浅谈逆向思维在数学中的应用

1、浅谈逆向思维在数学中的应用佛冈县第一中学数学科组 冯福成逆向思维在数学中的应用非常广泛，有些问题从正面分析较为困难时，可以考虑从反面用逆向思维来解决,因为正难则反,有时会收到意想不到的效果。我们先看一个例子：某单位有7个人参加乒乓球比赛，采取单淘汰制（即输一场就出局），决出冠军要打多少场比赛？如果是2003人呢？分析：如果是7个人，可以先抽出6个人，参加比赛，决出3人，还有一个人轮空；第二轮中共4人，要打两场比赛，决出2人进行决赛；第三轮是最后的两人决赛要打一场；一共要打3+2+1=6场球。如果是2003人，按同样的方法来统计，那么就麻烦了。我们能否用其它的办法来解决呢？如果用逆向思维来思考的

2、话，问题相对而言要简单多了。反过来分析这个问题，因为赛制是输一场出局，一共是7人，也就是要淘汰6人，所以要打6场球。同样的，2003人比赛，要淘汰2002人才能拿冠军，也就是说要打2002场球。如果是双淘汰制呢？这个问题留给读者思考。下面我们再看一个例子：某城市有一条街道，共有100盏编了号码的已经熄了的电灯，如果按下面的做法，最后亮着的灯应该是那几盏？第一轮，凡是号码是1的倍数的灯的开关按一下：第二轮，凡是2的倍数的电灯的开关按一下：第三轮，凡是3的倍数的电灯的开关按一下；。；第一百轮，凡是100的倍数的灯都按一下。分析：因为电灯开始是熄的，如果按奇数次开关，电灯就会亮，如果按偶数次的话，电

3、灯仍然是熄的。正面分析比较困难，如果我们能从反面来分析，问题将会容易点。倍数的反义词是约数，问题转化为问1至100的数中，有奇数个约数的数是什么数？我们先从简单的知识谈起，一般来说，一个数的约数是成双成对出现的，例如48=1*48=2*24=3*16=4*12=6*8，共有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48十个约数，但是，完全平方数就不同，例如64=1*64=2*32=4*16=8*8，共有1，2，4，8，16，32，64七个约数，本来约数是成对出现的，由于8*8是重复出现，合二为一，所以完全平方数只有奇数个约数，也就是说，最后是完全平方数的号码的灯是亮的，即第1，4，9，16，2

4、5，36，49，64，81，100号的电灯是亮的。一、逆向思维在反证法的应用从以上的例子可知，逆向思维在解题中占有很重要的作用和地位，是一个不可缺少的数学思想。其中，加法是减法的逆向运算，乘法是除法的逆向运算等等。在证明方面，反证法就是逆向思维的一种应用。反证法的证题的步骤可以分训三步；（1）反设：作出与求证的结论P相反的假设：（2）归缪：由反设出发，导出盾的结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从面证明了所求的结论P成立。例1、已知a,b,c都是奇数，证明：方程ax2+bx+c=0没有有理根。证明：假设原方程有有理根p/q,其中和不全是偶数，因为假设P为偶数，Q为奇数，a(p/q)2+b

5、(p/q)+c=0,ap2+bpq+cq2=0,由于ap2+bpq是偶数，cq2必是偶数，但这是不可能的，因为C，Q都是奇数，当P，Q都是奇数时，面最后的等式说明三个奇数的和是偶数，这是不可能。所以假设不成立，原方程没有有理根。例2、已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-c)b,(1-c)a不能都大于1/4。证明：假设(1-a)b,(1-c)b,(1-c)a都大于1/4，因为0<a<1，所以1-a>0,0<b<1(1-a)+b/2(1-a)b1/2>1/21-a+b>1, (1)1-b+c

6、>1 (2)1-c+a>1 (3)(1)+(2)+(3)得,3>3，矛盾，假设不成立(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于1/4。例3、证明：两个复数不能比较大小。证明：用反证法。如果0i，那么0*ii*I，则0-1，那么0+1-1+1，即10。这样就得出矛盾，假设不成立，所以两个复数不能比较大小。以上几个例子可知，逆向思维在解题中起到相当大的作用。二、逆向思维在排列组合的应用我们先了解对立事件的概念，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，两个事件必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。即P（）=1-P（A），有时我们计算P（A）困难时，可以通过计算P（）来求得。例4

7、、在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？分析：如果直接求解的话，要考虑的情况较多，在取得的3件产品中，满足条件的可能有1件，2件或者3件二级品三种情况。但如果从对立角度来分析，就只有一种情况：那就是没有二级品。解：P（A）=1- P（）=1-=。例5、某型号的高射炮，每一门发射1次击中飞机的概率为0.6，现有若干门同时独立地对来犯敌机各射击一次，要求击中敌机和概率主为99%，那么至少要配置这样的高射炮多少门？解：设A1表示“第1门射击命中”，A2表示“第2门射击命中”，An 表示“第n门射击命中”，用A表示“命中飞机这一事件”例6、一电路由电池A与两个并联的电池B和C串联而成。设A，B，C损坏的概率分别为.2,0.3,求电路发生间断的概率？解：高电池A，B，C正常的事件分为，电路正常的事件为B。答：电路发生间断的概率是0.328。 由上面几例题可知，逆向思维在概率中的应用还是相当的广泛，有时可以极大的减少运算量，是一个非常好的数学思想。三、在其它方面的应用在反函数的题目中，我们也经常会碰到用逆向思维来解题，将会省去很多不必要的运算，得高解题的效率。例7、给出函数 。分析：如果从正面去解答，那么就要先把反函数求出来，然后再把x=2代进去求值。从反面分析可得，原函数的自变量是反函数