 ,解得 a -b 16 552因为a2-b2 (3b 16) b216(b 3)2 -不用具体算出来，当 b=3时，有最大值55252552即AD 后一b取最大，此时 ABC为等腰三角形，易知 AB=5 , BD=3 , AE=4方法2:海伦-秦九韶公式，如果你记得住的话:C /a b cP(p a)( p b)(p c), p -令AB= x ,贝U AC=10 x ,由题知 P=8 ,则S 8(8 6)(8 x)(x 2) 4 (8 x)(x 2)8 x x 24 12 （也可以用配方法）2【训练题】1、如图，。是4ABC的，过点。作EF/A

7、B,与AC、BC分别交E、F,则（）A、EF > AE+BFB、 EF < AE+BFC、 EF=AE+BFD、2、已知，如图，点 E是AABC的内心，延长 AE交 ABC的外接圆于点 D,连接BD、DC、EC,则图中与BD相等的线段分别是3、如图， ABC 中，AB=AC,/A=40° ,延长AC至I D,使CD=BC，点P是 ABD的内心,重重、难点突破4、如图，在矩形 ABCD中，连接 AC ,如果O为AABC的内心，过。作OELAD于E,作OFLCD于F,则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为C第5页共7ACB5、如图，Rt A ABC中，/ ACB=9

8、0° ，点O、I分别为 ABC的外心和内心，AC=6 , BC=8 ,贝U OI的值为6、如图， ABC内接于。O, I是其内心，且 AI，OI。若AC=9 , BC=7 ,则AB=7、如图，半径为2cm ,圆心角为90 °的扇形OAB的Ab上有一运动的点 P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H ,设 OPH的内心为I那么当点P在Ab上从点A运动到点B时，I所经过的路径长为8、如图，等腰 ABC中，AB=AC ,以AB为直径作。O,分别交AC、BC于D、E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F,连结FD ,则下列结论： De Be ;FD是。O的切线；/ C= / DF

9、B ;(DE为 BDF的内心。其中一定成立的个数有A、B、 C、 D、提示：角的转换要灵活9、如图，BC是。O的直径，半径为 R, A为半圆上一点，I为AABC的内心，延长 AI交BC于D点,交。0 于点 E,作 IFLBC,连接 AO, BI o 下列结论： AB+AC=BC+2IF ;4/AIB- / BOA=36 0EB=EI ;1F一R为定值，其中正确的结论有（）AEA、 B、 C、D、提示：参考例1解法10、如图，。是4ABC的外接圆，BC是直径，I为4ABC的内心，AD、BE、CF都经过I点分别交。O于点 D、E、F, IM XBC 于 Mo 则下列结论： EFXAD ; AB A

10、C BC J2AI ;1AD 而IM BC）,其中正确的是2提示：是对的如图1 ,扇形OAB的圆心角/ AOB=90，OA=6，点C是Ab上异于A、B的动点，过点C作CD，OA于D,作CE XOB于E,连接DE ,点G在线段DE上，且DG = 1 DE ,连接CG。当点C在Ab上运3动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是 DG ;如图2,正方形纸片ABCD的边长为8 , OO的半径为2,圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点 A于点H重合，且EH切。于点H ,延长FH交CD边于点G ,则HG的长为19 ;3已知 Rt A ABC 中，/ C=90, AC=3cm,BC=4cm ,则其内心和外心之间的距离是J5cm；其中正确的有 （请写序号，少选，错选均不得分）(3)若点D的横坐标为72，点I为AABO的内心,IE ±AB 于 E,当过 O、D两点的。Q的大小发生12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线yx上一点，过。、