(完整版)初中数学思想方法大全

1、初中数学思想方法大全教学的本质到底是什么？很显然，教学最本质的东西就是传授知识，提高素质，培养能力。那么，数学教学的本质又是什么呢？众所周知： “数学是思维的体操。 ”数学思想方法是数学的精髓，它是数学中最本质最有价值的东西。它是知识转化为能力的桥梁。所以从某种意义上说，数学教学的本质就是数学思想方法的教学，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，更应重视数学思想方法的参透，注意对学生进行数学思想方法的培养。一、数学思想方法是什么？数学思想方法是什么呢？其实它包换两个方面，即思想和方法。所谓数学思想，是指人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数

2、学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是用数学解决问题的指导思想，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，则是在数学提出问题、解决问题 （包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响, 使学生终生受益。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思

3、考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到至关重要的作用。二、初中阶段主要的数学思想方法有哪些？纵观初中新课标教材，涉及到的数学思想方法大体可分为三种类型。第一类 是技巧型思想方法（也称低层次数学思想方法），包括消元、降次、换元、配方、 待定系数法等，这类方法具有一定的操作步骤。比较容易为学生所接受。第二类 是逻辑型的思想方法（也称较高层次数学思想方法），包括类比、抽象、概括、 归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法等，这类方法都具有确定的逻辑 结构，是普通适用的逻辑推理论证模型。第三类是宏观型思想方法（也称高层次 数学思想方法），主要包括

4、用字母表示数、数形结合、分类讨论、归纳猜想、化 归转换、数学模型等，这类方法较多地带有思想观点的属性，揭示数学发展中极 其普遍的方法，对数学发展起导向功能。学生较难领悟，需要教师在平时的教学 中反复渗透。用图框表示是：（一）、宏观型思想方法1 .化归转化思想方法不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成 某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露 出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对

5、象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。（ 1） 、转化与化归的原则：熟悉化原则：即陌生问题-熟悉问题，就是常说的通过旧知解决新知简单化原则：即复杂问题-简单问题具体化原则：即抽象问题-具体问题或直观问题极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、 式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决

6、问题的方法。（ 2）转化与化归的主要途径有：正与反、一般与特殊的转化；常量与变量的转化；数与形的转化。有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，实现转化；数学各分支之间的转化；相等与不相等之间的转化；实际问题与数学模型的转化.利用“换元”、“画辅助线”、“消元法”、“配方法”，进行构造 变形实现转化。3） 转化与化归的应用举例：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法 （除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值； 单项式乘单项式可化归为有理数乘

7、法和同底数哥的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有 理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成 分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的 分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形 式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把 一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程 组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数

8、范围内二次三 项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和 判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、 特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相 似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形等。例1如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为 7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B,他共走了8米思路和解答 假设拖把白宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推， 那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖 1 itf的场地相当于那人向前走了 1 米，整块场地面积是7X 8=56 (

9、itf),所以那人从A走到B共走了 56米，这样我 们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。下面是一个化几何问题为代数问题的例题例2如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为 1,则这个矩形色块图的面积为.思路和解答 设次小正方形边长为x,则其余正方形的边长依次1+x,2+x,3+x, 根据题意得：(2+x+3+x) (3+x+x)-【(3+x) 2 + (2+x)之+ (1+x) 2 +2x2 J =1,解得x=4.所以矩形色块图的面积为13X 11 = 143.注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的 死胡同，

10、从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而 求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想 . 2.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问 题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数形本是相倚依，怎能分作两 边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事休。这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。（ 1）数形结合的主要途径：形转化为数：用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数

11、问题.数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.（ 2）数形结合的应用举例：应用：A利用数轴确定实数的范围；B几何图形与代数恒等式（或不等式）； C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用；D利用函数图像解决方程、不等式问题；E数与形相结合在函数中的应用；F构造几何图形解决代数问题例如：在数轴上表示数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）；在数轴上表示不等式的解集；代数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系，从

12、而具备了数形转化的重要工具；从解析式和图像两个方面来研究函数，能更清晰地把握函数的性质；用图像解决代数问题如解不等式、解方程和用代数解决几何问题如通过解析式确定抛物线的对称轴、开口方向等） ； 运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。数轴上的点与实数的一一对应的关系。平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。函数式与图像之间的关系。线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是 用代数方法解决几何问题。“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、 圆与圆的位置关

13、系等都是化为数量关系来处理的。统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是 通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数 的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。例1、二元一次方程组的解的意义：二元一次方程组a1x b1y G 0的解有三种情况： a2x b2y c2 0无解；无数个解； 只有一个解。这三种情况可以转化为两条直线 aix+by+Ci=O、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系： 平行；重合； 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当ai： a2=bi：b2#ci： C2时，两条直线的斜率相同，y轴上

14、的截距不同。此时两条直线平行，无 交点，因而方程组无解。当 ai： a2=bi： b2=ci： C2时，两条直线的斜率相同，y轴 上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当ai： a2#bi： b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点， 因而方程组只有一个解。例r2x+y+3=0 ,方程组无解。直线 2x+y+3=0、4x+2y+i=0的位置关系：平行 4x+2y+1=02x y 1 0,方程组只有一个解。直线2x+y+i=0、x+2y=0的位置关系：相交。 x 2y 02x 4y 0,方程组有无数个解。两直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系

15、：重合。x 2y 0例2、图形隐含条件:例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：: b0 , c c , a b , | c | | a | .a-b0, b- c0, a+c0。| a - b | - | b - c | + 2 | a + c | = (a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2bc o例3、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？II1k11 r 4 二V _ h . Ki T*对于这一问题学生往往采取实验的方法， 这里裁一刀，那里试一剪，但却极 少有人能

16、在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知 到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西一一面积，若设小正方形的面 积为1,则其边长就是1,大正方形的变长是2,新大正方形的边长为 J5 ,这 样一来，我们仅需沿着图4中边长为J5的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的 线段没有几条，于是很快就能找到答案。3.分类讨论的思想和方法由于数学研究对象的属性不同，或者由于在研究问题过程中出现了不同情况 从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是把问 题“分而治之，各个击破”。是一种逻辑划分的思想。从思维策略上看，它是把要 解决的数学问题，分解成可能的各个部分，从而

17、使复杂问题简单化，使“大”问题 转化为“小”问题 , 便于求解。（ 1）分类的要点方法：分类是按一定的标准进行的，分类的标准不同，分类的结果也不相同；要注意分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复；分类要逐级逐次地进行，不能越级化分。（ 2）分类讨论的步骤同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类, 是分类讨论中的核心步骤 , 解题中 , 分类讨论一般分为四步：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准, 合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论.（ 3）分类思想应用举例：应用：A对问题的题设条件需分类讨论；B对求解过程中不便统一表述的问 题进行分类讨论；C

18、从图像中获取信息进行分类讨论；D对图形的位置、类型的 分类讨论；E对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论。例子 : 有理数的分类；绝对值的讨论；有理数的加法法则、乘法法则、有理数乘法的符号法则、乘方的符号法则；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数、0、负数分类；按定义或按大小对实数进行分类；例 1 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也就是:|a| = 然 a = 0 ）-a （ a0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，

19、应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式 中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y=无+的值域时，易发 现x60,1,设乂 = 5访2% , a 0,-,问题变成了熟悉的求三角函数值域。 为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2 + y 2= r2 (r0 )时，则可作三角代换x = rcos 8、y=rsin0化为三角问题。均值换元，如遇到乂+丫=$形式时，设x=S + t, y=|-t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围

20、，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和 6 0, -o如：解可化为一元二次方程的分式方程、分式方程组；二次三项式的因式分解；例 1 分解因式(x2-3x+2) (x2-3x-4)-72分析：注意题目的形式特征，把某一部分(比如x2-3x+2)看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如x2+px+q的二次三项式，进一步用十字相乘法，最 后注意分解要彻底。设 x2-3x+2=t 则(x2-3x+2) (x2-3x-4)-72=t(t-6 ) -72=t 2-6t-72= (t+6) (t-12 )=(x 2-3x+2+6) (x2-3x+2-12)=(x2-3x+8) (x2-3x-10 )=

21、(x2-3x+8) (x-5) (x+2).如果把(x2-3x+2)与(x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解 就困难了。例 2 解方程 3x2-6x-2 0x 2x 4 +4=0分析：如果先移项，两边平方，方程变形为一个四次方程，题目就难解了注意到收 2x 4, 3 (x2-2x),设 2x 4为y,原方程变形为3y2-2y-8=0,再从中解 得y回代得x9 . 待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称

22、为待定系数法。要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x) 的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a) g(a) ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几

23、何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程; 利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的 形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或 方程组；最后解所得的方程或方

24、程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经 明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。求函数解析式的重要方法（据已知自变量和函数值或者点的坐标来确定函数 的解析式）；10 .特殊化方法在探索某问题的过程中，先抛开其一般的情形，而抓住其个别的、局部的特殊情 形，并通过对特殊情形（如图形的特殊位置，度量的特殊值或图形的特殊形状等） 的研究洞察出一般情形所具有的性质，进而达到发现或验证待求结果，或者发现 或验证解题方法的目的的一种思维方法。这种方法主要依据的是一般规律蕴含于特殊情形之中，特殊情形是一般规律的外在形态，因而对于一个问题，当探索其一般性结论较为困难时，可先研究其特殊 情形，再推到一般。应用

25、：A运用取“特殊值”或“特殊位置”的方法发现结论:B由特殊图形推广到一般图形寻求规律。特殊值法和辅助线的添加11 .几何变换法平移、旋转变换，轴对称，相似变换在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。 有一些看来很难甚至于无法下手的习 题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点 渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起 来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。12 .

26、面积法几何中的面积公式以及由面积公式推出的面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积法。它是几何中的一种 常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在于如何添加适当的辅助线。面积法 的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所 以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算， 有时可以不添辅助线，即使需要添辅助线，也很容易想到。应用：利用面积法求线段的长；利用面积法证线段等式；利用面积法证线段不等式；利用面积法求线段的比13 .割补法、分解

27、组合思想能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样 的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、日卜拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，卜、 并运用公式、定理来加以解决。xw1、因式分解：2222x 2xy y a 2ab b ；2、将两块三角板如图放置，其中C EDB 90 , A 45 , E 30 , 求重叠部分的面积。AB DE 6,14. 分解图形法复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可以将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简化。15. 定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来

28、。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。16. 公式法17. 比较法比差法；比商法18. 构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素， 它可以是一个图形、一个方程 （ 组 ） 、 一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问

29、题的解决。19. 判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、c属于R, a#0）根的判别， =b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（ 组 ） ，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。20. 逆向变换的方法例如 : 公式和法则的逆向运用；21. 参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变