上海中考数学压轴题专题05图形的运动之翻折(解析版)

1、上海中考数学压轴题专题05图形的运动之翻折1.教学重难点理解图形翻折的概念和性质;2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题;3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。.图形翻折的性质和特征:【备注】：根据第一个图回顾图形翻折的特征，可以先让学生自己说说，再分析填空；再根据第二个图总结图形翻折的常见题型，为后面例题讲解铺垫基础；时间大概 5分钟。2.翻折后在圉形翻折的楹质1.福折直线为对称轴;形与原来图溺全警3.福折后的对应边相等，对应洋4毒折后的对应点的连线设被对二.图形翻折的常见题型:【备注】：1 .以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2 .在

2、讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3 .可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4 .例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5 .引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6 .部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7 .每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题3-5分钟

3、。【参考教法】：翻折面积有关题目可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题1. 你能寻找一下哪一条是翻折线段吗？提示：让学生说说。2. 挖掘题目中的特殊条件。题目中有哪些角相等？哪些边相等？找找看。3. 根据题意，计算求解相关图形的面积。4. 准确画出翻折后的图形是解题的关键。例题讲解与具体思路分析1. （2020年协和双语学校一模）如图，在等腰ABC中，AB=AC=4 , BC=6点D在底边BC上，且/ DAC= / ACD ,将 ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE,那么BE的长为 BD【整体分析】只要证明 ABDsMBE,得ABBD,只要求出 BM、BD即可解决问题.B

4、EBMAB=AC ,ABC= ZC,/ DAC= / ACD ,/ DAC= / ABC ,/ C= /C,CADACBA ,.CA CDCB AC4 CD- 一,64CD= 8 , BD=BC-CD=6- 8 = 10 , 333/ DAM= / DAC= / DBA , / ADM= / ADB ,ADM s，BDA ,8AD DM口 3 DMBDDA 10833DM= * , MB=BD-DM= 10 - 32 = 6 ,153 15 5A、B、E、D四点共圆，/ ADB= / BEM , / EBM= / EAD= / ABD , .ABD s 匕 MBE ,.AB BD , , ,

5、BM BE6 10 BM BD 5 V .BE5- 1AB 4【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题2.（2020杨浦区上海控江中学附属民办学校一模）在RtVABC中，/A=90°,AC=4, AB = a，将VABC沿着余边BC翻折，点A落在点Ai处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交AB所在直线于点F,联结AE ,如果AiEF为直角三角形时，那么 a 【整体分析】当 AiEF为直角三角形时，存在两种情况：当/ AiEF=90。时，如图1,根据对称的性质和

6、平行线可得：AiC= A iE=4 ,根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2 A iE=8 ,最后利用勾股定理可得AB的长；当/ AiFE=90。时，如图2,证明 ABC是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4 .【满分解答】解：当 AiEF为直角三角形时，存在两种情况:当/ AiEF=90°时,如图1 , Ai BC与 ABC关于BC所在直线对称, AiC=AC=4 , Z ACB= Z AiCB,点D, E分别为AC, BC的中点，D、E是 ABC的中位线，DE / AB ,Z CDE= Z MAN=90 ° ,Z CDE=Z AiEF,.AC / AiE, ./ AC

7、B= Z AiEC, Z AiCB=Z AiEC,AiC= Ai E=4,RtAAiCB中，: E是斜边BC的中点，BC=2 AiE=8,由勾股定理得：AB 2=BC2-AC2, -AB= V82 42=43.当/ AiFE=90。时,如图2, Z ADF= Z A=Z DFB=90 ,Z ABF=90 , Ai BC与乙ABC关于BC所在直线对称,Z ABC= Z CB A1 =45 ,. .ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4 ；综上所述，AB的长为4出或4；故答案为：4石或4.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角 形斜边中线的性质

8、，并利用分类讨论的思想解决问题.【备注】：本部分对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。总结规律：图形翻折之“翻折面积”题型解题方法与策略：1 .寻找翻折直线，即对称轴；2 .根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3 .寻找翻折相等的线段和角度；4 .利用翻折并结合题目中的特殊条件解题；5 .利用好勾股定理和一些特殊条件。【备注】：该部分让学生独立完成，之后评分并讲解，每题 4份，共52分。建议每题给学生 2分钟思考时 间。让学生说出解题思路的结果。没有完成的思路正确可课下完成。过关演练1. （2019?上海）如图，在正方形 ABCD中，E是边AD的中点.将

9、 ABE沿直线BE翻折，点A落在2【答案】解：如图所示，由折叠可得AE=FE, / AEB=/FEB= ；/AEF,正方形 ABCD中，E是AD的中点,11AE=DE= 2AD= 2AB,DE = FE,EDF =/ EFD,又一/ AEF是ADEF的外角，AEF = / EDF + Z EFD , ./ EDF= 1/ AEF, 2 ./ AEB = / EDF, .tan/ EDF = tan/AEB= ?=2.故答案为：2.A E D0【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小 不变，位置变化，对应边和对应角相等.DF =2. （2019?

10、青浦区二模）如图，在矩形 ABCD中，AB=3, E为AD的中点，F为CD上一点,2CF,沿BE将 ABE翻折，如果点 A恰好落在BF上，则AD = 2v6_.AbD5C【答案】解：连接 EF,A E D3C点E、点F是AD、DC的中点,AE= ED, DF = 2CF = 2,由折叠的性质可得 AE = A'巳 .A' E = DE,在 RtEA' F 和 RtAEDF 中,? = ? ?= ?.RtEA' F RtAEDF (HL),:.A F = DF=2,.BF=BA' +A' F = AB+DF = 3+2 = 5,在 RtABCF 中

11、,BC=，？?？ ？?？= V52 - 12= 2 0AD = BC = 2v6.故答案为2V6【点睛】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF,证明RtAEA7 F RtAEDF,得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式.3. （2019?静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A （2芯,0), B (0, 6), M (0, 2).点B落在点P处，联结PQ.如果直线PQ与直线AB所构Q在直线AB上，把 BMQ沿着直线MQ翻折，点(2v3, 4)或（0, - 2）或（-2算，0）【答案】解：: A (2v3, 0), B (0, 6), M (0, 2),OA = 2v3,

12、 OB=6, OM = 2, BM=OB-OM = 4,?6, . tan/ BAO= = -= = v3? 2V3' . /AOB=90° , ./ABO =30° ,AB= 2OA = 4v5, 直线PQ与直线AB所构成的夹角为60° ,，/PQB=120° 或/ PQB=60° ,(1)当/ PQB=120°时，分两种情况：如图1所示：延长 PQ交OB于点N,则/ BQN=60° , 5图1 ./ QNB= 90° ,即 QNXBM ,由折叠得：BM=MP = 4, /BQM=/PQM, . / PQ

13、B= 120° , ./ BQM =Z PQM= 120° , ./ BQN = Z MQN = 60° , QNXBM,1 BN= NM= 2BM = 2,在 RtAPNM 中，NP= V?- ? = V42 - 22 = 2v3,ON=OM + NM=4, .P点的坐标为：（2v3, 4）;如图2所示：QM ±OB, BM=MP,OP= PM - OM = BM - OM = 4 - 2= 2,，P点的坐标为：（0, -2）;（2）当/ PQB=60°时，如图3所示：Q点与A点重合,T由折叠得：AB=AP = 4 V3,OP= APOA =

14、 4v3 - 2V3 = 2v3, . P点的坐标为：（-2V3, 0）;综上所述：P点的坐标为：（2 v3, 4）或（0, - 2）或（-2芯，0）.【点睛】本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、坐标等知识，熟练 掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质，并进行分类讨论是关键.4. （2019?闵行区二模）如图，在 ABC中，AB = AC=5, BC = 2v5, D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）.将 ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE.如果CE/ AB,那么AD : CD = 5:【答案】解：如图，过 A作AGLBC于G,过B作BHLCE,交E

15、C的延长线于 H,延长BD和CE交于点F,AC= AB=5, .BG = CG=4，AG=，？ ？?？= V52 - (0)2=2耳 FH /AB, ./ ABG = / BCH,. / H = Z AGB= 90° ,? ? ?=? ? ?2 甚?2 V55v5BH=4, CH = 2,由折叠得：AB=BE=5,EH= V?- ?= V9 - 42 = 3, CE = 32=1,. FH / AB,. F = /ABD = / EBD,-.EF = BE = 5, .FC =5+1 =6,. FC / AB,? ? 5, ? ? 6：故答案为：5: 6.【点睛】本题考查翻折变换、三

16、角形相似的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性 质等知识，解题的关键是正确作辅助线，寻找相似三角形解决问题.5. （2019?虹口区二模）如图，在矩形 ABCD中，AB=6,点E在边 AD上且AE=4,点F是边BC上的一个动点，将四边形 ABFE沿EF翻折，A、B的对应点Ai、Bi与点C在同一直线上，AiBi与边AD交于【答案】解：. CDGsA'EG, A'E = 4A'G=2B'G=4由勾股定理可知CG'= 3 V5则 CB'= 3v5- 4由CDGsCFB'设 BF = x? ' ?=?3V5:43=-?6解得

17、 x= 6 v5 - 8故答案为6 v5 - 8【点睛】本题考查了翻折的性质与相似，通过寻找等角关系，确定相似关系是本题的关键.6. （2019?杨浦区二模）如图，点 M、N分别在/ AOB的边OA、OB上，将/ AOB沿直线 MN翻折,2通-v5设点O落在点P处，如果当OM = 4, ON = 3时，点O、P的距离为4,那么折痕MN的长为0【答案】解：设 MN与OP交于点 巳点0、P的距离为4,0P = 4.折叠 MNXOP, EO=EP=2,在 RtAOME 中，ME= V?2 - ? 2 = 23在 RtAONE 中，NE=，？?- ? 2 = 逐MN = ME - NE = 2v3 -

18、 v5故答案为：26- v5【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键.7. （2019?静安区一模）如图，将矩形 ABCD ；2交BC于点F,连接AE.如果tan/DFC=京那么3BD百，点 A与点E重合，且ED?的值是 ?M3【答案】解：二四边形 ABCD是矩形， .BC=AD, /DAB = /C=90° , AD / BC,A与点E重合, ./ ADB = / DBC, 矩形ABCD沿对角线BD所在直线翻折后，点DE=AD, Z BED = Z DAB = 90° , /ADB = /BDE, ./ DBF =/ FDB,BF= DF

19、,EF= CF,. tan/ DFC = Z BFE= 2, 3 ,设 CD = BE=2x, CF=EF = 3x, BF=CF=，(2?2 + (3?f = v13x,BC= ( v13+3) x,BD=，？ ？= V26 + 6v13x,AE± BD,?' . AE= 2AH =2?'?=故答案为:?芯32?= 2?=? 2 ?BC上，将 ABP沿直线AP翻折，点B那么BP的长为竺或7【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.8. （2019?长宁区一模）如图，点 P在平行四边形 ABCD的边恰好落在边 AD的

20、垂直平分线上，如果 AB=5, AD = 8, tanB=3【答案】解：如图1,过A作AH，BC于H ,连接DB ',B 尸 -V C设BB'与AP交于E,AD的垂直平分线交 AD于M , BC于N ,? 4tanB=一.? 3'设 AH = 4x, BH = 3x,- AB= '?+ ? = 5x= 5,AH=4, BH = 3,将 ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线 MN上,.AB，=AB=5, AM = DM= 1aD=4, Z AMN = Z HNM = 90° ,，四边形 AHNM 是正方形，MB' = V? + ?

21、 = 3,-.HN = MN = 4, .BN=7, B' N=1,.BB' = M?+ ?，2s=?5v2,BE= 1BB '=好，. / BEP = / BNB' =90° , Z PBE = / B' BN,.BPEsBB' n,?=， ?5v2? c2一='5V27BN=7, BP=%NB= NB ,点N在BB'的垂直平分线上， 将 ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上, 点P也在BB'的垂直平分线上， 点P与N重合，BP= BN=7,综上所述，BP的长为一或7.7故答案为：型或7. 7

22、【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键.9. （2019?嘉定区一模）在 ABC 中，/ACB = 90° ,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,AC=3AE, / CDE= 45° （如图），4DCE沿直线DE翻折，翻折后的点 C落在 ABC内部的点F,直线AF与边BC相交于3点G,如果 BG = AE,那么tanB= .7【答案】解：如图, . Z ACB=90° , / CDE = 45° , ./ DEC = 45° AC= 3AE.设 AE = k=BG, AC=3k, (

23、kw0)EC= 2k,.折叠EF= EC=2k, /FED = /DEC = 45，/FEC = 90° ,且/ ACB=90°EF / BCAEFA ACG? ? 1一？亍? 3,-.GC = 3EF=6k,BC= BG+GC= 7k,1. tanB=? 3? 7故答案为：7【点睛】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的性质是本题的关键.10. （2019?宝山区一模）如图， RtABC 中，/ ACB = 90° , AC=4, BC=5,点 P 为 AC 上一点，将 BCP沿直线BP翻折，点C落在C'处，连接 AC&

24、#39;,若AC' / BC,那么CP的长为5【答案】解：过点 C'作C'DBC于点D, A'C / BC, / ACB=90° ,. C'AC = /ACB=90° ,且 C'DXBC,四边形C'DCA是矩形,CD=AC', C'D = AC=4,.折叠BC'=BC = 5, CP=C'P,在 RtABDC'43, BD=，?？'2?，2 =?3CD = BC- BD = 2AC'=2,在 RtAC'P 中，C'P2=C'A2+AP2,C

25、P2 =4+ （4 - CP） 2,CP= 52故答案为：52【点睛】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.311. （2019?普陀区一模）如图， ABC中，AB = AC=8, cosB= "点D在边BC上，将 ABD沿直线32AD翻折得到 AED,点B的对应点为点E, AE与边BC相交于点F,如果BD = 2,那么EF= .15-3. AB=AC=8, cosB= 7， 4，BH=6=CH, BC=12,由折叠可得，BD=DE = 2, /E = /ABC = /C, AB = AE=6,又. / AFC = /

26、 DFE ,AFCA DFE,? ? ? 1=-=-=-，? ? ? 4设 EF = x,则 CF = 4x, AF = 8 x,11- DF= 4AF=2- 4x， BD+DF+CF =BC,1 一2+2- 4x+4x=12, ef= 32.EF=丘一，一，32故答案为：15【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解.12. （2019?浦东新区一模）将矩形纸片ABCD沿直线AP折叠，使点 D落在原矩形 ABCD的边BC上.一 3?24的点e处，如果/ aed的余弦值为J那么乐?=行【答案】解：如图所示，由折叠可得，AP垂直平分DE, / ADP = /AEP=90° ,一一，3 / AED的余弦值为 5 .可设 EF=3a, AE=5a,贝U AD=BC=5a,. RtAE