2019年湖南省常德市中考数学试卷

1、2019年湖南省常德市初中毕业、升学考试一、选择题：本大题共1. （2019湖南省常德市,A. （-1, -2）【答案】B2. （2019湖南省常德市,B.3. （2019湖南省常德市,数学学科（满分150分，考试时间120分钟）8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内.1, B.2,173,3分）点（1, 2）关于原点的对称点坐标是（(1, -2)C. (1, 2)D. (2, 1)3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（C. 3.110D.33分）下列运算正确的是（B. .12, =3 .2C. J( 2)2 =- 2【解析】A选项 褥+ J4=J3 +

2、2, A选项错误；B选项v12= 2 73 ,B选项错误；C选项J（2）2= " = 2,C选项错误；D选项及二±=叵,D选项正确. ,633【知识点】有理数运算4. （2019湖南省常德市，4, 3分）某公司全体职工的月工资如下:月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1 （总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为 2000,中位数为2250,平均数为3115,极差为16800,公司的普通员工最关注的数 据是（）A.中位数和众数B.平均数和众数C.平均数和中位数D,平均数和极差【答案】A【解析

3、】因为中位数和众数最能代表公司的普通员工的工资水平，故此普通员工最关注的应为中位数和众数，因此选项A正确.【知识点】数据的收集与整理；众数；中位数；平均数；极差5. （2019湖南省常德市，5, 3分）图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）【答案】C【解析】 根据左视图是从左向右看得到的视图，可知选项C正确.【知识点】三视图6. （2019湖南省常德市，6, 3分）小明网购了一本 好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜.甲说：“至少15元乙说“至多12元丙说“至多10元小明说：“你们三个人都说错了. ”则这本书的价格x （元）所在的范围为（）A. 10VXV12B.

4、 12<x< 15C. 10<x< 15D. 11 <x< 14【答案】B【解析】 根据甲 “至少15元错误，可知xv 15,乙 “至多12元错误，可知x> 12,丙“至多10元 错误，可知x>10,所以x的取值范围为12vx<15,故选项B正确.【知识点】解不等式组7. （2019湖南省常德市，7, 3分）如图，在等腰三角形 ABC中，AB= AC,图中所有三角形均相似，其中最小 的三角形的面积为 1, ABC的面积为42,则四边形 DBCE的面积是（）A. 20B. 22C. 24D. 26A【答案】D【解析】二图中所有三角形均相似，

5、其中最小的三角形的面积为 1, ABC的面积为42, 最小的三角形与 ABC的相似比为AD®AABC：, - -SVDE2DE，:匹=4x，=工，= 16 =旦, BCBC42 . 42Svabc 42 218 S>aade=X 42= 16, .四边形 DBCE的面积=S>aabc Sade= 26,故选项 D 正确. 21【知识点】相似三角形的性质8. （2019 湖南省常德市，8, 3 分）观察下列等式：70= 1, 71 = 7 , 72 = 49 , 73 = 343 , 74 = 2401, 75= 16807, 根据其中的规律可得 70 + 71+ 7201

6、9的结果的个位数字是（）A. 0B. 1C. 7D. 8【答案】C【思路分析】 观察已知各等式，找出个位数字的变化规律，用2019除以变化周期，利用所得余数即可求得最后的个位数字.【解题过程】 根据70= 1, 71 = 7 , 72 = 49 , 73 = 343 , 74= 2401, 75= 168 07,可知个位数字的变化周期为4,且每有一个周期，相邻的四个数和的个位数字为0. 2019+4的余数为3,则相邻的3个数的和的个位数字为 1,7, 9,故70+71+ 72019的结果的个位数字是 7,故选项C正确.【知识点】有理数运算；数字变化规律二、填空题：本大题共 8小题，每小题3分，

7、共24分.不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上.9. （2019湖南省常德市，9, 3分） 数轴上表示一3的点到原点的距离是【答案】3【解析】根据数轴上表示一个点到原点的距离，是指表示这个数的点与原点的线段的长度，可知一3的点到原点的距离是3.【知识点】数轴10. （2019湖南省常德市，10, 3分）不等式3x+1>2（x+ 4）的解为【答案】x> 7【解析】去括号 3x+1>2x+ 8,移项得3x- 2x> 81,整理得x>7.【知识点】解次不等式11. （2019湖南省常德市，11, 3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他

8、们的平均成绩都是89.7,方差分别是S2 = 2.83, S2 = 1.71 , Sw = 3.52，你认为适合参加决赛的选手是【答案】乙【解析】 平均成绩相同，方差越小成绩越稳定，乙选手方差最小，故选择乙选手参加决赛【知识点】方差；平均数已知1纳米=0.000 00012. （2019湖南省常德市，12, 3分）国产手机芯片麒麟 980是全球首个7纳米制程芯片，米.001米，将7纳米用科学记数法表示为 【答案】7X10-9【解析】7纳米=0.000 000 007米=7X 10-9米【知识点】科学记数法13. （2019湖南省常德市，13, 3分）次方程组x2xy 6 y 6的解为y 7.

9、. x【解析】2xy 6y 6得x= 1,将x= 1代入得,y 7xy=5, .方程组的解为xy【知识点】解二元一次方程组14. （2019湖南省常德市，14, 3分）如图， ABC是等腰三角形， AB= AC, / BAC= 45，点D在AC边上，将 ABD绕点A逆时针旋转45°得到 ACD',且点D'、D、B三点在同一直线上，则/ABD的度数是二【答案】22.5°【解题过程】 根据题意可知 ABDACD',BAC= / CAD'=45° , AD'=AD,ADD' = / AD'D =180 45-80=

10、67.5 , D、D、B 三点在同一直线上，./ ABD= / ADD / BAC= 22.5 .2【知识点】等腰三角形的性质；旋转15. （2019湖南省常德市，15, 3分） 若x2 + x=1,则3x4+3x2+3x+ 1的值为.【答案】4【思路分析】 将3x4+3x2+3x+1利用分组分解方法，化为 x2+x的形式，然后把 x2 + x= 1整体代入即可.【解题过程】 解：原式=3x4+3x2+3x+ 1 =3x2（x2+x） + 3x+ 1 = 3x2+3x+ 1 = 3（x2+x）+1 = 4.【知识点】代数式求值；整体思想16. （2019湖南省常德市，16, 3分）规定：如果一

11、个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广 义菱形.根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若 M、N的坐标分别为（0, 1）, （0, 1）, P是二次1c函数v= 1x2的图象上在第一象限内的任意一点， PQ垂直直线y=- 1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其 4中正确的是.（填序号）【答案】【思路分析】 根据广义菱形的定义， 逐一判断4个选项中的图形是否满足一组对边平行，一组邻边相等，满足条 件的四边形即为广义菱形，不满足条件的四边形就不是广义菱形.121212.,-m + 1, PQ=

12、 m ( 1)= - m +1,【解题过程】 正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故正确；平行四边形虽然满 足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别 相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；中的四边形PMNQ满足 MN/PQ,设 P（m, 0） （m>0）, . PM= jm2 （lm2 1）2，PM=PQ,故四边形PMNQ是广义菱形.综上所述正确的是. 【知识点】二次函数；新定义三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17. （2019 湖南省常德市，18 题，5 分）计

13、算：6sin45° +| 2 万7| 2 + （2019 底2019 ） 0【思路分析】 本题考查了零次哥的意义、乘方、绝对值以及三角函数，关键是掌握基本的运算法则.根据零指数 哥、乘方、绝对值、特殊角三角函数值分别进行计算，然后再进行有理数的加减.【解题过程】原式=6 e+7-2 点8+1= &2【知识点】 零指数哥；哥的乘方；绝对值；特殊角的三角函数值；实数的四则运算218. （2019湖南省常德市，18题，5分）解万程：x 3x -2=03172【思路分析】 此题主要考查的是一元二次方程的解法，用公式法解方程，找准a、b、c.22317【斛题过程】斛：x3x 2= 0,

14、. a= 1,b= - 3,c= 2,. . =b4ac = 17, X1 ,X22【知识点】根的判别式；一元二次方程的解法；求根公式；四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 2.x 1 x 3 2x x 119. （2019湖南省常德市，19题，6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（吾今二）+ （2 x 1x x x 1x x1） .【思路分析】 此题主要考查的是分式的化简求值，根据运算顺序，先算括号里的，再算乘除.22【解题过程】解：原式=x x 32x x 1 x x)- 2x x 1 x 1x x1161取x= 3代入2中，得原式=x 1【知识点】分式的通分和约分；分式的除

15、法;k20. (2019湖南省常德市，20题，6分)如图4, 一次函数y= x+3的图像与反比例函数 y=- ( 口 0)在第一象 x限的图像交于 A (1, a)和B两点，与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P在x轴上，且 APC的面积为5,求点P的坐标.【思路分析】本题考查了反比例函数解析式的确定、一次函数与反比例函数的图像及性质等知识.一、 ,一一.,k 一_ .一 (1)根据A (1, a)在y= x+3上，代入可以求出 a,然后再把点 A (1, a)代入到y=即可求出反比例函数 x解析式；(2)因为由(1)已经求出a值，这样就知道 APC的高，由一次函数解析式可以

16、求出C点的坐标，利用面积公式可以求出底边PC长，这样就可以求出点 P的坐标.一.-一一,一一一.、 k > _【解题过程】(1) ,A (1)a)在y= x+3a= 1+3=2,把A (1)2)代入到y=-中,得k=2).反比例 x函数解析式为y=2;(2) P 在x 轴上，设 P (m,0),SVAPC =PC- a, z. 5=- -PC-2,.PC= 5,，x22y= -x+3 中当 y=0 时 x=3,. C (3, 0),m 3= 5 或 3m = 5 ,即 m = 8 或一2, ,点 P 的坐标为(8, 0) 或(2, 0)【知识点】一次函数与反比例函数的解析式；三角形的面积

17、；坐标轴上两点间的距离；五、(本大题2个小题，每小题7分，满分14分)21. (2019湖南省常德市，21题，7分)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图5所示，解答下列问题：(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.(1)由图象可以看【思路分析】 本题主要考查了一次函数解析式的确定，以及结合图象比较两个函数值的大小.出甲是正比例函数，所以只需将(5, 100)代入y=kx就可求出k,从而得到函数解析式，乙是一次函数，经过(0, 100)和(20, 300)代入y

18、=k1x+b1可以求出解析式；(2)求出两个函数的交点 B的横坐标，然后通过图象可以得出当0VXVXB时，y甲vy乙和当x>xb时，丫甲>丫乙，从而判断出选择哪种消费卡合算.【解题过程】（1）设丫甲=奴，把（5, 100）代入得 100 = 5k,k= 20, ，y 甲= 20x;设 yz=kix+bi,把(0, 100)和（ 20, 300）分别代入得b1 10020k1 b,解得 b1 100 ,，y 乙=10x+100,与 y 甲=20x联立解得 B (10, 300k1 10200）, 当0vxv10时，y甲vy乙，即选择甲种消费卡合算；当 x> 10时, 算.【知识

19、点】一次函数的解析式；一次函数的图像和性质；y甲y"即选择乙种消费卡合22. （2019湖南省常德市，22题，7分）如图6,。与 ABC的AC边相切于点E, DE/ OA, CE是。的直径.（1）求证：AB是。的切线；（2）若 BD=4, CE= 6,求 AC 的长.C,与AB、BC边分别交于点 D、（1）连接OD,只要通过证明【思路分析】 本题主要考查了圆的切线的证法和三角形相似以及勾股定理的运用. AOX AOD） （SAS就可彳#到/ ADO= Z ACO= 90° ,所以切线得证.（2）先在RtODB中运用勾股定理，可 以求出OB的长度，这样就知道了 BC的长，然后

20、再证明 BD8 BCA得至IJ史 OD ,代入即可求出 AC的长度.BC AC【解题过程】 证明：（1）连接 OD,DE/ OA, / AOC= / OED, / AOD= / ODE, OD= OE,/ OED= ZODE, / AOC= /AOD,又OA= OA, OD=OC,AO® AOD （SAS, . / ADO= /ACO. CE 是。的 直径，AC 为。的切线，. OCX AC, . / OCA= 90° ,/ ADO= =90°，.二 OD）± AB,.OD为。的半径，AB是。的切线.OB=，42 32 = 5,43, AC= 6.8 A

21、C2到5种帮扶措施，现把享受了请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户 C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率.【思路分析】 本题考查了条形统计图、扇形统计图，解题的关键是找到两张统计图之间的对应关系，然后完善图 形.（1）用A类贫困户的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；（2）用（1）求得的总人数减去其余三类人数的总和，即可求出C类贫困户的人数

22、；（3）由扇形统计图可知至少得到 4项帮扶的户数所占的百分比的和，再 用13000户乘以这个百分比即可；（4）列出树状图即可求出.【解题过程】（1） 260+52%= 500 （户）；（2） 5002608040= 120 （户）,图形如下：图7（3） 13000 X (24%+16%) = 13000X40%= 5200 (户)；(4)用树状图表示如下：开始共有12种结果：（甲乙）（甲丙）（甲丁）（乙甲）（乙丙）（乙丁）（丙甲）（丙乙）（丙丁）（丁甲）（丁乙）（丁丙）其中符合要求的有两个,【知识点】条形统计图；扇形统计图；树状图；概率;24. （2019湖南省常德市，24题，8分）图9是一种

23、淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长 AB=25cm, AB与墙壁DD的夹角/ D AB=37° ,喷出的水流 BC与AB行程的夹角/ ABC = 72° ,现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C处，且使DE=50cm, CE= 130cm. 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据： sin37° =0.60, cos37° =0.80, tan37° 0.75, sin72° =0.95, cos72 ° =0.31, tan72 ° =3.08,

24、 sin35° =0.57, cos35° =0.82, tan35° =0.70）.【思路分析】 此题考查的是三角函数的实际应用，所以要构造直角三角形，根据题中所提供的数据，可以过B点作MN/ DE,分别交直线 AD和直线EC于点M、N,然后在RtA ABM和RCBN中运用三角形函数求出相关 线段AM和CN的长度，再由 MD=NE,即可求出AD的长度.【解题过程】 过B点作MN / DE,分别交直线 AD和直线EC于点M、N,由题意可知 AD/ CE, / ADE= 90° 四边形 DMNE 为矩形，. AMB = /BNC= 9 0° ,

25、MN = DE, MD=NE.在 RtABM 中，/ D AB= 37° , sin/MAB=MB, . MB = AB sin37° =25X0.6=15, cos/ MAB=AM, ，AM = AB- cos37° =25X0.8 =20, .MN = DE= 50, NB= 50-15=35, / Z ABM = 90° 37° =53° , Z ABC= 72° ,/ NBC= 180° 53° 72° =55° ,BCN= 90° 55° =35°

26、; .在 RtBNC中，tan/BCN= BN, . CN= -5- =50,CN0.75EN= CN+CE= 50+130= 180= MD, . AD= MD AM = 180 20= 160 (cm).答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置.D'【知识点】锐角三角形函数；矩形的性质和判定；七、（本大题2个小题，每小题10分，茜分20分）25. （2019湖南省常德市，25题，10分）如图11,已知二次函数图象的顶点坐标为 A（1, 4）,与坐标轴交于B、 C、D三点，且B点的坐标为（一1,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M

27、、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形 MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的面积是矩形 MNHG面积的,16若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将抛物线设成顶点式，然后将 B点的坐标为（一1, 0）代入即可求出抛物线的解析式；（ 2） 因为若四边形 MNHG为矩形，则 MN/x轴，可设M点的纵坐标为n,将直线y= n和（1）得到的抛物线解析式 联立，利用根与系数关系可以表示出 MN= x xm xn 2 4xmxn ,从而将MN用含n的代数式表示

28、出来，设矩形周长为C,再由周长 C= 2 （MN + MG）,结合二次函数可求出周长的最大值；（3）在（2）的前提下可知当矩形MNHG的周长最大时，N与D两点重合，P在抛物线上，过 P做y轴的平行线，交直线 CD于点Q,设P横坐标为m,代入抛物线和直线 CD的解析式中，表示出纵坐标，由4PNC的面积是矩形 MNHG面积的,可求得4PNC161的面积，由4PNC的面积=_PQ. OC,可以求出P的坐标.22【解题过程】(1)设抛物线的解析式为 y= a x 14,把B ( 1, 0)代入解析式得：4a+4=0,解得a =-.2 .21 , y= x 14 =- x 2x 3 ;(2).四边形MN

29、HG 为矩形，MN / x 轴，设 MG= NH=n,把 y=门代入丫=*22x 3,即 n = x22x3, x22x n 3 = 0,由根与系数关系得 xm xn=2, xm?xn2222=n3，. % xn = xm+xn 4xm?xn,. xm xn =4-4 (n-3) = 16-4n, . MN= x xm xn=2 44n ,设矩形 MNHG 周长为 C,贝U C= 2 (MN + MG) =2 (2 44n + n) = 4 J4-n + 2n,令 44n =22.2t,则 n=4t2 ,，C= 2t2+4t + 8=2 t 110, -. -2<0,，t=1 时，周长有

30、最大值， 最大值为 10;(3)在(2)的条件下，当矩形周长最大时t=1,、/4T= 1, n = 3, MN = 2""n = 2, D ( 0, 3), 此时 N与D重合，Rmnhg =2*3=6，Svpnc =g Svmnhg = 27，又:当 y = 0 时。=x2 2x 3 ,解得为168=1, x2 = = 3, C (3, 0), D) (0, 3),直线CD的解析式为y= x+3, .过P做y轴的平行线，交直线 CD 于点 Q,设 P 横坐标为 m,贝UP (m, m2 2m 3),Q (m, m 3),，PQ= | (m2 2m 3)(m 3) I ,当

31、P在 Q 的上方时，PQ= m2 3m，.一 Svpnc = - - PQ - OC= 27 , - m2 3m =-,284解得m=3;当P在Q的下方时，PQ= m2 3m ,即m2 3m = ?,解得m1 3 3件巾2 3+3丝(舍去)； 2422P横坐标为3或3 3衣.22【知识点】二次函数解析式的表现形式；矩形的性质；矩形的周长和面积；用配方法求最值;26. (2019湖南省常德市，26题，10分)在等腰三角形 ABC中，AB= AC,彳CM, AB交AB于点 M , BN± AC 交AC于点N.(1)在图 12 中，求证： BMCZ CNB;(2)在图13中的线段 CB上取一动点 巳 过P作PE/ AB交CM于点E,彳PF/ AC交NB于点F,求证：PE+PF =BM;(3)在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似(2）PE.过P作PEE/ AB交CM的延长线于点 E,彳PF/ AC交NB的延长线于点F,求证:AM - PF+OM -BN=AM CB图14图12图13【思路分析】（1）主要考查全等三角形的判定方法，结合等腰三角形的性质，利用等边对等角，找到证明全等