电路方程的矩阵形式

1、第十章第十章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式l重点重点1.1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念；阵和基本割集矩阵的概念；2.2. 回路电流方程、结点电压方程、割回路电流方程、结点电压方程、割 集电压方程和列表法的矩阵形式。集电压方程和列表法的矩阵形式。l 割集割集Q ( (Cut set ) )Q是连通图是连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：(1)(1)把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。(2)(2)任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连

2、通图。87654321987654321910.1 10.1 割割 集集876543219876543219割集：割集：（1 9 6）（）（2 8 9）（）（3 6 8）（）（4 6 7）（）（5 7 8）（3 6 5 8 7）（）（3 6 2 8）是割集吗？是割集吗？基本割集基本割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1连支集合不能构成割集连支集合不能构成割集10.2 10.2 有向图的矩阵表示有向图的矩阵表示 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的图，可以写出网络的KCL和和KVL方程。方程。图的矩阵表

3、示图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，用矩阵描述图的拓扑性质，即即KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式。结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵1. 1. 关联矩阵关联矩阵 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。描述。N个结点个结点b b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述ajka ajkjk=1=1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向背离关联，方向背离结结点。点。a ajkjk= -

4、1= -1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向指向关联，方向指向结结点点a ajkjk =0=0 支路支路k与结点与结点j无关无关Aa=n b支路支路b结点结点n每一行对应一个结点，每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，每一列对应一条支路，矩阵矩阵Aa的每一个元素定的每一个元素定义为：义为：例例Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 10 1 -1 0 0 -1 每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个是，一个是-1-1， Aa的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。 矩阵中

5、任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只有有n-1行是独立的。行是独立的。1 1关联矩阵关联矩阵Aa的特点：的特点：引入降阶关联矩阵引入降阶关联矩阵AA=(n-1) b支路支路b结点（结点（n-1）设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵A=1231 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 11 1设设为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵Aa=1241 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 00 1 -1 0 0 -1注注 给定给定A可

6、以确定可以确定Aa，从而画出有向图。从而画出有向图。引入关联矩阵引入关联矩阵A的作用：的作用： T T i i i i i i i i i i i i654321 i设设: :用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程1 1-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 1iiiiii654321A i =0651543421 iiiiiiiii矩阵形式的矩阵形式的KCL: A i = 0以以为参考节点为参考节点n-1个独立方程个独立方程 332212131nnnnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu654321 32111000101110

7、0001011nnnuuunTuAu K KV VL L矩矩阵阵形形式式的的1 1 T T u u u u u u u u u u u uu u654321 uuuunnnn321设设: :用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程2. 2. 回路矩阵回路矩阵B1 1 支路支路j 在回路在回路i中方向一致中方向一致-1-1 支路支路j 在回路在回路i中方向相反中方向相反0 0 支路支路j 不在回路不在回路i中中bij= 一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵联，独立回路与支路的关联性

8、质可以用回路矩阵B描述。描述。B=l b支路支路b独立回路独立回路l每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵每一列对应一条支路，矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：2 2。支路排列顺序为先树支后连支，。支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵BBf f ，规定：，规定： 1 1。连支电流方向为回路电流方向。连支电流方向为回路电流方向例例取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向1231 1123B =1 2 3 4 5 6 支支回回0

9、 1 1 1 0 00 0 -1 0 -1 11 -1 0 0 0 -1注注 给定给定B可以画出有向图。可以画出有向图。选选 4、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1 0 1 -1 0 0 1BtBl1 1例例设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL： B u = 0Tltuuuuuuuuu 321654 1 1引入回路矩阵引入回路矩阵B的作用：的作用：用用回路矩阵回路矩阵B表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程 B u =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0

10、1 -1 0 0 1BtBl uuuuuu32165403652654154 u uu uu uu uu uu uu uu uu uu u Bf u = 0 可写成可写成 0 1 lttuuBBtut+ul=0ul= - Btut 654321 uuuuuuuutl设设连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示用用回路矩阵回路矩阵BT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程Tiiiiiii 321654 321100110010111001011iii 3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiii矩阵形式的矩阵形式的KCL： B T il = ib Bf= Bt 1 1

11、TtTBBf f ltlTtiiiB1tlTtii B 树支电流用连支电流表出树支电流用连支电流表出1 1独立回路电流独立回路电流3. 3. 基本割集矩阵基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路，每一列对应一条支路，矩矩阵阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：qij=1 1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向一致中且与割集方向一致-1-1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向相反中且与割集方向相反 0 0 支路支路j不在割集中不在割集中 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。这里主

12、要指基本割集矩阵。Q=(n-1) b支路支路b割集数割集数规定：规定：(1)(1)割集方向为树支方向割集方向为树支方向 (2)(2)支路排列顺序先树支后连支支路排列顺序先树支后连支(3)(3)割集顺序与树支次序一致割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵 Qf1 1例例选选 4、5、6支路支路为树为树Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQt1 l lQ Q 设设Tiiiiiii32

13、1654 b b 矩阵形式的矩阵形式的KCL：引入基本割集矩阵引入基本割集矩阵Qf的作用：的作用：用基本用基本割集矩阵割集矩阵Qf表示矩阵形表示矩阵形式的式的KCL方程方程1 11 0 0 -1 -1 00 1 0 1 1 -10 0 1 0 -1 1 iiiiii32165403263215214 iiiiiiiiii Qf ib =矩阵形式的矩阵形式的KCL： Qf ib =0设树枝电压（或基本割集电压）：设树枝电压（或基本割集电压）：ut= u4 u5 u6 T用用QfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程1 1 b bt tT Tf fu uu uQ Q 321654656545

14、4654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuu矩阵形式的矩阵形式的KVL： Qf Tut =ub b bt tT Tf fu uu u Q Q 3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuu tTltTltuQuQuuu 1 f fb btTlluQu 连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示QQi=0QTut=u小结：小结：tlTtii B ul= - BtutlltiQi tTlluQu ABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=0 0b bn nT T b bu u

15、B Bu uA Au u对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵，选择一树可以写出基本回路矩阵Bf和基本和基本割集矩阵割集矩阵Qf，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。4.4.矩阵矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系A与与B之间的关系之间的关系 0 n nT T u uA AB B 00 T

16、T T T B B A A oror A A B B 0b bl lT T b bi iQ Qi iB Bi i对同一有向图，任选一树，满足：对同一有向图，任选一树，满足： B与与Q之间的关系之间的关系 0 l lT T i iB BQ Q 00 T T T T Q Q B B oror B B Q Q 011 T Tt tl lT T f ff fB B Q QB B Q Q TtlBQ l lf ft tf fl lt tQ QQ QB BB BA AA AA A11对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵： A与与Q之间的关系

17、之间的关系 01 T Tt tl lt tT T f fB B A AA AB B A A l l1 1t tf fA AA A Q Q 1l lt tT T t tl lT T t tt tA AA AB B oror A AB BA A 10 l l- -t tA AA A 1 TtlBQ例例已知：已知：Bf =1 2 3 4 5 支支回回1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩阵，并画出网络图。求基本割集矩阵，并画出网络图。解解 011101011101TtlBQ 0111010101f f Q1 115.3 15.3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的

18、矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。阵形式是网络矩阵分析法的基础。 1.1.复合支路复合支路设标准支路为：设标准支路为：Z Zk k（Y Yk k）+ +ekI SKU + +- - -kIS S kI KU 复复合合支支路路特点：特点：方方向向相相反反；其其方方向向与与支支路路电电压压电电流流电电流流源源，号号支支路路的的独独立立电电压压源源和和分分别别表表示示 K K I IU US SK KS SK K 1 1方向关联；方向关联；支路电压与支路电流的支路电压与支路电流的 2 2它们的组合。它们的组合。电容

19、、电感，而不能是电容、电感，而不能是、），只能是单一的电阻），只能是单一的电阻是支路的阻抗（或导纳是支路的阻抗（或导纳 Y YZ ZK KK K)(3 3 Z Z K K 即即K Kk kk kC Cj j1 1L Lj jR R注注 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。Z Zk k（Y Yk k）00 SKSKU I I Z Zk k（Y Yk k）+ +SKU - -0 kIS S+ +SKU - -00 k kS SZ Z kIZ Zk k（Y Yk k）0 S

20、KUkIS S Z Zk k（Y Yk k）=0=0+ +SKU - -kIS S SK I I00 k kS SZ Z U Uk2.2.阻抗矩阵形式阻抗矩阵形式 应用应用KCL和和KVL可以可以写出用阻抗表示的写出用阻抗表示的k k支路电支路电压、电流关系方程：压、电流关系方程：Z Zk k（Y Yk k）+ +ekI SKU + +- - -kIS S kI KU skskkkkZIIUU U )(如有如有b条支路，则有：条支路，则有：11111)(s ss sU U ZIIU Z ZU U 22222)(ssIIU b bb bb bb bU U b bssZIIU )(设设TbUUUU

21、 .21TsbsssIIII .21TsbsssUUUU .21TbIIII .21Y=diagY1Y2Yb支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量电流元的电流列向量 SSU UI II IU U Z Z Z Z整个网络的支路电压、电流关系矩阵：整个网络的支路电压、电流关系矩阵： sbssbbbbU UU UI II IZ ZZ ZZ ZU UU UI II Is s112111000000b b阶对角阵阶对角阵Z=diagZ1Z2ZbT写出图示电路支路电压、写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：电流关系矩阵： s s6 66

22、 6s s5 55 54 43 32 2s s1 16 65 53 32 21 1U UI II II II II II II II I R R R R C Cj j1 1 L Lj j L Lj j R RU UU U000000000000000161例例 +R1R51/j Cj L2R61SI 234 -6S U Uj L35SI 11 12 23 34 45 56 6解解 2122112121SSSSUUIIIILjMjMjLjUU 2112222)()(SSSUIIMjIILjU 1221111)()(SSSUIIMjIILjU *M+ +- - -+ +1SU 2 2I IS 1S

23、 I I2 2SU 1L Lj j2 2L Lj j1 I I2 2I I 3.3.有互感时的阻抗矩阵形式有互感时的阻抗矩阵形式 sbSbSbSbLLbUUIIIIZZjMjMjjUUU1113212100 bZZjMjMjjLL00321Z Z一般情况一般情况jLm- -MmnjLn- -+n nI I m mI I n nU U m mU U n nmnmnm mm mm mI IM Mj jI IL Lj jU U m mmnmnn nn nn nI IM Mj jI IL Lj jU U L Lj j M Mj j M Mj j L Lj j Z Zn nm mn nm mn nm m

24、电压电压电流电流 不不为为零零和和不不是是对对角角阵阵，n nm mm mn nZ ZZ ZZ Z4.4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例例 R R R R C Cj j C Cj j1 1 L Lj j M Mj j M Mj j L Lj j R RZ Z6 65 53 32 21 1 0000000000 +R1R51/j Cj L2R61SI 234 -4 U Uj L35SI 14 U UM2.2.回路矩阵分析法回路矩阵分析法 0 b b UBKVL： lIITBKCL b b : : 0 SSUIIUBZBZBBb bb b SSUIIUZZ

25、b bb bZ Zk k（Y Yk k）+ +ekI SKU + +- - -kIS S kI KU 用阻抗表示的支路方程：用阻抗表示的支路方程：回路电流回路电流il (b-n+1) 1阶阶 SSlIUIZBBBZBT 回路电压源向量回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。自阻抗，其余元素为互阻抗。 TBZB Z Z l l SSSIUUZBBl l SUl ll lI I Z Z l l回路矩阵方程回路矩阵方程 s ss sI I U U Z Z B B 从已知网络，写出从已知网络，写出回路分析法的步骤：回路分析法的步骤： l ll lU

26、U Z Z 求出求出列出回路方程列出回路方程 l ll ll lU UI I Z Z l lI I 求出求出由由KCL解出解出 l lT Tb bI IB BI I 根据支路方程解出根据支路方程解出 b bU U skskkkkkIUYUYI skkskkkUZIIU )( sbssbbsbbIIUUUUYYYII1112110000001.1.支路导纳矩阵形式支路导纳矩阵形式Z Zk k（Y Yk k）+ +ekI SKU + +- - -kIS S kI KU 10.4 10.4 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵有了反映元件性质的支路电

27、压和支路电流矩阵方程和方程和KCL、KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂的矩阵表示，就可以对任意复杂的网络进行网络矩阵分析。的网络进行网络矩阵分析。 b b2 2b b2 2Z ZZ ZZ ZY YY YY YZ ZY Y100010001000000111不含互感和受控源的网络不含互感和受控源的网络b b阶对角阵阶对角阵 SSIUUIYY 含互感的网络含互感的网络 111110001000 b b2 2Z ZZ ZZ ZZ ZY Y 11111L L M MM M L LL Lj j M Mj jM Mj j L Lj jZ Z2 22 21 1)(221MLLj 含有受控源的网络含有受控源的

28、网络)(skkkekkekUUYUYI )(sjjkjejkjdkUUgUgI sksjjkjskkkkIUUgUUYI )()()(sjjjejUUYI sksjjjkjskkkkIUUYUUYI )()( ejkjdkUgI 设设VCCS)1(为为dkI ejkjdkII 设设CCCS)2(为为dkI . . .U USkSkI Idkdk . .I Ik k . .I IekekZ Zk k kUSKI sbsjskssbbsjjskksbjkjkbkIIIIUUUUUUUUYYYYIII1111100考虑考虑b个支路时：个支路时：jkjY kjgsksjjkjskkkkIUUgUUYI

29、 )()(2.2.结点电压方程的矩阵分析结点电压方程的矩阵分析最常用的方法最常用的方法 SSIUYUYI由由KCL有有 0 IA 0 SSIAUYAUYA由由KVL有有 nUUTA snsnI ISSnUIUYAAAYAT n n SnIUnYYn结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的流入结独立电源引起的流入结点的电流列向量点的电流列向量结点分析法的一般步骤结点分析法的一般步骤1 12 23 34 45 56 6第一步：抽象为有向图第一步：抽象为有向图5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -第二步：形成第二步：形成A123A=1 2 3

30、4 5 6 支支节节 1 1 0 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 0 -1 0 1 -1第三步：形成第三步：形成Y 112 . 025 . 02Y1 12 23 34 45 56 65V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -第五步：用矩阵乘法求得节点方程第五步：用矩阵乘法求得节点方程 SSnTUYAIAUAYA 315040007 . 20005 . 3321UUUnnn第四步：形成第四步：形成US、ISUS= -5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T1 12 23 34 45 56 65V5V0.5W0

31、.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -5243130 000110110111000A 50000sSiI 例：例：iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1 5431200000000000000000GGgLjLMMLY 例例iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L15243130 SSnTUYAIAUAYA 00200532121222344454snnnIUUUMLLMLMLLLjGgGgGGG 代入代入10.5 10.5 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式以树支电压为未知量以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程用导纳表示的

32、支路方程 0 b b Q Q f fIKCL ： tUUTQKVL:f fb b SSIUUIYY b bb b 0 SSIUUIQYQYQQ f ff ff ff fb bb b SStUIUYQQQYQTf ff ff ff f TQYQ t tY Y SSUIYQQf ff ft tI I 割集导纳矩阵，主对角线元素为相割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。路导纳之和。 SStUIUYQQQYQTf ff ff ff f 割集电流源向量割集电流源向量 t tt tt tI IU U Y Y 割集矩阵方程割集矩阵方程 s ss sf fI I U U YQ选定一个树，写出选定一个树，写出割集分析法的步骤：割集分析法的步骤： t tt tI I Y Y 求出求出列出割集方程列