初中数学竞赛定理大全教程文件

1、欧拉（Euler）线:同一三角形的 垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角 形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。欧拉塞、九点圆：任意三角形三边的 中点，二高的垂足及三顶点 与 点共圆，这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点， 的T。1小心外心重心重心垂心 2.00缰米4。屋茨垂心间线段的中点，共九个其半径等于三角形外接圆半径洸OA = 1.07厘米OB = Z07厘米/0（ = 243 厘米JBD = 4.87 厘米BPC =凶 CPA = ?20= APB = 12TBE-CE+AE”5,厘出AB = 4 00题米BC - 6.09圉米

2、CA = 5.00 (AB + BC + CA) = 7.54 摩米p = 7 54厘点二 9鸟壁#AD = 3.27 屋/p(p-AB)(p-BC)(p-CA) =匿繁费尔马点:已知P为锐角4ABC内一点，当/APB= Z BPC= / CP七120 时,PA+ PB+ PC的值最小，这个点P称为 ABC的费尔马点。BE = 3 &5厘乘CE = 5,00座恭 AE = 3.08 厘技 BF = 493厘米 8 = 363摩米 AF = 233鼠族海伦（Heron）公式：1在AABC中，边SC、CA. AB的长分别为3b, c,若p = , (a I b I c) ,则为BC的面积S

3、Jp (p-a) (p b) (p-c)塞瓦（Cevaj）定理:在 ABC中，过 ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边 BG CA AB 与点 D、E、F,则（BD/DC） （CE/EA） （AF/FB）= 1;其逆亦真密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形，它们是 ABF、AAECX BCE ADCF, 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。葛尔冈U ( Gergonne)点: ABC的内切圆分别切边 AB、BG CA于点D、E、F, 则AE、BF CD三线共点，这个点称为葛尔丽二一西摩松（Simson）

4、 线：已知P为 ABC外接圆周上任意一点，PD± BC, PUACPiaAB, D、E、F为垂足，则D、E F三点共线，这条直线叫做 西摩松线。把一条线段（AB讲成两条线段，使其中较大的线段（AC诞原线段（AB）与较小线段（BCH勺比例中项，这样的分割称为 黄金分割。AD = 14.。厘米c/八 CB AB = 14.0 匣米帕普斯（Pappus） 定理：已知点Ai、A2、A3在直线11上，已知点Bi、B2、B3在直线12上，且Ai B2与A2 Bi交于点X, A1B3与A3 Bi交于点Y, A B3于A3B2交于点Z,则X、Y、Z三点共线。笛沙格（DesargueS）定理：已知在

5、ABC与ABC'中，AA'、BB'、CC三线相交于点 O,BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点 X、Y、Z,则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知4ABC三内角的三等分线中，分别与BG CA AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则4DEF是正三角形，这个正三角形称为 摩莱三角形。DE = 324厘米EF = 1.24 建米FD = L24厘米帕斯卡（Paskal） 定理：已知圆内接六边形 ABCDEF勺边AB、DE延长线交于点G,边BC EF延长线 交于点H,边CD FA延长

6、线交于点K,则H、G、K三点共线。托勒密（Ptolemy） 定理：在圆内接四边形中，AB - CD+ AD - BC= AC- BD（任意四边形都可！哇哈哈）斯图尔特（Stewart） 定理：AB CD + DA-BC = 37.33 厘米AC-DB = 37.33 圉於设P为 ABC边BC上一点，且BP: PC= n： m,则m (AB2)+n (AC2)=m (BP2)+n (PC2)+ (m + n) (AP2)梅内劳斯定理:在 ABC中，若在BC CA ab或其延长线上被同一条直线截于点 X 丫、z 则(BX/XC). (CY/YA) (AZ/ZB)=1阿波罗尼斯（Apollons）圆

7、动点p与两定点A b的距离之比等于定比 m：n，则点p的轨迹，是以BX /CY ) ZAZ XC'(=BX =74 建米XC = 4.3/里水CY= 1,16 里米YA =5 72维养AZ = 463厘米ZB = 2 6工壁岩PC AB2 + BP AC2 = 310 87 厚於PC BP2 - BP PC2 + (BP + PQ AP2 = 310 87 厚却BP = 3 09幅考PC = 4.35屋木AB = 4 57瓯狗AP = 4.75度9定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为 皿波 I I I I I罗尼斯圆，简称“阿氏圆”0布拉美古塔(Brahm

8、agupta)定理：在圆内接四边形 abcd中，AC，BD，自对角线的交点 p向一边作垂线,其延长线必平分对边。广勾股定理：在任一三角形中,(1)锐角对边的平方,等于两夹边之平方和,减去某夹边和另一夹边在 此边上的影射乘积的两倍.(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在 此边延长上的影射乘积的两倍.加法原理：做一件事情，完成它有 N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有 M2种不同的方法，在第 N类办法中有 M(N)种不同的 方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ +M(N)种不同的方法。比如说：从 北京到上海 有3种方法可以直接到达上海，1:火车k

9、i2：飞机k23：轮船k3,那么从北京-上海的方法 n = k i+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤,做第一 步有ml种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1 m2- m3mn种不同的方法.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径)这一定理对于任意三角形 ABC都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R( R为三角形外接圆半径)余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们

10、夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c三角为A,B,C ,则满足性质：a2=b2+c2-2bc , Cos Ab2=a2+c2-2ac , Cos Bc2=a2+b2-2ab , Cos CCos C= (a 2+b2-c 2)/2abCos B= (a 2+c2-b 2)/2acCos A= (c A2+b'2-a ")/2bc解析几何中的基本公式1、两点间距离：若 A(xi,yi),B(X2,y2),则 AB 7(x2 Xi)2 (y2 yi)22、平行线间距离：若li： Ax By Ci0,I2 : Ax By C23、4、则：dCiC2A注意点：x,2 B2y对应

11、项系数应相等。点到直线的距离：P（x ,y ）, l :贝U P至I l的距离为:直线与圆锥曲线相交的弦长公式:消 y ： ax2 bx c 0 ,AxBy C 0Ax By C,A2 B2y kx bF(x,y) 0务必注意 0.若l与曲线交于A（x/yj B（x2，y2）则：AB J(i k2)(x2 xi)25、若 A(xi,yi), B(x2,y2), P (x,y）o P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为xiiyiix2y2，特别地：=i时，P为AB中点且变形后:土或x2 xyyi、2yxiyix22y226、若直线li的斜率为ki,直线l2的斜率为k2,则li到l2的角为，

12、(0,适用范围：ki, k2都存在且kik2 i ,tank2kii k1k2若li与l2的夹角为，则tankik2i k1k2注意：（i） li到l2的角，指从li按逆时针方向旋转到l2所成的角,范围（0,）11到12的夹角：指11、12相交所成的锐角或直角11 12时，夹角、到角=2(3)当11与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。7、(D倾斜角(0,)；(2)a,b夹角，0,；(3)直线1与平面的夹角0，2 ；(4)11与12的夹角为0,其中11/12时夹角 =0；2(5)而角,(Q(6)11到12的角,(0,2;UL.8、直线的倾斜角与斜率k的关系a)每一条直线都有倾斜角，但

13、不一定有斜率。b)若直线存在斜率k,而倾斜角为，则k=tan9、直线11与直线12的的平行与垂直(1)若11, 12均存在斜率且不重合：11/1 2k1=k2 1i 12k1k2=-1(2)若 1i： AiX By Ci 0,12 : A2X B2y C2 0若Ai、A2、Bi、B2都不为零 11/123 且CL；A2B2 C2 1112A1A2+BiB2=0；11与12相交ABiA2B2ll与l2重合A,A2BiB2注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母二0与0的情况10、直线方程的五种形式名称斜截式：点斜式：y y k(x x)方程y=kx+by y k(x x)江忠点应分斜率不存在

14、斜率存在(1)斜率不存在：x x(2 )斜率存在时为两点式:yyix x1x2 x1截距式：x y 1ab以又式:AxBy C0yi其中l交x轴于(a,0),交y轴于(0,b)当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：(1)截距=0 设y=kx(2 )截距二a 0 设?x y 1 a a即 x+y=a(其中A、B不同时为零)11、直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2r2的位置关系有三种Aa Bb Ci， d rA2 B2相离d r 相切 0相交13、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义I:若Fi, F2是两定点，P为动点，且PFi PF2 2a F1F2 （a为常数）则P点的

15、轨迹是椭圆。定义H:若Fi为定点，l为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线l的距离 之比为常数e （0<e<1）,则P点的轨迹是椭圆。2 a准线方程：x22标准方程：_ yL i a b(a b 0)定义域：x| a x a值域：x b y b长轴长=2a,短轴长=2b2PFi| e(x/，a2PF2e(T x)，PF1 2a PF2焦距：2ca c PF1 a c等(注意涉及焦半径用点P坐标表小，第一定 义。)注意：(1)图中线段的几何特征：A1F1A2F2a c, A1F2A2F1a cBi Fi|BiF2B2F2B2F1Ia ,A2B2A1B2 v'a2 b2 等等。

16、顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a, b,c有关。(2)PF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段PFi、PF2、2c,有关角 F1PF2结合起来，建立 PFi + PF2I、PFi ?|PF2等关系(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:x acos y bsin(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴 上时，其相应的性质。二、双曲线(一)定义：I 若 Fi, F2 是两定点，|PFi| PF2I 2a IF1F2 (a 为常数)，则动点P的轨迹是双曲线。II若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e (e>1),则 动点P的轨迹是双曲线。(二

17、)图形:方程:1 (a0,b0)2 y -2 ab21 (a0,b 0)定义域：xx a或x a； 值域为R;实轴长=2a,虚轴长=2b焦距：2c2准线方程：x cPFie(x),PF2 e(x)2a；注意：(1)图中线段的几何特征： AF1 BF2 c a, AF2BF1 a c2顶点到准线的距离：a a-或a c2 a 一；c焦点到准线的距离：2ac 或cc2；两准线间的距离 c2a22(2)若双曲线方程为三 a2 y b2渐近线方程:2 x-2 aby -xa若渐近线方程为y2 y b22222若双曲线与。、1有公共渐近线，可设为。4 a2 b2a2 b2(0,焦点在x轴上， 0,焦点在y轴上)(3)特别地当a b时离心率e 氏两渐近线互相垂直，分别为y= x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为 x2 y2;(4)注意 PF1F2中结合定义|PFi| |PFz| 2a与余弦定理cos F1PF2,将有关线段PF1、 PF2、 F1F2和角结合起来。、抛物线(一)定义：到定点F与定直