长沙市一中高一下学期期中考试数学试卷

1、湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试数学试卷、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求.1 .已知角口的终边有一点P(4，4),则 cosa =A. 一42 .根据统计显示，某人射击1次，命中8环、9环、10环的概率分别为0.25、则此人射击A. 0.773 .下列函数中,1次，命中不足8环的概率为B . 0.52C周期为-,且为奇函数的是2.0.48)350.15、0.08(.0.371-A. y=tan2x B . y=tan-x C 2y =sin 2x.y = cos2x4 . 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布

2、直方图如右图1所示，时速在150,60)的汽车大约有(A. 30 辆5 . (已知圆的一条弦的长度等于圆的半径 )则这条弦所对的圆心角的弧度数为A. 1B.D.6 .已知下二r小题“若 a / b , b / c ,贝U a若四边形中有ab =dc ,则四边形为平行四边形.已知A, B, C是平面内任意三点，则 AB+BC +CA = Q则其中正确命题的个数为A. 07 .函数f(x) = (x+小)(0)的图象关于直线 数f (x)图象的一个对称中心是乂 =对称,它的最小正周期为A. (, 1)(. (, 0) C. (, 0)的取值)8.已知函数f(x)=lgax2+a(aA0,a=1)满

3、足f(4)f(1)f(9)n,该蚂蚁能从()跳到(m-n),如果nfKn,该蚂蚁能从()跳到(m,nn).则在(2,1)，(8,5),(10,24),(30,24)四点中，蚂蚁能到达的点是蚂蚁跳到(400,4),至少要跳跃次.三、解答题：本大题共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16 .(本小题满分12分)cos(x)已知f(x)=-2-Ucos(n：-x).7二sin(-x)(1)化简f(x)的表达式；5.(2)右f(a)=-13,求cost,tanct的值.17 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(x+工).44(1)用“五点法”做出f(x)在一个周期内

4、的图像;(2)求使f(x)3的x的集合.218 .(本小题满分12分)设集合P=b,1,Q=c,1,2,若b,cw2,3,4,5,6,7,8,9，且PJQ.(1) 求b=c的概率；(2)求方程x2+bx+c=0有实根的概率.19 .(本小题满分13分)已知圆Mx2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t,t+4”R),点P在线段上，过P点作圆M的切线，切点为A.(1)若t=0,=正,求直线的方程；(2)经过A,P,M三点的圆的圆心是D,求线段长的最小值L(t).20 .(本小题满分13分)有一个调频过滤仪其工作频率y与时间x的关系满足函数y=Asin(

5、0x+叼刊(AA0,6A0,092n).在工作中当其接收的信息频率不超过其工作频率时，则使该信息通过，否则过滤该信息(不通过).已知该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为(-,4)，(工,0).26(1)求该函数的解析式；(2)设函数f(x)的图象与直线x,x及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a,b上的面积，已知函数丫=在0,与上的面积为2(nCN*).若在xW0,n的时段内有频率yW0,4的nn量信息被该调频过滤仪接收，求这些信息通过的概率.21.(本小题满分13分)设f(x)是定义在0,1上的函数，若存在x*C(0,1),使得f(x)在0,x*上单调递增，在x*,1上单调递减，则称

6、f(x)为0,1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区问.(1)若函数f(x)=-x21,其定义域为0,1,试判断f(x)是否为0,1上的单峰函数；若f(x)为0,1上的单峰函数.证明：对任意的x，xzC(0,1),x1f(x2),则(0,x2)为含峰区问；若f(x1)Wf(x2),则(x1,1)为含峰区问；(3)对给定的r(0r2r,使得由(2)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分9.102711一八_1二1712 .9.13

7、.3sin(-x+-).14.T,.26815 .14三、解答题：本大题共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16 .(本小题满分12分)【解析】(1)f(x)A 冗 cos(x -). 7 二、 sin(y x)|_cos(x) = sinx |_(-cosx) =sinx-cosxf(：) =13，限 若1a在第三象限，则125cos： = -一 , tan .：:=1312若口在第四象限，则- 125cos. = , tan 一 =-13125s ia n-,8分Ct 在第或第四象10分12分17.(本小题满分12分)【解析】(1)列表x1357JIJI一x十一 44

8、0ji2ji31-22nf(x)030-30一、二二3二二1(2)f(x)=3sin(x+)-=sin(x+)-,由图像可知442442二二二5二2k一:二一x：2k(k-Z)6446当b2时，b=c=3,4,5,6,7,8,9.基本事件总数14.其中b=c的事件数为7种.所以的概率为1.(2)记“方程有实根”为事件A,若使方程有实根，则A=b24c之0,即b=c=4,5,6,7,8,9,共6种.所以P(A)=-.14712分19.(本小题满分13分)【解析】(1)设P(2a,a)(0a2).M(0,2),MP=V5,J(2a)2+(a-2)2=75,解得a=1或由题意知切线的斜率存在，设斜率

9、为k.所以直线白方程为y-1=k(x2),即kx_y_2k+1=0直线与圆M相切，仁三丝口=1解得k=0或k=-1k21，人一a=一(舍去).；P(2,1)53x+3y11=0(2)设P(2a,a)(t42a4t+4),二.与圆M相切于点A,.一经过A,P,M三点的圆的圆心D是线段的中点M(0,2),D的坐标是(a,a+1)2设DO2=f(a),f(a)=a2+(-+1)2=5a2+a+1=5(a+-)2+24455当2f5,即t%、一5时，f(a)min=f(2)=16当-2-+2,即-t2525，即924时,15t28t16,4L(t)=.f(a)min,275=,5175?4时，f(a)

10、min2、4=f()=一；55f(a)min=f(g2)=52t+3t+8.16t-45244-_t-48t128,t524-一5(工,4),(工,0) , .周期 2613分20.(本小题满分13分)【解析】(1)二.该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为8=3,且A=2b2，又五点法可知3M2十中=2E+2,.二华=2也：里，又0(中2n,华=n,y=2sin(3x+江)+25分(2)如图，据题意可知y=sin3x在0,工上的面积为2,33在0,%上的面积为2+2=4,3333则y=2sin3x在0,2上的面积为2X2=43339分函数y=2sin(3x+m+2在xW0,山上的图像如图，

11、则图中“S”的面积值均为4，而y=2sin(3x+m+2在xm，d的面积可表示为u,c4S矩形一2冗一、3，故信息通过的概率为27T_4_3Jl-24二一6二13分21.(本小题满分13分)【解析】(1)因为f(x)=-x21在0,0,5上单调递增，在0.5,1上单调递减，所以f(x)=-x21是0,1上的单峰函数.3分(2)证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0,x*上单调递增,在x*,1上单调递减.当f(Xi)1f(X2)时，假设x*正(0,X2),则X1X2f(X2)f(Xi),这与f(Xi)f(X2)矛盾，所以X*e(0,X2),即(0,X2)是含峰区间.当f(Xi)Wf(X2)时，假设X*(X2,1),则X*WXif(Xi)f(X2),这与f(Xi)f(X2)矛盾，所以X*e(Xi,i),即(Xi,i)是含峰区问.8分(3)证明：由(2)的结论可知：当f(Xi)f(X2)时，含峰区间的长度为li=X2；当f(Xi)Wf(X2)时，含峰区间的长度为12=iXi；对于上述两种情况，由题意得0.5十r0-Xi0.5+r由得i+X2-Xii+2r,即X2-Xi2r,所以X2Xi=2r,将