高一数学上知识点剖析

1、 映射 核心知识1.对应(1)对应与集合一样，也是数学中的原始概念.我们知道，实数与数轴上的点，坐标平面内的点与有序实数对之间都具有对应关系，一个人与他的姓名，某一学生与他的座位，也可以看作对应.对应是两个集合A与B之间的某种关系.对于A中每一个元素与之对应.(1)B中有唯一元素与之对应.(2)B中有不止一个元素与之对应.(3)B中没有元素与之对应.同样，对于B中的每一个元素而言，也有以下三种情况：(4)A中唯一元素与之对应.(5)A中有不止一个元素与之对应.(6)A中没有元素与之对应.对一般的对应而言，这些情况都是可能发生的.2.映射映射是一种特殊的对应，学习这一概念时，应注意以下几点：(1

2、)映射f：AB是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定.(2)映射f:AB中的两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合.再者，集合A、B可以是同一个集合.(3)集合A到集合B的映射f:AB与集合B到集合A的映射f：BA一般说来是不同的.换言之，映射涉及的两个集合有先后次序.(4)映射f:AB之下，集合A中的任一元素在集合B中都有象，且象是唯一的(简括之：“都有象；象唯一”).这是映射概念的实质.(5)给定映射f:AB，集合中B中的元素在集合A中可能有一个原象，可能有两个或多个原象，也可能没有原象.因此，象集合(即由全体象构成的集合)是B的子集，可记为f(a)aA B3.一一映射一般

3、地，设A、B是两个集合，f:AB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.定义中有两个特点：(1)对于集合A中的不同元素，在集合B中不同的象，也就是说不允许“多对一”.(2)集合B中的每一个元素都是集合A的某个元素的象，也就是说，集合B中的每个元素都有原象，B中不允许有剩余的元素. (1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体，是一个系统；(2)对应法则是f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与集合B到集合A的对应关系是不同的；(3)对于A中的任一元素a，在B中有

4、唯一元素b与之对应，其要害在“任一”、“唯一”两词之上.2.一一映射有两个特征：(1)对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象(即不可“多对一”)；(2)集合B中的每一个元素都是集合A中的某个元素的象，即集合B中的每个元素都有原象(亦即不可“B中剩”)典型例题例1  下列对应是不是从A到B的映射?(1)AQ，BQ+，f：xx.(2)ABN*，f:xx-2.(3)AxNx2，ByZy0，f:xyx2-2x+1.(4)Axx(0，+)，ByyR，f:xy± .解：(1)中，当x0A时，x0 B，即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射.(2)中，当x2A时，x-20 B

5、，与(1)类似，(2)也不是映射.(3)中，因为y(x-1)20，所以对任意x，总有y0；又当xN时，x3-2x+1必为整数，即yZ.所以当xA时，x2-2x+1B，且对A中每一个元素x，在B中都有唯一的y与之对应，故(3)是映射.(4)中，任一个x都有两个y与之对应，故不是映射.评析  判断某对应是否为映射，严格按照映射定义中所要求的条件进行判断.例2  若A（x,y）xZ，x2，yN，x+y3，B0，1，2，从A到B的对应关系f(x,y)x+y，说明f是A到B的映射，并画出对应图，指出2的原象是什么?解：满足条件的集合A中的元素共有六个，用列举法表示为（-1，2），(-

6、1，3)，(-1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，1).对应图为下图.集合A中的每一元素，集合B中都有唯一的元素与它对应，所以f能构成一个映射.2的原象为(-1，3)，(0，2)，(1，1).例3  (1)已知集合Aa1,a2，Bb1,b2，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种?(2)已知集合Aa1,a2，Bb1,b2，b3，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种?分析  当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4种不同的映射(见下图) (

7、2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情形考虑.A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6种不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9种.评析  若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则A到B的一切可能的映射共有nm种.例4  已知集合A1,2,3,a，B4,7,b4,b2+3b，其中aN*，bN*.若xA，yB，映射f:AB使B中元素y3x+1和A中元素x对应.求a和b的值.分析  利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.解：A中元素x对应B

8、中元素y=3x+1，A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.b410，或b2+3b=10.又  bN*，b2+3b-10=0，解之，得b=2.a的象是b4=16，3a+116，解之，得a=5.评析  正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题之关键.如果将题设中的集合B换成4,7,13,b4,b2+3b，那么请问a的值是多少?例5  判断下列映射是不是从A到B的一一映射，并说明理由.(1)A矩形，BR，对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)AR，BR，对应法则f:xykx+b(k0). (3)AR，Byy0，对应法则f:xyx2.分析  一一

9、映射是一种特殊的映射.特殊在哪里?解：(1)这个映射不是一一映射，因为负实数和零没有原象.(2)根据一一映射的定义，所给映射是一一映射.(3)这个映射不是一一映射，因为对于A中的两个不同元素a和-a(a0)，在B中有相同的象a2.评析  映射f:AB加上两个条件：A中不同的元素在B中有不同的象，B中任何一个元素都有原象，便形成A到B上的一一映射.例6  已知集合Axx1，Bxx1，试建立一个A到B上的一一映射.分析  本题的困难在于集合A比集合B“多”了一个元素“1”.为突破这个难点，我们不妨先考虑特殊情况.解：考虑两种特殊情况.(1)若A中元素x N*，则令xy

10、x；(2)若A中元素xN*，则可令xyx+1.因此，A到B上的一个一一映射为：x        xA，且x N*时，f：:xyx+1     xA，且xN*时. 评析  从分析到求解是一个先退后进，以退求进的过程，同时也是分解与组合的过程.(2)中用到了无限集合的性质，这是本题求解的又一个关键.函数 考试命题的热点之一是考查函数的定义域、值域，并考查学生：(1)能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数.(2)理解函数符号(对应法则)，掌握函数的三种表示法.(3)会求函数的定义域及某些

11、函数的值域.多以选择题与填空题的形式出现，一般多为容易题与中等题. 核心知识1.函数的定义(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:AB就叫做函数，记作yf(x)，其中xA，yB，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同.函数

12、实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集.2.函数的三要素定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.例如yx与y 不是同一函数.yx与y 也不是同一函数.而yx与y 是同一函数.3.函数的对应法则在函数的三要素中，对应法则是核心.通俗地说，f就是对自变量x进行“操作”的“

13、程序”或“方法”.按照这一“程序”，从定义域集合A中的任一x，可得出值域C中的唯一y与之对应.同一f可以“操作”于不同的变量.如f(x)是对x进行操作，而f(x2)是指对x2进行操作.4.函数的定义域函数的定义域是函数研究的重要内容，在给定函数的同时应该给定函数的定义域.一般地，我们规定，如果不加说明，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此，我们就可以“求出”函数的定义域了.5.求函数值域的方法求函数值域是一个相当复杂的问题，常见的方法有(1)图像法；(2)反解x；(3)配方法；(4)换元法.以后还可用(5)单调性；(6)判别式法等.6.函数符号yf(x)，它是抽象符号之一，“

14、yf(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式；f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.7.函数的表示方法主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图像法.8.“区间”与“无穷大”的两个概念区间是数学中常用的术语和符号.必需记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.对于a,b，(a,b)，a,b)，(a,b，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间

15、长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示和区间表示法.无穷大是个符号，不是一个数.关于用-、+作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.9.基础知识图表 1.要正确理解函数概念应该注意：(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)x，与f(x) 是同一个函数.(3)函数的核心是对应关系.在函数符号yf(x)中，f是表示函数的对应关系，等式yf(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因

16、此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号yf(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图像或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.典型例题例1  试判断以下各组函数中，是否表示同一函数?(1)f(x) ，g(x) ；(2)f(x) ，g(x)     ；(3)f(x) ，g(x)( ) (nN)；(4)f(x) ，g(x) .解：(1)

17、由于f(x) x，而g(x) x.故它们的值域对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.(2)由于函数f(x) 的定义域为R+R-，而g(x)     的定义域为R.故它们不是同一函数.(3)由于当nN+时，2n±1为奇数，f(x) x，g(x)( ) x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.(4)由于函数f(x) 的定义域为xx0，而g(x) 的定义域为xx-1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.评析  对于两个函数yf(x)和yg(x)当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，yf(x)和yg(x)表示同一

18、函数.也就是说，对两个函数来讲，只要函数的三要素当中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.若两个函数表示同一函数时，则它们的图像完全相同；反之亦然.这些结论都可以作为我们判定两个函数是否表示同一函数的依据.例2  已知f(x) (xR且x-1)，g(x)x2+2（xR）.(1)求f(2)、g(2)的值.(2)求fg(2)的值.(3)求fg(x)的解析式.解：(1)f(2) ，g(2)22+26.(2)fg(2)f(6) .(3)fg(x)f(x2+2) .评析  在解本题时，要理解对应法则“f”和“g”的含义，在求fg(x)时，一般遵循先里后外的原则.例3

19、0; 已知f(x)的定义域是a,b，求F(x)f(x-1)+f(x+1)的定义域.解：要使F(x)有意义，必须f(x-1)且f(x+1)都有意义，于是有  即    当b-a2时，与的交集a+1，b-1即是F(x)的定义域；当b-a2时，与的交集是空集.此时F(x)无意义.例4  设f(x)是定义在(1，+)上的一个函数，且有f(x)2f( ) -1，求f(x).分析  欲求f(x)，必须消去已知中的f( )，由方程组中的消元法，不难想到再去寻找一个方程.此事可由x与 的倒数关系，用 去替换已知式中的x便可得到解：因为f(x)2f( ) -1&

20、#160;     用 代换x，又得f( )2f(x) -1          将代入消去f( )，得f(x)4f(x)-2 -1，f(x) + ；又因为x(1，+)，所以  f(x) + ，x(1，+).例5  已知y 的定义域为R，求实数a的取值范围.分析  确定a的取值范围，使之对任意实数x都有ax2+4ax+30.解：当a0时，ax2+4ax+3=30对任意xR都成立；当a0时，要使二次三项式ax2+4ax+3对任意实数x恒不为

21、零，必须满足：其判别式4a(4a-3)0，于是，0a .综上，a0， ).评析  本题是求函数的定义域的反问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围，类似地，可求解下述问题：若函数y 的定义域是R，求实数a的取值范围.例6 已知函数f(x) 的值域为-1，4，求实数a、b的值.分析  由函数的解析式可确定一个含有a、b的值域，比照已知条件，可确定a、b的值.解：设y ，去分母、整理得yx2-ax+y-b=0.y0显然在函数的值域-1，4内.若y0时，由于xR，故a2-4y(y-b)0，y2-by- 0      由

22、已知，有-1y4，从而，(y+1)(y-4)0，y2-3y-40，        比较不等式与，得b=3，a216 或 .评析  解决此问题的关键在于把求值域的问题与解一元二次不等式的问题联系在一起，最后通过比较同解不等式的系数，求出a、b的值.例7  设二次函数f(x)满足f(2+x)f(2-x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图像过点(0，3)，求f(x)的解析式.分析  要求的函数二次函数，一般可设其为f(x)ax2+bx+c(a0)，然后根据已知条件求出系数a,b,c，

23、从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图像关于直线x=2对称，故可设函数f(x)a(x-2)2+k.解：f(2+x)f(2-x)，f(x)的图像关于直线x=2对称.于是，设f(x)a(x-2)2+k(a0)，则由f(0)3，可得k3-4a，f(x)a(x-2)2+3-4aax2-4ax+3.ax2-4ax+30的两实根的平方和为10，10x21+x22(x1+x2)-2x1x2    16- ，a=1.f(x)(x-2)2-1x2-4x+3.评析  解题的过程就是运用已知条件的过程，已知条件要用得能揭露题目的本质(

24、越彻底越好).如果设f(x)ax2+bx+c(a0)，运用条件f(2+x)f(2-x)也能求得b=-4a，但不如采用上述对称法对问题揭露得彻底.本题解法为待定系数法，它适用于已知函数的解析式的类型(例如一次函数、二次函数等)及函数的某些特征求该函数的问题，关键在于快捷地求出待定常数.函数的定义域的概念和求法 说明1 函数的定义域：      函数的表达式已经给出后，其定义域如果没有指明，那么其定义域应该是使函数表达式有意义的自变量x的所有允许值的取值范围。       核心知识规则1函

25、数的定义域的概念：    函数的自变量x的允许值范围称为定义域。规则2 函数的定义域的求法：    常有以下几种：       1、自变量不受任何条件约束，则 ，如 。       2、分母不为零，如 ，定义域为 。       3、偶次根号不为非负，如 ，定义域为 。       4、对数符号后为

26、正，如 ，定义域为 。       5、综合上述各点，求其交集。              如 ，由       定义域为：  典型例题例1 求函数 的定义域 解：因为x2时， 都有意义，而x2=0即x=2时， 没有意义，所以这个函数的定义域是x|x R，且x2例2 求函数 的定义域解：因为3x20即x 时， 有意义，而 时， 没有意义，所以这个函

27、数的定义域是 例3 求函数 的定义域解：使 有意义的实数x的集合是1，使有 意义的实数x的集合是（，1 ），所以这个函数的定义域是1， ) （，1=1，1函数的值域 说明1 函数的值域，一般来说是一个被动的东西，它依赖于函数的定义域和函数的表达式，所以求函数的值域，主要也就依靠上述两个因素，采用一些特定的方法来求其值域。核心知识规则1 函数值域的概念：函数值的集合就是函数的值域规则2 函数值域的求法：值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，常用以下方法求值域。1、配方法：    主要用在二次函数或是通

28、过换元，转化为二次函数的函数。2、判别式法：3、方程法求函数的值域：       函数 的值域就是关于x的方程 有属于A的解的y值的集合。 典型例题例1 求二次函数 的值域。       解：                         

29、0;     由于 ，        例2 求函数 的值域。       解：                        令        则   

30、0;                         评述：通过换元将无理函数转化为二次函数，然后用配方法求其值域。例3 求函数 的值域。       解：由原式可得关于x的二次方程           

31、60;         i）  当 时，它的判别式：                            得 或 ，            

32、;  对应 和 的x值分别为 和 。       ii）当 即 时，可得 ，说明自变量取 时， 存在。              故函数的值域为： 例4 求函数 的值域。       解：由已知函数式 可解得，           

33、;   ，（*）要使方程（*）有解，必须：                            ，即函数的值域为 。函数的图象 说明1 函数图象有几类：        函数的图象是函数的重要性质，它以直观形象的曲线告诉我们函数的走势，是我们应该充分

34、重视的，除了常规函数的图象以外，还应i学些坐标变换下的一般函数的图象.      函数图象也是函数表示法之一，它有离散、分段、连续三类。 o:p designtimesp="15435">核心知识规则1 函数的图象：     图象法： 以表格中的数对(x，y)为点的坐标描绘出能反映x与y的对应关系的曲线.     正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，二次函数的图象是一条平滑的曲线（抛物线），反比例函数的图象是两支平滑的曲线（双曲线）此外

35、，函数的图象也可以是一些点或几条线段等典型例题例1 某种茶杯，每个5元，买x个茶杯的钱数（元）f（x）=5x，x N画出这个函数的图象解：这个函数的图象由一些点组成，如图1-2所示图 1-12例2  在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资20分，超过20克重而不超过40克重付邮资40分那么，每封x（0x40）克重的信应付邮资（分）画出这个函数的图象解：这个函数的图象是两条线段，如图1-13所示图 1-13函数的单调性和奇偶性 函数的单调性是函数的重要性质之一，应用它可以比较函数值的大小，求函数的值域、最值；应用它可研究方程根的情况；也可求函数解析式中参数的范围；绘函数的图像时

36、，也经常应用它.本节涉及到了分类讨论思想、数形结构思想、转化思想等，在学习时认真体会其实质，并加以运用.本节内容在高考中年年必考，主要考查函数单调性与奇偶性的判定，单调区间的求法，以及单调性与奇偶性的综合题.在命题形式上主要是选择、填空题，有时也与其它知识结合出解答题.本节内容是高考重点考查的重要内容，今后也肯定是高考考查的重点内容，它与不等式、三角函数等知识综合，考查函数的概念、图像性质等，以及综合运用知识考查分析和解决问题的能力.关键是在理解的基础上，要记准、记熟函数单调性和奇偶性有关概念和判定方法并能在解题中灵活的加以运用.千万不要忘记解题时首先要考查定义域.核心知识1.基础知识图表2.

37、函数的单调性如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y 在(-，0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(-，0)(0，+)因为当取x1-1，x21时，对应

38、的函数值为f(x1)-1，f(x2)1，显然有x1x2，但f(x1)f(x2)，不满足减函数的定义.有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数yx就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数.例如函数y=x2在(-，0)是减函数，在，+)上是增函数.中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以.函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图像能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴

39、正方向逐渐下降的.求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.讨论函数yf(x)的单调性时要注意两点：(1)若u(x)，yf（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则yf(x)为增函数；(2)若u(x)，yf(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则yf(x)为减函数.若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)0，则函数f

40、(x)与 具有相反的单调性.(4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.使用上述结论，可以简便地求出一些函数的单调区间.例如函数f(x) (x-1)可等价变形为f(x)1- (x-1).由于一次函数1+x是增函数，所以当x-1时，函数 在(-，-1)上是减函数，在(-1，+)上也是减函数.于是- 在(-，-1)和(-1，+)上均

41、为增函数.故f(x)1- 在(-，-1)和(-1，+)上都是增函数.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差化简、变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而证得函数的增减性.利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.3.函数的奇偶性如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-

42、x)f(x)，那么f(x)叫做偶函数.奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再

43、判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)0或 ±1(f(x)0)来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x) + .当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.函数的图像能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图像关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图像关于y轴对称.奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶

44、函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x) + .(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)0.典型例题例1  (1)画出函数y-x2+2x+3的图像，并指出函数的单调区间.解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-(x-1)2+4；当x0时，y-x2-2x+3-(x+1)2+4.在(-，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+）上，函数是减函数.评析 

45、; 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.(2)已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，求实数a的取值范围.分析  要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x1-a.因为在区间(-，1-a上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3.评析  这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形

46、结合.例2  判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) - (2)f(x)(x-1) .解：(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)-x+1-x-1      x-1-x+1-f(x).所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为x-1x1，不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.评析  用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明

47、确时，可考查f(-x)±f(x)0是否成立，从而判断函数的奇偶性.例3  已知函数f(x) .(1)判断f(x)的奇偶性.(2)确定f(x)在(-，0)上是增函数还是减函数?在区间(0，+)上呢?证明你的结论.解：因为f(x)的定义域为R，又f(-x) f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)f(x)在(-，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，+)上为减函数.其证明：取x1x20，f(x1)-f(x2) - .因为x1x20，所以x2-x10，x1+x20，x21+10，x22+10，得  f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以

48、f(x)在(-，0)上为增函数.评析  奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.例4  已知y=f(x)是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且f(x)0，试问F(x) 在(-，0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.分析  根据函数的增减性的定义，可以任取x1x20，进而判定F(x1)-F(x2) - 的正负.为此，需分别判定f(x1)、f(x2)与f(x2)的正负，而这可以从已条件中推出.解：任取x1、x2(-，0)且x1x2，则有-x1-x20.yf(x)在(0，+)上是增函数，且f(x)0

49、，f(-x2)f(-x1)0.                 又f(x)是奇函数，f(-x2)-f(x2)，f(-x1)-f(x1)      由、得  f(x2)f(x1)0.于是F(x1)-F(x2) 0，即F(x1)F(x2)，所以F(x) 在(-，0)上是减函数.评析  本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在(0，+)内任取x1x2，展开证明.这样就不能保证-x1

50、，-x2，在(-，0)内的任意性而导致错误.避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动.例5  讨论函数f(x) (a0)在区间(-1，1)内的单调性.分析  根据函数的单调性定义求解.解：设-1x1x2，则f(x1)-f(x2) -          x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20，(1-x21)(1-x22)0于是，当a0时，f(x1)f(x2)；当a0时，f(x1)f(x2).故当a0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a0时，函数在(-1，

51、1)上为减函数.评析  根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.例6  求证：f(x)x+ (k0)在区间(0，k上单调递减.解：设0x1x2k，则f(x1)-f(x2)x1+ -x2-           0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2，f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)，f(x)x+ 中(

52、0，k上是减函数.评析  函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此，若要证明f(x)在a,b上是增函数(减函数)，就必须证明对于区间a,b上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)类似可以证明：函数f(x)x+ (k0)在区间k，+上是增函数.例7  判断函数f(x) 的奇偶性.分析  确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.解：由 得函数的定义域为-1，1.这时，x-22-x.f(x) ，f(-x) f(x).且注意到f(x)不恒为零，从而可知，f(x)

53、是偶函数，不是奇函数.评析  由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.指数 a ,a (a>0,m、n都是正整数，且n>1)；四要能运用分数指数幂的运算性质进行根式、分数指数幂运算.平时要求学生：熟练掌握分数指数幂与根式的运算.所要达到的目标：1.了解根式的概念.2.了解分数指数幂的概念，能进行分数指数幂与根式的互化.3.能正确进行指数运算.核心知识1.基础知识图表2.整数

54、指数幂在初中，我们首先研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的连乘积正整数指数幂的运算法则有五条：(1)am·anam+n；(2)am÷anam-n(a0,m>n);(3)(am)namn;(4)(ab)nan·bn;(5)( )n (b0).为保证这些法则可从定义直接推出，我们限定m、n都是正整数，且在法则(2)中限定m>n.为了取消m>n的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：      a01(a0)      a-n (nN,a0

55、).这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条(1)、(3)、(4)，同时，将指数的概念扩大到了整数.说明  为保证法则(2)、(5)对任意整数都成立，我们不得不规定a0及b0.3.根式1°定义  若xna(nN，n>1)，则称x为a的n次方根.当n2,n3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根和立方根.若n为奇数，用符号 表示a的n次方根，这时aR.若n为偶数，则要求a0，用符号± 表示a的n次方根.2°性质 0  (nN且n>1)( )na(nN且n>1) a(n为大于1的奇数) a (n是不等于零的偶数)4.分

56、数指数幂分数指数幂的引进是受到根式的基本性质的启发.从根式的基本性质    (a0,m,nN)我们知道：    a3a (a0)；    a4a (a0)；    a (a0,m,nN且m是n的整数倍).如果m不是n的整数倍时，仍沿用上述法则，不是也很方便吗?这时就有    a (a0)；    a (a0,m,nN且n>1).由于分数指数幂尚未定义，即a ,a 的意义尚未明确，于是我们规定(1)a (2)a

57、(a>0,m,nN，且n>1)(3)零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义.在这种情况下，原来的幂的运算性质仍然成立.在分数指数幂中，要特别注意a>0的规定.对xR，下面的运算就是错误的：    x x这是因为， x ，只有当x>0时才能使用(这里x0也可).在引进了分数指数幂以后，我们就将指数概念扩大到有理数指数幂了.5.分数指数幂的性质有理数幂的运算性质，有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：    ar·asar+s；    (ar)sars；

58、    (ab)rarbr.式中a>0,b>0,r、sQ.典型例题例1  化简÷(1-2 )×   (a>0,b>0).分析  在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式.解：原式 ÷ ×a × ×a a ×a ×a a.评析  利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.例2  化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1) (2) (3) a ·b-2&

59、#183;(-3a b-1)÷(4a ·b-3) 解：(1)原式 a ·b .(2)原式 + (m +m )+(m -m )24m.(3)原式- a ·b-3÷(4a ·b-3) - ·a ·b-3÷a ·b - a ·b - · - 评析  根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.例3  化简：

60、(1)(1-a) ；    (2) 分析  根式化为指数幂.解：(1)原式(1-a)(a-1)  -(a-1)(a-1) -(a-1) - .(2)原式xy2(xy-1) (xy) (xy2x y ) x y (x y ) x y x y x y xy.评析  对于题(1)，要注意其隐含条件a>1.例4  已知a +a 3,求下列各式的值.(1)a+a-1；      (2)a2+a-2；      (3) .分析

61、60; 从已知条件中解出a的值，进而再代入，这是一种“笨”方法.我们设法从整体寻求结果与条件a +a 3的联系.解：(1)将a +a 3两边平方，得a+a-1+29，即a+a-17(2)将上式平方，有a2+a-2+249，a2+a-247.(3)由于a -a (a )3-(a )3所以有= a+a-1+18.例5  化简 ÷(1-2 × .分析  注意分析各幂中指数间的相互关系，从而使原式能利用乘法公式进行化简.解：原式 ÷ ×a · ·a a ·a ·a a评析  根式与指数幂混合运

62、算时，将根式化为指数幂运算较为方便.原式有根式时，最后结果一般化为根式.运算中要注重运算顺序和灵活运用公式及运算法则.例6  已知2x+2-x5，求下列各式的值：(1)4x+4-x；      (2)8x+8-x.分析  对幂值的计算，一般应把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则及乘法公式.解：(1)4x+4-x(2x)2+(2-x)2(2x+2-x)2-2·2x2-x25-223.(2)8x+8-x2x3x+2-3x(2x)3+(2-x)3(2x+2-x)(2x)2-2x2-x+(2-x)2(2x+2

63、-x)(4x+4-x-1)5(23-1)110.评析  对于本题的求解，若先求出2x的值，进而再代入，这是一种“笨”方法.从2x+2-x5中，你能不能求出2x-2-x的值?若能，试问其值为多少?例7  已知2a·5b2c·5d10,求证：(a-1)(d-1)(b-1)(c-1).分析  由2a·5b2·5，得2a-1·5b-11.证：     2a·5b2·5，      2c·5d2·

64、5，     2a-1·5b-11,            2c-1·5d-11,           2(a-1)(d-1)·5(b-1)(d-1)1,           2(b-1)(c-1)·5(b-1)(d-1)1,2(a-1)(d-1)2(b-1)(c-1)，(a-1)(d-1)(b-1)(c-1).评析  若同底数的幂相等，则它们的指数相等.指数函数本节重点是指数函数的图像和性质.难点是当a>1与0<a<1的函数值的变化情况，即，对于指数函数yax(a>0,a1)要特别注意底数a的取值对函数图像的影响.当a>1时，图像通过(0，1)点，函数是增函数.当0<a<1时，图像通过(0，1)点，函数是减函数.(1)本节在高考中若单独命题，一般为选择、填空题，考