专题06“三招”妙解导函数零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)

1、比19高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇函数与导致专题。6“三招妙解导函数零点问题一.方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究f x的单调性，往往需要解方程f x =0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的分离参数法”、构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明三招妙解导函数零点问题.二.解题策略类型一察言“观色“，猜”出零点【例1】【河北省武邑中学 2019届高三上第三次调研】已知函数 /=(-2幻+仆。2 .(1)当白=-1时，求汽力在(仃处的切线方程;(2)设函数(

2、i)若函数O)有且仅有一个零点时，求 口的值；(ii)在(i )的条件下，若 &2x2e2-【解析】 0,当 1U4时，h (a) 0,所以Mx)在(0,1)上单调递增，在(L + e)上单调递减，二人(无)由E=坂1) =1所以当函数(工)有且今有一个零点时，口二19分(11 )当 ci = 1； gG) =(X2 - 2x)lnx + a 2 若 x e, g 加只需证明 g。 111ax 三 nt57) = (x-1)(3+21m)令广=值我=1或工=二又；e-2 x ef,班期7(不在()gW)上单调递增，在(十1)上单调递减，在10上单调递噌又p(pT)=+ 交-1, p(e)= 2

3、” 一葡3t53一gG?=)=-：f?T 4 2-i 2(? 2e2 3e【指点迷津】1 .由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现 lnx时，常猜x= 1;当函数解析式中出现ex时，常猜x= 0或乂= ln x.2 .例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】设 f x=3 x(1)若函数f(x)在(a, a+1)上有极值，求实数 a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x) = x22x+k有实数解，求实数 k的取值范围.【答案】(1) (0,1)； (2) (8, 2,ln x【解析】(1)因为f x =

4、-当0x0;当x1时，f x)0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递 x增，在(1, + 00止单调递减，故函数 f(x)的极大值点为x=1,所以a1a+1,即0a吸gx0WQ因而需解方程gx)=0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.可得g(今。，且当0x0,当x1时，gx)0时，f (x)存在唯一零点.(II)见解析当口W 0时,八方 0,4没有零点；当50时，因为陵工单调递增，-刍单调递增F所以尸(力在(0,+8)草调递增又产(口)0, X当b涓足05(三目5 ML时，检当口;0时Jr(的存在唯一零点一44(II)由(I),可设fx)在(0,+ )的唯一零点为x0,当x? (0,

5、%)时，f也)0.故f(x)在(0, %)单调递减，在(x, + )单调递增，所以当x = xo时，f(x)取得最小值，最小值为f(xo).由于 2e2x0 - 2=0,所以 f(x0)=3+2ax0+aln2? 2a aln-.x02x0aa2故当 a0 时，f (x) ? 2a a In . a【指点迷津】本例第(2)问的解题思路是求函数 f x的最小值.因此需要求 f x=0的根.但是f位)=2e2x-刍=0的 x根无法求解.故设出 f x =0的根为x0 ,通过证明f(x)在(0, x0)和(x0, + 8止的单调性知a2f x min = f x0 = + 2ax0+ aln-,进而

6、利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而mn2%a不求”.【举一反三】设函数 f(x) = ex - ax-2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a=1, k为整数，且当 x0时，(xk)fx) + x+ 10,求k的最大值.【答案】(1) f(x)在(8, in a)上单调递减，在(ln a, + 8止单调递增.(2) 2.【解析】6的定义域加一孙十孙/Wr-a.若吧0,则列工A3所以义工)在(一工，十簿)上里谓递增.若亦a则当xEl兀，：口注时，当+矽时UAL所以/U)在Cwg上单调递屐:在fE幻+可上更调递增.(2)由于 a=1,所以(x k)f x)+ x+ 1 = (x-

7、 k)(ex 1) + x+ 1.故当x0时，(x k)fx)+x+ 10等价于x 1k -4-+x x 0 .ex 1人x 1 .).xx 0 _xx xxe 1 e (e x 2)则 g x 2+1=1(ex 1)2(ex 1)2由(1)知，函数h(x) = ex-x- 2在(0, + 8止单调递增.而 h(l)0,所以h(x)在(0, + 8)上存在唯一的零点.故gx)在(0, +8比存在唯一的零点.设此零点为“，则 代(1,2).当 xC (0, 4时，gx)0.所以 g(x)在(0, +8止的最小值为 g(a).又由 g 砂=0,可得 e= a+ 2 ,所以 g( a) = a+ 1

8、 C (2,3).由于式等价于k0对x1恒成立，知 a0. *网所以 3ax2+(3-2a)x- (a2+2)洲 对 x 1 , + 8)值成立.20令g(x) = 3ax2+(32a)x (a2+2),其对称轴为x= 1 ，因为a0,所以1 0,解得0aL52综上，实数a的取值范围为0,15.由已知得，用仇=Jl(1h x +1-必)=1比 a + y: i3,.令gtx)=xlnj+9金，贝U烈工)=1江工+1十% 3%6 r 金 岭)=*),贝I相埼=-+2-151-xx1十jy当0jc一时,社工方。6，困数用心二父在池七口）上递胤0当Q立正时，IwL，函数 h（x）=gx）在（1 ,

9、+8）上递减.6又 g (1=)0,，存在 xo (0,当 0xxo时,gx)0,函数 g(x)在(0, xo)上递减;当 x0x0,.函数 g(x)在(x0,1)上递增；当x1时.，gx) OO .1又 g(x) =xln x+x2-x3=x(ln x + x x2) x(ln x ),4当 x-O 时，In x+ 10,则 g(x)0,故心)单调递增(如图)，刎r(-J =且；当 1时,CO 0x.函数r（1）在用=处取得最大值 /.3 = 4 1） = 1故要使Inx +x y -/与 = R恰有两个不同的交点，只需QMul.实数。的取值范围是（0J）.三.强化训练1.设函数f满足2k、

10、x) + X V=eA.2B.C.D.,则|xW2, + g）时，f*）的最小值为（）r解析】对于等式凸= ,因为，巴故此等式可化为；h）= ri?i =:J力令成川= 0. 0,礼门里调速增，故；】所以E柜成立,因此，一 % 因此当好2时 g拱唯成立.因为门.，） =A在其+ T上单调递增，如）的最小值为f二而本题正确答案为D. 82 .【盐城市2019届高三第一学期期中模拟】已知函数汽幻=（*-。）加若函数网刈存在三个单调区 间，则实数a的取值范围是【解析】e, 、1,、at (x) = lmr + O G = Inr + I- - xH函数fW =-加必口 E fi),若函数/(0存在三

11、个单调区间即(*) =0有两个不等实根，即。=x(ln*+1)有两个不等实根，转化为y=a与y=U】M + D的图像有两个不同的交点 1 y =+ 2令旧1+ 2=0,即x=l,即y=x(liur + 1)在(。，/)上单调递减，在(/，+川 上单调递增。1 1Tymin=-(T,当 xC (0, /)时，y0 ,所以 a 的范围为 01口7 j/ | 1 0,.因为工，所以函数网灯在区间(0，+ 5上单调递增，且1/所以当血之。时，/(1)与m22n(x) = .,x + x/nx 注=m，有一个公共点；当时，令(幻=加上)，即有一个解即可.,2人*h (jc) = 2x + Inx + 1

12、 .令h (r) = 0, 日，得x =- e成用 9；当修时，所以当* 1时，有唯一的极小值Qx0)有唯一的实数根所以1- Cx-2)lnx a =K(心0)Ihx- 21nx即直线尸a与函数Y二x(x 0)的图象有唯一的交点构造函数1 -(x- 2)lrx 1=Inx2lnx + -x(XA0)r 1 - x - 21nxMn)= ,(x0)而v = o hQ) = O； 0MxM1|，Vo，hQ0AO； o Vo，h(x)0, h(x)- . 8; x-+g, h(x)- - 所以a = h(l) * l学I已知可化为 m g(x)= (J - 2x)lnx f x2 - x的最小值bi

13、*) = ix - l2lnx + 3) (e 1 x e)所以近建, 1tli上减，在口上增所以 EMg(咽11al=帆 1)= 综上实数m的取值范围是k.gr。6.12018四川成都双流中学 9月月考文】已知函数 f x lnx a x 1 ,a R.(1)当a 1时，求函数f x的单调区间；(2)当x 1时，f x nx恒成立，求a的取值范围.x 11【答案】(-1) f x的单调递增区间为 0,1 ,递减区间为1,； (2)2,【解析】|。=0 V M1 I在(0用上单调递梯专/,二0 =上0,，(用在L。上为增函数J ，之宫11) = 1-240，客在L+)上为僧的Bb g(幻士g=

14、0,即就之0.从而，(可一*之。，不符合题意 x+11,1 ，1，时，h x 0, g x在1，上单调递增,2a2ag x g 11 2a 0,同i),所以不符合题意一 ，.1_-(3)当a 时，h x 0在1,上恒成立.2g x 在 1,递减，g x g 11 2a 0.从而g x在1, 上递减,g 10,即 f xInx - 0 .x 1结上所述，a的取值范围是 12,7.12018广东深圳高三入学摸底】已知函数f(x)= jx + ib(1)求函数f的极小值;(2)若函数除)有两个零点 如与，求证：.a e + 1【答案】(1)极小值为ln(a-l) = (a)l-lrxa-l)-b (

15、2)见解析【解析】fo? - e1 - a + 1-当Cl时j在心为塘函物翻向无极小值3当IB心如&0,解得ZU 11.若,苣(8仙保-JJJJf加库调递现若x e (ln( a - IL + 则，e。加里调通增故的数f的极小值为& m a - L； = |司11 I - In a It - b*i Ai(2)证明：由题可知1a.1 = _J.y %x, * JY 六 要证 ，即证q 2 e -e , 2, e e +1v _x*2JCr - 2 I W不妨设、5只需证匚丁 J -，令六勺内。，X2X1tttL只需证 F0, . F&)= + La 22，F(t)在H,+ 8)内为增函数，故F

16、(tp所以原命题成立.网-X K8.12018广东省广州市海珠区高三测试(1)若函数f X后零点，求实数2(2)证明：当a 时，f X1【答案】(1),1 ； (2)见解析e e八e 同tt1 =-(上 + 3|-1 0?1 t F(0) = 0, J J , 1 成立.t_. 一. .a一(理)】已知函数f x lnx .Xa的取值范围；X e .即证V巳要证上Y，只需证:一，令F”l =IWrl（i）函数=的定义域为（o功由八，色p得/,（） = ；=二X、X，注 X当。*0时，（刈0恒成立,的数/（对在+划上单调递增，又/（l）=lnl + a = d +x:/（xj - -bx ,所以

17、函麴/（，）在定义域（0：4。时,则xw（Qa）时 / 4卜弓匕+到时，rx）0.所以因数，在（0卬）上单调递或 在d十到上单调递增当工二说/31 jina十1 一当1口口十IWOj即OcdP* 又L 一-色/（l） = lnl + d = 0,所以函数/（幻在定义城（04功上有2个零点.综上所述实数a的取侑布围为匚工之、 营2(2)要证明当a f时，e令 h x xlnx a,贝U hf x ex,即证明当x 0,a 2时, e 1, 一x Inx 1,当 0 x 时，f xea x 一.Inx e ,即 xlnx x八，1 ,.0；当 x 时，f xxa xe ,0.所以函数 1上单调递增

18、.当x 1时，h x1，2 ,a .于te,当a 时, ee1 ,、，一、，, 1h x在 0,- 上单倜递减，在 ,ee11xx x x一 a 一.令 x xe ,则 x e xe e 1 x .当 0 x 1时，f x 0；当 eex 1时，f x0.所以函数x在0,1上单调递增，在1,上单调递减.当x 1时,x min1 I ,c ，.于是，当x 0时, e12 ,.显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当a 时,xf(x) e9.设函数 f x lnx a, a 0x 1,1(1)当a 时，求函数f x的单调区间；30,1,、， a ，(2)当 a ， x 1, 时，求证： lnx 1

19、.2x 1,、56【答案】（1）增区间为：0 5,-65.减区间为5,1 ,661- .(2)见解析。(2)若证 lnx -a-1,x 11a x 1 成立，只需证:2，lnx lnx x 12 x 11,即:2 x 1 lnx 12 x 1当x 1时成立学-【解析】1处敷f的定义域为0J3L+阴、为”?时?令；尸0:得；工或不工：,所以图数卑随区间为；:ro4 56!636f R 、 f 6、尸（竹父01得二3父”父工所以国数单调新区间为；二，I、；656 J I 5 J设 gx 2 x 1 lnx 2 x 11x1.1 . g x 2 lnx -,显然g x在1,内是增函数,x1且 g120, g 2