2020高考数学试题汇编第一节平面向量的线性运算、平面向量基本定理理(含解析)

1、第一节 平面向量的线性运算、平面向量基本定理三珏白族析考情寻规律7考点一向量的线性运算及其几何意义考 向 聚 隹 J '、高考对本部分的考查较为重视，主要有两方面：(1)以平面图形为载体表达平面向量，借助向量表达数量关系与位置关系；(2)借助平面几何、解析几何等知识考查线性运算的法则及其几何意义.本部分常以客观题的形式出现，难度不大，所占分值为5分；(2)借助线训练题型：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行平面向量的线性运算 性运算的几何意义与其他知识相结合求模或参数问题1.(2012年全国大纲卷，理6,5分) ABC中,AB边的高为CD,若EB=a,OA=b,a - b=0,|a

2、|=1,|b|=2,则4D 等于()(A) =a- =b (B)三a-力©产产(D)_a-_b解析:.- a - b=0,. . a± b./ACB=90，如图.又间二1,|b|=2,12- t tan / BAC=, - cos / BAC=._ _ 4|AD|=|AC| - cos / BAC=. |AD|= ;|AB|,，而4而=(色-扇)=*a-b). a 55答案:D.2.(2012年辽宁卷，理3,5分)已知两个非零向量 a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )(A)a / b (B)a J_ b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:|

3、a+b|=|a-b|,(a+b)=(a-b),2a - b=-2a - b,a b=0,所以 a，b.故选 B.答案:B.3.（2011年四川卷，理4）如图，正六边形ABCDE冲出乂 等于（）(A)0(B) BE(C) AD (D) CF解析：BA +CD +EF=IE +EF +CD =DF+CR =CD 力F£F,故选 D.答案:D.4.（2011年浙江卷，理14）若平面向量a ,3满足| a |=1,| 3|W1,且以向量a , 3为邻边的平行四边形的面积为则”与3的夹角0的取值范围是 .匿I解析：由已知得平行四边形的面积 S=| a I - I 3 |sin 9：.£

4、;1o1,i I a 1=1, ： sin 0又| 3 | wi, /.sin e 鼎噌，一IT又: 0< 9 < 71 , .1.7< 9 < .5.（2011年重庆卷，理12）已知单位向量 ei,e2的夹角为60 ° ,则|2e i-e 2|=解析：|2e i-e 2尸，义二 l . =/口4 双；=二.答案：二6.（2011年湖南卷，理14）在边长为1的正三角形ABC中，设后二田。忌=6 ,则易晶=.-i 解析：令 BA=a, BC=b,则易 BE=（加点）（BC+扇）=（；Bd/M） - （BC+74）=Qb-a） - b+|（a-b）=（=b-a）

5、（za+zb）=zb2-a2-z：a - b111 1 1=- x 1-JX 1-X 1 X 1 X-=-J.答案:-二考点二共线向量考 向 聚 隹 J '、共线向量是很重要的概念之一，高考对共线向量的考查主要有两个方面：(1)两个向量共线的充要条件或以向量为载体求参数的值；(2)多与坐标运算相结合命题主要考查共线向量的判断和应用，难度不大，多以客观题为主，所占分值为5分左右7.(2012年四川卷，理7,5分)设a、b都是非零向量.下列四个条件中，嘴言成立的充分条件是()(A)a=-b (B)a / b(C)a=2b (D)a / b 且回=|b|解析：由崇二"可知,a与b是

6、共线向量,且方向相同,.由a=2b可推出a与b是共线向量且方向相同,且忸|=2|b|,.由a=2b可推出f吟，.a=2b是含=土的充分条件.故选C. I 口 I 。答案C空点评 本题考查共线向量的定义中，两向量可同向也可反向，同时考查充分条件、必要条件等概念，属中档题.8.(2012年浙江卷，理5,5分)设a,b是两个非零向量()(A)若|a+b|=|a|-|b|, 则 ab(B)若 a, b,则|a+b|=|a|-|b|(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数入，使得b=入a(D)若存在实数入，使得b=入a,则|a+b|=|a|-|b|解析：对于两非零向量，当|a+b|=|a|-|b|

7、 时，向量a与b共线，且a的模大于b的模，选C.答案C9.(2011年山东卷，理12)设Ai,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若收且.入 月虱入£ R), 41金产科4TAM科£ R),且工+22,则称A,A4调和分割A,A2.已知平面上的点 C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是()(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段 AB的中点(C)C,D可能同时在线段 AB上(D)C,D不可能同时在线段 AB的延长线上解析：因为平面上的点C,D调和分割点A,B,则由条件知£?=入赢(入C R),屁一源(科 R),且 + =2.A 口对A:若C

8、为线段AB的中点，则入金,所以工=0,显然不存在科,所以A是错误的,同理B也是错 3 肛误的；对C:若C、D同时在线段AB上，则0入1,0厂1,所以三卫2,不符合条件；A u对D:若C、D同时在线段 AB延长线上，则入1,科1,与+=2矛盾，故不可能，故选D.答案:D.考点二平面向量基本定理的应用考 向 聚 隹 J '、高考对平面向量基本定理的考查比较全面，主要体现在:(1)以平面向量基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)平面向量基本定理多与向量的数量积、坐标运算相结合，通常以三角形或四边形为载体命题，难度不大，主要以客观题为主，所占分值约为5分10.(2010年大纲全国卷H

9、 ，理8)AABC，点D在边AB上,CD平分/ ACB.若r ttCS=a, Cj4=b,|a|=1,|b|=2,则CD 等于()(A) =a+；b (B)三a+b(C) a+ b (D) a+ b解析：如图，.CD平分/ ACB,AC 4P 二 -一一又:一 =a,=b,|a|=1,|b|二2,=2,-,-=-+-：=a+:_ )=a+ (b-a)=a+ (- i-亭中故选B.答案:B.11.（2011年陕西卷，理18）叙述并证明余弦定理.解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在 ABC中,a,b,c 分别为角A,B,C的对边，有a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.证明如下：法一：如图,T Ta2=BC - EC=(AC-AB) (4C-4H)=邓:12#K： ._+.-._T * f TT 3=AC -2| AC - p4B|cos A+ AB =b2-2bccos A+c 2, 即 a2=b2+c2-2bccos A.同理可证 b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C.法二：已知 ABC中角A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角 坐标系(如图)，则