三维设计新课标高考数学理大一轮复习精品讲义函数导数及其应用

1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示基础盘查一函数的有关概念(一)循纲忆知1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(二)小题查验1判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射()(2)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(3)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(5)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()答案：(1)(2)×(3)(4)×

2、(5)×2(人教A版教材复习题改编)函数f(x)的定义域是_答案：4,5)(5，)3已知函数yf(n)，满足f(1)2，且f(n1)3f(n)，nN*，则f(4)_.答案：54基础盘查二分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(二)小题查验1判断正误(1)函数f(x)是分段函数()(2)若f(x)则f(x)()答案：(1)(2)2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_答案：并集并集3已知函数f(x)若f(x)2，则x_.答案：|(基础送分型考点自主练透)必备知识1函数的定义设A、B为两个非空的数集，如果按照某种确定的

3、对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)2函数的三要素题组练透1下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lgx与y2lgx2Dylgx2与ylg答案：D2下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3D4解析：选B中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义

4、域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数|(常考常新型考点多角探明)多角探明函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求给定函数解析式的定义域1函数f(x)(a0且a1)的定义域为_解析：由0x2，故所求函数

5、的定义域为(0,2答案：(0,22(2013·安徽高考)函数yln的定义域为_解析：要使函数有意义，需即即解得0<x1，所以定义域为(0,1答案：(0,1角度二：求抽象函数的定义域3若函数yf(x)的定义域是1,2 014，则函数g(x)的定义域是()A0,2 013B0,1)(1,2 013C(1,2014 D1,1)(1,2 013解析：选B令tx1，则由已知函数的定义域为1，2 014，可知1t2014.要使函数f(x1)有意义，则有1x12014，解得0x2013，故函数f(x1)的定义域为0,2 013所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x<1或1x2013.

6、故函数g(x)的定义域为0,1)(1，2 013故选B.4若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lgx)的定义域为()A1,1B1,2C10,100D0，lg 2解析：选C因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lgx)是同一个对应法则，所以1lgx2，即10x100，所以函数f(lgx)的定义域为10,100故选C.角度三：已知定义域确定参数问题5(2015·合肥模拟)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，

7、因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,0类题通法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)已知f(x)的定义域是a，b，求f(g(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知f(g(x)的定义域是a，b，指的是xa，b|(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误典题例析

8、(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(4)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f·1，求f(x)解：(1)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.(2)令1t得x，代入得f(t)lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x>1.(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)a

9、x2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).类题通法求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个

10、等式组成方程组，通过解方程求出f(x)演练冲关1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，解得c1.故f(x)x22x1.|(重点保分型考点师生共研)必备知识若函数在其

11、定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数提醒分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数典题例析1已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()A2B2C3D3解析：选B由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.2已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：当a>0时，1a<1,1a>1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a&

12、lt;0时，1a>1,1a<1，这时f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)得1a23a，解得a.综上可知，a的值为.答案：类题通法分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论演练冲关(2015·榆林二模)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_解析：由题意知或解得4

13、x0或0x2，故x的取值范围是4,2答案：4,2一、选择题1(2015·大同调研)设全集为R，函数f(x)ln的定义域为M，则RM()A(1,1)B(，1)(1，)C(，11，) D1,1解析：选C由f(x)ln，得到>0，即(x1)(x1)<0，解得1<x<1，即M(1,1)，全集为R，RM(，11，)2已知函数f(x)若f(f(1)4a，则实数a等于()A.B.C2D4解析：选Cf(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得a2.故选C.3若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23xBg(x)3

14、x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x解析：选B(待定系数法)设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x，选B.4函数f(x)的定义域为()A1,10B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10解析：选D要使函数f(x)有意义，则x需满足即所以不等式组的解集为(1,2)(2,10故选D.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16解析：选D因为组装

15、第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4<A，且30.联立解得c60，A16.6.具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是()ABCD解析：选B对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.二、填空题7(2015·太原月考)已知yf(2x)的定义域为1,1，则yf(log2x)的定义域是_解析：函数f(2x)的定义域为1,1，1x1，2x2.在函数yf(log2x)中，log2x2，x4.答案：，48设函数f(x)满足

16、f(x)1flog2x，则f(2)_.解析：由已知得f1f·log22，则f，则f(x)1·log2x，故f(2)1·log22.答案：9已知函数yf(x21)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_解析：yf(x21)的定义域为，x，x211,2，yf(x)的定义域为1,2答案：1,210(2015·岳阳模拟)已知奇函数f(x)则f(2)的值为_解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)30a0，即a1.所以f(2)g(2)f(2)(321)8.答案：8三、解答题11(1)如果f，则当x0且x1时，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是一次函数，且

17、满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式解：(1)令t，得x(t0且t1)，f(t)，f(x)(x0且x1)(2)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.12如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：

18、(1)点A表示无人乘车时收支差额为20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价(3)斜率表示票价(4)图1、2中的票价是2元图3中的票价是4元第二节函数的单调性与最值基础盘查一函数的单调性(一)循纲忆知1理解函数的单调性及其几何意义2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质(二)小题查验1判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)>f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)

19、函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)×2(人教A版教材习题改编)函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案：2,43若函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围是_答案：基础盘查二函数的最值(一)循纲忆知1理解函数最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的最值(二)小题查验1判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y在1,3上的最小值为()答案：(1)×(2)2(人教A版教材例题改编)已知

20、函数f(x)(x2,6)，则函数的最大值为_答案：2|(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义法设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)2导数法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递减题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|解析：选C当x>0时，f(x)3

21、x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.2讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，a>0，x2x10，x1x210，(x1)(x1)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)>f(x)2，故函数f(x)在(1,1)上为减函数类题通法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数判断但是，对于抽象

22、函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断|(重点保分型考点师生共研)必备知识单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间典题例析求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x

23、2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)类题通法求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结演练

24、冲关1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和(1,1)2设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，求函数fk(x)的单调递增区间解：由f(x)>，得1<x<1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的单调递增区间为(，1)|(常考常新型考点多角探明)必备知识函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最

25、低点的纵坐标(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最小值f(b)多角探明高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)的最大值为_解析

26、：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0Bf(x1)<0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0Df(x1)>0，f(x2)>0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)<f(2)0，当x2(2，)时

27、，f(x2)>f(2)0，即f(x1)<0，f(x2)>0.角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9D(0,8)解析：选B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B.C(，2 D.解析：选B由题意可知，函数

28、f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值一、选择题

29、1(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()AyBy(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)解析：选A显然y是(0，)上的增函数；y(x1)2在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数；y2xx在xR上是减函数；ylog0.5(x1)在(1，)上是减函数，故选A.2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2B1,0C0,2D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则()Af<f<f

30、Bf<f<fCf<f<fDf<f<f解析：选B由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，ffff，又<<<1，ff>f，即f>f>f.4.定义新运算：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1C6D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1<x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)

31、在R上递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由于c1c1，但c1/c1，所以“c1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件故选A.6(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x2<0且x1x2<0，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0B恒大于0C恒小于0D可正可负解析：选C由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0.x1x2<0，x1<x2<0.由f(x)f(x)0知f(

32、x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.故选C.二、填空题7已知函数f(x)为R上的减函数，若f<f(1)，则实数x的取值范围是_解析：由题意知f(x)为R上的减函数且f<f(1)；则>1，即|x|<1，且x0.故1<x<1且x0.答案：(1,0)(0,1)8已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(

33、x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)9设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)10使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k<0，得k<4.答案：(，4)三、解答题11已知f(x)(xa)(1)若a2，试证明f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)上

34、单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)任设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0在(1，)上恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,112已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(

35、3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解：(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.第三节函数的奇偶性及周期性基础盘查一函数

36、的奇偶性(一)循纲忆知1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性(二)小题查验1判断正误(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()答案：(1)(2)×(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x<0时，f(x)_.答案：x(1x)3.已知f(x)ax2bx是

37、定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_答案：基础盘查二函数的周期性(一)循纲忆知了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(二)小题查验1判断正误(1)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()(2)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数()答案：(1)(2)2若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：1|(基础送分型考点自主练透)必备知识函数的奇偶性的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么函

38、数f(x)就叫做偶函数(奇函数)提醒定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件题组练透判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f

39、(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，x>0，故f(x)x2xf(x)；当x<0时，f(x)x2x，则当x>0时，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数类题通法判定函数奇偶性的常用方法及思路1定义法：2图象法：3性质法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇提醒(1)

40、“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性|(题点多变型考点全面发掘)必备知识1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一题多变典型母题设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)

41、求函数的最小正周期；(2)计算f(0)f(1)f(2)f(2015)解(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2012)f(2013)f(2014)f(2015)0，f(0)f(1)f(2)f(2015)0.题点发散1本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2.试计算f(0)f(1)f(2)f(2015)的值解：因为f(x2)f(

42、x)，所以周期T2.又f(0)0，f(1)1，所以f(0)f(2)f(4)f(2014)0，f(1)f(3)f(5)f(2015)1，所以f(0)f(1)f(2)f(2015)1008.题点发散2若本例中条件变为“f(x2)”，求函数f(x)的最小正周期解：对任意xR，都有f(x2)，f(x4)f(x22)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数题点发散3在本例条件下，求f(x)(x2,4)的解析式解：当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(

43、x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f(x)x26x8.类题通法1判断函数周期性的两个方法(1)定义法(2)图象法2周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(a>0)提醒应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内|(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3

44、)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递增的是()Ayx2By2|x|Cylog2Dysinx解析：选C函数yx2在(，0)上是减函数；函数y2|x|在(，0)上是减函数；函数ylog2log2|x|是偶函数，且在(，0)上是增函数；函数ysinx不是偶函数综上所述，选C.2已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)<0的实数m的取值范围解：f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)<

45、;f(1m2)f(m21)1m>m21，解得2<m<1.综合可知，1m<1.即实数m的取值范围是1,1)角度二：周期性与奇偶性结合3(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)解：选Af(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(

46、25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)<f(11)解：选Df(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)类题通法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶

47、性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解一、选择题1(2015·河南信阳二模)函数f(x)lg|sinx|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数解析：选C易知函数的定义域为，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|lg|sinx|f(x)，所以f(

48、x)是偶函数，又函数y|sinx|的最小正周期为，所以函数f(x)lg|sinx|是最小正周期为的偶函数2(2015·大连测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()AyBylog2|x|Cy1x2Dyx31解析：选C函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求3(2015·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：选C当x0时，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)，f(x)x3ln(1x)4(2015·长春调研)已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)()A.BC.D解析：选C根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2，故选C.5(2015·甘肃天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则