2018数学中考专题4中点辅助线专题

1、2021年数学中考中点专题1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半；3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理；4、两条线段相等,为全等提供条件遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型全等三角形；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时,常会出现面积的一半中线平分三角形的面积；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一的性质1、如图1所示,在4于点N ,那么MN6A.一5等于9B .一5ABC 中,AB=AC=5

2、, BC=6 ,点 M 为 BC 中点,MN LAC )12C.516 D.5图1二、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想半,2、如图,在R t力 ABC中,/ A=90 °且AN=BM.O 为斜边BC的中点.试判断“斜边上的中线,等于斜边的一,AC=AB,M、N 分别在 AC、AB 上.OMN的形状,并说明理由.3、如图,正方形 ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按 At Bt Ct Dt A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按Bt Ct Dt At B滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段

3、 QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为A. 2B. 4 nC.二D.五 一1三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理4、直接找线段的中点,应用中位线定理如图,四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,且AC=BD , M、N分 别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出 OE与OF的大小关 系并加以证实吗？5、利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理如下图,在三角形 ABC中,AD是三角形 ABC/BAC的角平分线,BD ,AD,点D是垂足,点 E是边BC的中点,如果 AB=6,AC=14 ,求DE的长6、综合使用斜边中线及中位线性质,证实相

4、等关系问题图6-1如图,等腰梯形 ABCD中,CD/AB,对角线AC、BD相交于点O, NACD = 60口,点s、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证： SPQ是等边三角形.四、两条线段相等,为全等提供条件遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型全等三角形7、如图甲,在正方形 ABCD和正方形 CGEF CG>BC中,点B、C、G在同一直线上, M是AE的中点,1 探究线段MD、MF的位置及数量关系,并证实；2将图甲中的正方形 CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形 CGEF的对角线CE恰好与正方形 ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变.1中得到的两个结论是否

5、发生变化？写出你的猜测并加以证实F- F:丁 BCG图甲五、有中点时常构造垂直平分线 8、如下图,在 ABC中,AD是BC边上中线,/ C=2/G图乙AB. 2AC=BC ./ 求证： ADC为等边三角形.六、有中点时,常会出现面积的一半中线平分三角形的面积9、如下图,点 E、F分别是矩形ABCM边AR BC的中点,连A那么S四边形ags等于.S矩形ABCD七、倍长中线10、如图, ABC中,D为 BC中点,AB=5 AD=q AC=13 求证：11、如图,点 D E三等分 ABC的BC边,求证：AB+AC>AD+AE八、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理12、半径是 5 cm的圆中,圆

6、心到 8 cm长的弦的距离是 BDCF、CE交十点G, 口二/图9 £BA.ad产三13、半径为5cm的圆O中有一点P, OP=4,那么过P的最短弦长 最长弦是,14、如图,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦, 那么圆O的半径为 cm.ODXAB , OEXAC ,垂足分别为 D、E,假设 AC=2cm ,15、如图,在.O中,直径 AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm,那么A、B两点到直线 CD的距离之和是CD的长;16、如图,O O的直径 AB和弦CD相交于E,假设AE= 2cm, BE= 6cm, / CEA= 30°,求:17.：如图,正方形 ABC

7、D中,E为对角线BD上一点,过E点作EFXBD交BC于F,连接DF , G为DF中点,连接 EG, CG.(1)求证：EG=CG;(2)将图中4 BEF绕B点逆时针旋转45o,如图所示,取 DF中点G,连接EG, CG.问(1)中的结论是否 仍然成立？假设成立,请给出证实；假设不成立,请说明理由.(3)将图中A BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证实)图遇到中点引发六联想1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一的性质例1、如图1所示,在 ABC中,AB=AC=5 , BC=6 ,点M为BC中点,M

8、N XAC于点N,那么MN等于1】A. 6B, 9C, 12D. 16分析：由AB=AC=5所以,三角形 ABC是等腰三角形,且边 BC是底边；由点 M为BC中点,如果连接 AM那么根 据等腰三角形的三线合一,得到 AM是底边BC上的高线,这样就能求出三角形 ABC的面积,而三角形 AMC勺面积是 等腰三角形面积的一半,在三角形 AM/利用三角形的面积公式,求可以求得 MN的长.解：连接 AM ,AB=AC=5 ,点 M 为 BC 中点 AM ±BC,在直角三角形 AMC 中,AC=5 , CM= 1 BC=3, AM= J AC2 - CM 2 = <52 - 32 =4,

9、2Szabc = X BC X AM= X 6X 4=12 ,Szacm= S>aabc =6 ,222'6= 1 X AC X MN ,MN=, 所以,选择 Co252、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半例2、在三角形ABC中,AD是三角形白高,点 D是垂足,点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,求证：四边形 EFGD是等腰梯形.分析：由点E、F、G分别是BC AB AC的中点,根据三角形中位线定理,知道11,、一,八FG/ BC,FE/ AC FE=-AC,由直角二角形 ADC DG是斜边上的中线,因此,DG; AC,所以,EF=DG这样,

10、我们就可以说明梯形 EFG虚等腰梯形了.证实：点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点, FG / BC , FE / AC, FE=- AC2AD是三角形的高,AADC是直角三角形, DG是斜边上的中线,DG= - AC , DG=EF, 梯形EFGD是等腰梯形.23、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理：如图4所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是例1求证：顺次连结四边形四边的中点,所得的四边形是平行四边形.AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形 EFGH是平行四边形.分析：由E、F、G H分别是 AB BC CD DA的中点,我们就自然联想到三角形的中位

11、线定理,但是在这里,我们发现缺少三角形,因此,我们只要连接四边形的一条对角线,就出现我 们需要的三角形了.证实：连接 AC, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.EF/AC , EF = 1 AC, GH / AC , GH= - AC , EF / GH , EF=GH ,22四边形EFGH是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4、遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型全等三角形例4、如图6所示,梯形 ABCD , AD / BC,点E是CD的中点,连接 AE 、 BE. 求证：S4abe=S四边形abcd.分析：如果直接证实,是不容易,联想到AD/ B

12、C点E是CD的中点,我们延长 AE,与BC的延长线交于点 F,这样, 我们就构造出一对八字型的三角形,DD并且这对三角形是全等的.这样,就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上,问题就好解决了.证实：如图7所示,延长AE,与BC的延长线交于点 F,AD / BC,ZADE= / FCE, / DAE= /CFE,又丁 点 E 是 CD 的中点,DE=CE , AADEA FCE, AE=EF ,Saabe= Sabef,Sa ABE = SaBEC+ SaADE ,Sbef= Sabec+ S aecf= Sabec+ S aade , Saabe + Sabec+ Saade = S 四边

13、形 abcd,2 SAABE= S 四边形 ABCD,Saabe= 1s 四边形 abcd.25、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理例5、如图8所示,AB是.的弦,点C是AB的中点,假设 AB=8cm, OC = 3cm,那么.O的半径为 cm.分析：由点C是AB的中点,联想到圆的垂径定理,知道OGL AB,这样在直角三角形 AOC中根据勾股定理,就可以求得圆的半径.解：点 C 是 AB 的中点, OCX AB ,AB=8, AC=4在直角三角形 AOC 中,AC=4,OC=3,OA=('AC2 +OC2 =132 +42 =5(cm),因此,圆的半径是 5cm.6、遇到中点,联想共边

14、等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示,点E、F分别是矩形 ABCM边AB BC的中点,连AF、CE交于点G那么 与边形AGCD等于:【】S矩形ABCDA、 5 B 、4 C、9 D 、26543分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点,有一边在一条直线上,并且两个三角形的这个公共顶点,是这条 共边线段的中点,那么,这两个三角形的面积相等.解：如图 10 所不连接 BG , E 是线段 AB 的中点,Saaeg = Sabeg =x ,Sabgf = SaGCF=y,abx=y= 一 ,3设 AB=2a , BC=2b ,S巨形 a b C =2a x 2b=4ab,根据题意,得:2 y +x

15、=工 x BC x BE=ab ,2x+y= x BA x BF=ab ,2x+y=2y+x ,即224ab4x=3S四边形agcd=2 S矩形abcd3S向边形 AGCD等于2S矩形ABCD3所以,选Do几何必考辅助线之中点专题I1专题性总结中点专题角平分线专题截长补短专题 中点专题一一看到中点该想到什么?1 .两条线段相等,为全等提供条件2 .中线平分三角形的面积3 .倍长中线4 .中位线5 .斜边上的中线是斜边的一半【例1】2021北京如图,在菱形 ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连 结 PGPC.假设/ ABC = / BEF=60°

16、,探究pg与pc的位置关系及£9PC的值.B E将上图中的菱形 BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形 BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图.你在中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证实.【例2】如下图,在 ABC中,AOAB, M为BC的中点,AD是/ BAC的平分线,假设 CFLAD且交AD的延长求证：MF=1(AC AB).2【例3】如下图,在 ABC中,AD是/ BAC的平分线,M是BC的中点,ME ±AD且交AC的延长线于 E, CD2CE求证：/ ACB= 2/ Bo中点专题一一看到中点该想到什么?1 .两条

17、线段相等,为全等提供条件2 .中线平分三角形的面积3 .倍长中线4 .中位线5 .斜边上的中线是斜边的一半中点问题探究11、如图,在 ABC 中,1 , ME= (AB - AC)2AB >AC , AD 平分/ BAC , BE垂直 AD 的延长线于 E, M 是BC的中点,求证:2、如图, ABC的中线并证实；2求证：SaqgdBD、CE相交于点Q,SaSA ABC.123、如图,在四边形 ABCD中,EF分别为AB、CD的中点;(1)(2)(3),、一_ 1,求证：EFv -(AC BD) 2四边形ABCD的周长不小于EF的四倍DOFQEPCBDECBNECBDM=MEDECBMA

18、B=10, BC=15 MN=3AD/ BC, AB=AD+BC4、在梯形ABCDRtA ACE ,且使/ ABD= / ACE=AC上截取 CE=AB , M、N分另为BC、AEAB、AC边为斜边向形外作 RtAABD6、如图,以 ABC 中点,(1)求证：BC的中点,AN平分/ BAC , BN±AN于点NE为CD的中点,求证：AE XBE7、如图,M是4ABCD M5、如图, AD为4ABC的角平分线, ABVAC 求证：MN/ AD,求证： OPQ为等腰三角形.的中点.,M是BC的求 ABC的周EF交BD、AC分另1J于P、Q ,假设AC=BD中点问题探究(2)BD=2AD

19、, E、F、G 分别是 OC、OD、AB 的中点.8、如图,平行四边形 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O, 求证：(1) BEX AC (2) EG=EFOB、CD=2EC .G顺次连结起9、如图,在 ABC中,AB=AC ,延长 AB至U D,10、点O是4ABC所在平面内一动点,连结 来,设DEFG能构成四边形.(1)如图,当点 O在4ABC内时,求证：四边形DEFG是平行四边形;(2)当O点移动到 ABC外时,(1)的结论是否成立？画出图形,说明理由;(3)假设四边形DEFG是矩形,那么点 O所在的位置满足什么条件？试说明理由.11、如图,在梯形 ABCD中,AD/ BC, AB=

20、AD=DC / C=60° , AE± BD于点E, F是CD的中点,DG是梯形的高.(1)求证：四边形 AEFD是平行四边形；(2)设AE=x,四边形DEFG勺面积为V,求y关于x的函数关系式.12、(1)如图1,正方形 ABC前正方形 CGEF(CG> BQ , B、C G在同一条直线上, M为线段AE的中点,探 究：线段MD MF的关系.(2)假设将正方形 CGE酷点C逆时针旋转45° ,使得正方形 CGEFF勺对角线CE在正方形ABCM边BC的延长线上,M为AE的中点,试问：(1)中探究的结论是否成立？假设成立,请证实；假设不成立,说明理由.图1图2

21、求证：OE=FC.13、：在正方形 ABCD43,对角线 AG BD交于O,2021中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点,与中点有关的问题很多,添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理 中点问题的关键.涉及中点问题的几何问题,一般常用以下定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线,构造全等三角形(或平行四边形)；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、假设一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点,那么常过中点作中线,应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

22、性质或“等腰三角形三线合一的性质.c例1. 如图, ABC中,Z B =90 ° , AB=BC,D在AB上,E在BC上,BD=CE , M是AC的中点,求证： DEM等腰直角三角形.提示：连结 BM,证实 A BD俸 A CEM得 DM=ME / DMBh EMC,那么/ DME9,得A MDM等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点,常应用“三角形的中位线定理,假设有一点是三角形一边的中一 腰 的 中 点, 那么 常 过 中 点 作 中 位 线.例2.如图,在四边形 ABC邛,AD= BC, M N分别是AB CD的中点,AD BC的延长线分别交 MN的延长线于 E、F. 求证：

23、/ DEN= / F.提示：连结 AC,彳AC 中点 G,连结 MG NG 贝U MG=NG MG/ BC, NG/ AD. / MGN / F , / GNM = DEN,/ MGN= GNM.,/DEN= / F.3、假设有三角形的中线或过中点的线段,那么通常加倍延长中线或过中点的线段,以构造两个三角形全等.例3. ：如图2, AD为4ABC的中线,BE交AC于E,交AD于 F,且 AE=EF 求证：AC=BF提示：延长 AD 至 G 使 DG=AD 连结 BG 贝 U ABD® ACDA ,AC=BG=BFX字型全等三角形4、遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想或构造4.

24、如图,正方形 ABC加正方形 CGE附边长分别是 2和3,且点B, C, G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结 MF那么MF的长为提示：延长 AD Fg于点 H,贝U AH=EF=3 DH=1=DFfh=72MF=_5、有关面积的问题中遇到中点,常用“等底等高的两个三角形面积相等的性质.例5.如下图,点E、F分别是矩形ABCM边AB BC的中点,连AF、CE交于点G,那么收毗D提示：连接 BGE是线段 AB 的中点,Saaeg= Sabeg=x,Sabgf= SaGc=y,弋设 AB=2a, BC=2b),=电搜或田=2a x 2b=4ab,I1%根据题意,得：2 y +x= 2 x BC

25、X BE=ab,2x+y= 2 x BAX BF=ab,2x+y=2y+x,即 x=y= 3 ,S23四坨席jlgcd2四边形AGc=4ab-4x = 3服怨玉感AM 等于31.2.AD是 ABC的角平分线,AB= 10,顺次连结四边形 ABC陷边中点得四边形假设所得四边形 假设所得四边形 假设所得四边形 假设所得四边形 假设所得四边形 假设所得四边形MNPQ；矩形,那么原四边形MNPQ；菱形,那么原四边形MNPQ；矩形,贝U AC! BD;MNPQ；菱形,那么 AC=BDAO 6, CNL AD于N且M是BC的中点.那么MN的长为MNPQ给出以下6个命题：ABC型菱形；ABC型矩形；MNPQ

26、；矩形,贝U/ BAD=90 ;MNPQ；菱形,贝U AB=AD以上命题中,正确的选项是A.B.)C.D.3. 如图,在 ABC中,DC=4BC边上的中线AD=2, AB+AC=3+7 ,贝(J saabc等于(如图,在 DABCD中,BC2AB CELAB于 E, F 为 AD的中点,ZAEF=54 ,那么 / B=第3题第1题BC上的中线 AD=2求BC的长.7.8D如图, ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE DGLCE G为垂足.求证： G是CE的中点；2 / B=2/ BCE8.AB 在梯形 ABCM, AB/ CD /A=90° ,AB=2 BC=3, CD=1,

27、E是 AD中点.请判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程.9. 如图,在A ABC中,/ ABC=2 C,AD± BC于D,E是AC中点,ED的延长线与 AB的延长线交于点F,求证:BF=BD10.如图, A ABC中,角平分线 BE与BC边上的中线 AD互相垂直,并且BE=4, AD=6,求AB的长四.思维拓展11.B如图,四边形 ABCM, E为BC的中点,AE与BD交于F,且F是BD的中点,Li ABC和口 DECtB是等腰直角(2)将图1中的A DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图 2,AC, BD的交点,AF=2EF AOD勺面积是3cm2,求四边形 ABCD勺面积.A

28、 FGH还是等腰直角三角形吗？假设是 ,给出证实；假设不是请说明理由.13 .如图1.在四边形ABCD43 ,AB=CD,E、F分别是BC AD的中点,连接 EF并延长,分别与 BA CD的延长线交于点 M N,那么/ BME= CNE假示：参见例 2).问题一：如图 2,在四边形 ADB计,AB与CD相交于点 O,AB=CD,E F分别是BG AD的中点,连接 EF,分别交DC AB于M N,判断&OMN勺形状,请直接写出结论.延长线交于点 G,假设/ EFC=JU0 ,连接GD判断A AGD勺形状并证实问题二：如图 3,在AABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E

29、F分别是BC AD的中点,连接 EF并延长,与 BA的14 .如图,正方形ABCM边长是2, M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射 线CD于点F,过M作EF的垂线交射线 BC于点G,连结EG FG1设AE=X时, EGF的面积为求J关于I的函数关系式,并写出自变量7的取值范围；2 P是MG勺中点,请直接写出点 P的运动路线的长.15.如图1,在等腰梯形ABCD中,加/ 8C , £是如的中点,过点月作I BC交C0于点 色座=4 BC=l,叁二6以1求点月到3C的距离；2点尸为线段£尸上的一个动点,过F作EM_L即交EC于点过般作朋V&q

30、uot;抽交折线ADC j ' N, 连结FM,设EF二工.当点N在线段 加上时如图2, LPMH的形状是否发生改变？假设不变,求出Z1FW的周长；假设改变,请 说明理由；当点 儿在线段OCh时如图3,是否存在点Pl,使&W为等腰三角形？假设存在,请求出所有满足要求的X的值；假设不存在,请说明理由答案：1.22.B3, D 4.72°5.2<AD<5IE6. 延长 AD到 E,使 DE=AD 连结 BE,AE=2AD=2< 2=4.在A AC的 A EBD中, AD=ED / ADCh EDB CD=BDAACDAEBD., AC=BE. BE=AC

31、=3.在 A ABE中, AE?+B=42+32=25=AE2,E=90° .BD=J-' + £* =43* + 2* = a/h . BC=2BD=27. (1)连接DE,那么在RtABD中,DE是斜边上的中线,DE=BE=DC DGLEC,G是 CE的中点(2 ) DE=BE/ B=Z EDB ,/ EDB= ECD+ CED=2 ECD/ B=2/ BCE8. 延长CE交BA的延长线于点G. E是 AD中点,AE=ED1. AB/ CD, . ./CDEW GAE Z DCE=Z AGE .CEDAGE/CE=GE AG=DC.GB=BC=3 EB±

32、; EC9. E 是 AC 中点,AD ±BC . . DE=EC . . / C=/ EDCW BDF / ABC=2/ C=2/ BDF,/ BDF=Z BFD, BF=BD10 .作 DH/BE,交 AC于点 H, . DH=1/2BE=2, BE平分/ ABC ADL BEAF=FD=3 BE/DHFE=1/2DH=1.1. BF=3,AB=2M四边形 ABC面积 =24 cm12. (1) FH / AD 且 FH = AD/2 , FG / BE 且 FGFG,FH且FG=.FGH等腰直角三角形(2)连接AD、易证得 AC国 BCE - AD± BE且 AD=

33、BE,可 知 FH / AD 且 FH =AD/2 , FG / BE 且 FGFG,FH且FG=.FGH等腰直角三角形BE/2FHBEBE/2FH问题二：人仃星直角三角形.证实：如图连接BD,取BD的中点H,连接HF、HE,13. 问题一：OM=ON . F是 AD的中点,HF/ AB, HF=AB/2, / 1=/3.同理,HE/ CD HE=CD/2 ./ 2=/ EFCAB=CD HF=HE / 1=/ 2. . /EFC=60 , .3=/EFC4 AFG=60 ,. AGF是等边三角形.,. AF=FD,GF=FDFGDh FDG=30丁./ AGD=90即 AGD直角三角形.菖：

34、(1)当点E与爱台时, x=Ot -*2-2=22营点E与点坏重渐小在正方般ABCD中,dMNADC=9.*/.ZMDF=90 AZMZMOF:AMSIE ZMZDMFJ*AAJ.1EWADMFAME=MF在Rt町4E申,AE加上1,辅E=Jj(2+t/-EF=2LIE=2 Jx2 4 1过啡MNJLBC,降定为冷(醴)那么/UNGhQ Zamn=W, mn-A0=aD-2i；,ZAlie*ZMN=90>yZ£UG=；&0*AZQMN*ZEMNx90a二?AMEm/GWJ/.RUiAHEwRUiNMG.AM ME ME 1A M MGL 祐 2r-o-AMG=2ME=2

35、-|x + 1A 尸 4eF-MG= 4 "2 JxZ + 1 *2 4x2 + 1 =2+2 22Ayi2r+2,算中.©(£2;曲PPQP点m膜；在 RtAHMG中,UG1BG 1?- ZI,1BG=ZGMG=gOr ZEMGiJ-tanZ SlJG=dan Z GMG =2;"'- GG *26G=4tMGG中,户、P分融MG、HG的申苴.二PF是4MGG的中过线fmPP：GG-2；214、即：啰通胳城的长为3过点区作EG1BC于点G月为48的中点,B£= AB- 2.2在q/BG 中,/B=6Q；NB£G = 3Q.B

36、G=-BEl 型二五-1：6 2即点R到BC的距离为后2当点方在线段打上运动时,Afa创的形状不发生改变.尸/1£凡£GIE用,尸也# EG.efU bc, .-.EP=GM, pm = eg ;&同理,二：j!_：.如图2,过点了作PHI腑于.四, Z2VM7 = Z3 = 60°, £PMH = 30°.PN = 4i+PHi = 在的AW中,. APW 的周长=PM+FN+朋M=5+/+4当点N在线段0c上运动时,APW 的形状发生改变,但1国I恒为等边三角形.当二期时,如图3,作PR1皿/于R,那么MR二成类似, Am = 2&

37、#39;.,MN=2MR;司 卷等边三角形,MC - MU=1此时,EP-GM = BC-BG-MC = 6-3=2.图 4,这时 MC-MH-MP=3.当旭F二MN时,如此时,x-EP- 0M = 67-也=5-岳当NP二加 时,如图5, /班皿二/尸皿二30.那么 N；W=120,又/加吸=60.,乙项加+NM熊二1期.因此点£与尸重合,尸为直角三角形.,KS2AM03此时,二 一 ,：.： 一一 .综上所述,当1=2或4或一后时,A/W为等腰三角形.,单项选择题本大题共8小题,共80分1.本小题10分如图,在平行四边形 ABCm,£为AB的中点,F为AD上一点,EF交

38、AC于G AF=2cnpAC A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm核心考点：平行四边形的性质相似三角形的判定与性质类倍长中线2 .本小题10分如图,在菱形ABCLfr, /A=100° , M, N分别是AB, BC的中点,MP1CD于点P, A. 40 ° B.45 ° C. 50 ° D.55 °为核心考点：菱形的性质 类倍长中线直角三角形斜边中线等于斜边的一半中点连接 FM , 那么 FM 的长为 A. B. C. D.3 .本小题10分如图,正方形ABCD正方形CGEF勺边长分别是2, 3,且点B, C, G在同

39、一直线上,核心考点：正方形的性质全等三角形的判定与性质类倍长中线4 .本小题10分如图,在等腰三角形 ABC中,/ABC=90 , D为AC的中点,过点D作DH DF,交AB于点 E , 交 BC于点 F . 假设$四边形即现=9 , 那么 AB的长为 A. 3 B. 6 C. 9 D. 18核心考点：直角三角形斜边上的中线等腰直角三角形全等三角形的判定与性质5 .本小题10分如图,在矩形 ABCD, AB=2显,BC=3 F为CD的中点,EF±BF交AD于点E,连 接 CE 交 BF 于 点 G , 那么 EG 的 长 为 3® A. -.1诉 B.11 C.319 D.

40、二核心考点：勾股定理相似三角形的判定与性质类倍长中线6 .本小题10分如图,在AABC中,BE平分/ABC AC于点E, CF平分/ AC皎 AB于点F,且BE CF相交于点O, AGL BE于点G, AFU CF于点H.假设AB=9 AC=14 BC=18贝U GH的长为5A.二B.5C.3D.6核心考点：角平分线的性质三角形中位线定理全等三角形的判定与性质7 .本小题10分如图,AB/ CD E, F分别为AC BD的中点,假设AB=5 CD=3那么EF的长为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.本小题10分如图,边长为 且始终保持EF/ AB.设线段核心考点：三角形中位线定理全等三

41、角形的判定与性质1的正方形EFGHS边长为3的正方形ABC所在的平面上移动,CF, DH的中点分别为M, N,那么线段MN的长为而 A._而 B._而 C.2而 D. 1核心考点：梯形中位线 三角形中位线二.填空题本大题共2小题,共20分9.本小题10分把一副直角三角板如图放置,EFBE是AB的中点,连接CE DEAB=8 ,贝U融融CD F是CD的中核心考点：直角三角形斜边上的中线10.本小题10分如图,在四边形 ABC时,AC=8BD=6 且 ACL BD E, F, G,那么一二-H分别是AB, BC核心考点：勾股定理中点四边形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、如图,AB、BC求证

42、:在锐角三角形的中点.四边形OEFGABC中,八口,30于口无、F、G分别是等腰梯形.是AC、2、如下图,BD、CE是三角形ABC的两条高, 求证：MN ± DEM、N分别是BC、DE的中点3、梯形 ABCD中,/ B+/C=900, EF是两底中点的连线,试说明AB-AD = 2EF4、如图,四边形 ABCD中,/ DAB=/DCB=900,点M、N分别是BD、AC的中点.MN、AC的位置关系如何? 证实你的猜测.5、过矩形 ABCD对对角线 AC的中点 O作EFXAC分别交 AB、30°求证：3OG=DC6、如下图；过矩形 ABCD的顶点A作一直线,交 BC的延长F是AE的中点,连接FC、FD.求证：/ FDA=/FCBDC于E、F,点G为AE的中点,假设/ AOG =D _ F _,C/一/' 线于点E ,A GE BBCE23.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:操作发现：在等月ABC中,AB=AC ,分别以AB和AC为斜边,向 ABC的外侧作等腰直角三角形,如图 1所示,其 中DF XAB于点F , EG,AC于点G , M是BC的中点,连接MD和ME,那么以下结论正确的选项是 填 序号即可