中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案

1、中考数学直角三角形的边角关系 培优易错难题练习（含答案）及答案一、直角三角形的边角关系DC F1.如图，山坡上有一棵树 AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角 为30°.小宁在山脚的平地 F处测量这棵机勺高，点 C到测角仪EF的水平距离CF=1米, 从E处测得树顶部 A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.（参考数值：sin20 ° 0,34:os20° =0.94tan20° =0.3.【答案】6.4米【解析】 解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为6 3米，山坡的坡角为 30°. .

2、 DC=BC?cos30673 9 米,2,.CF=1 米, .DC=9+1=10 米， .GE=10 米， / AEG=45 ； .AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：树高约为6.4米DF的长，进而求得 GF的长，然后在直首先在直角三角形 BDC中求得DC的长，然后求得 角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2 .小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适（如图 1）,侧面示意图为图 2;使用时为了散热，她在底板下面

3、垫入散热 架ACO后，电脑转到 AO，B/位置（如图3）,侧面示意图为图 4.已知OA=OB=24cm, 。/ C± OA 于点 C, O/ C=12cm.（1）求/ CAO/的度数.（2）显示屏的顶部 B，比原来升高了多少？（3）如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/ B，与水平线的夹角仍保持 120。，则显示屏。/ B，应绕点。/按顺时针方向旋转多少度？Br【答案】(1) /CAO =30; (2) (36 - 1丽)cm； (3)显示屏O'而绕点O'按顺时针 方向旋转30°.【解析】试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD，AO交

4、AO的延长线于 D,通过解直角三角形求得BD=OBsinZ BOD=24X =1273 ,由 C、O'、B'三点共线可得结果；2(3)显示屏O'而绕点O'按顺时针方向旋转 30°,求得/EO B'/=FO A=30；既是显示屏O'应绕点O'按顺时针方向旋转 30°.试题解析：(1) 0，(1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C O'Csin / CAO -=0 aoa ./CAO' =30 °(2)过点 B 作 BD, AO交 AO 的延长线于 D, 1. sinZ BOD=一

5、 , . BD=OBsin/ BOD,OS / AOB=120 ,° Z BOD=60 ； . BD=OBsinZ BOD=24 更=12后,O' LOA,2/CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO' 叱 AO' C=1& 0 °.O， B' +O3 D=24+12- 12月=36-12 招，显示屏的顶部 B比原来升高了( 36- 1273 ) cm；(3)显示屏O'而绕点O'按顺时针方向旋转 30°,理由：二,显示屏O

6、9;若水平线的夹角仍保持 120°, ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' ET FO' A=3 0 ° 显示屏O'底绕点O'按顺时针方向旋转 30：考点：解直角三角形的应用；旋转的性质.3 . （6分）某海域有 A, B两个港口， B港口在A港口北偏西30°方向上，距 A港口 60海 里，有一艘船从 A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求该船与B港口

7、之间的距离即 CB的长（结果保留根号）.【解析】试题分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得到AD=BD=?° ,求出Z C=6CT ,根据正切的定义求出 CD的长，得到答案.试题解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=°),/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ,° / ABC=45 ,°AD 30%?/ C=60 ；在 RtACD中，/ C=60 ； AD3°v2,则 tanC=” ,. CD= &#

8、39;户=0*,，Bc"+ 2.故该船与B港口之间的距离 CB的长为3V+10F海里.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.4 .如图，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC为直径的。0分别交 AB BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP是。的切线.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求点 B 至ijAC 的距离.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP的周长.【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出 /ACP

9、=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1） - ZABC=Z ACB, .AB=AC,.AC为。0的直径，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；点D在。O上，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,AC,. AB=AC, /ANC=90；111，cn，cbW,团. /BCP=Z CAN, sin/BCP=5 ,0sin / CAN= -1 , CN $.AC=5, .AB=AC=5,设 AF=x

10、,则 CF=5 x,在 RtABF 中，BF?=ab2-AF2=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC2C声=2O (5x) 2,.-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,. BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定5.在 RtACB和 4AEF中，/ ACB= / AEF= 90°,若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE. 特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明). 问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立

11、？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；AC(3)记一C=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC【答案】1 PC PE成立2 , PC PE成立3当k为Y3时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF± AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,从而有EM FP 一一口 一- ，再根据点P是BF的中点，可得 EM=MC,MC PB(2)过点F作FD±AC于点D,过点P

12、作PMLAC于点 DAF0 EAF,即可得出 AD=AE;再证 DA彦 EAP,据此得到M,连接即可得出PC=PEPD,先证PD=PE最后根据FD± AC, BOX AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P 是 BF 的中点，推得 PC=PD再根据pd=pe即可得到结论.可得 /CEP=60, /CAB=60;由 / ACB=90 ,求出(3)因为CPE总是等边三角形,/ CBA=30 ；。最后根据 处 k , BCAC =tan30 求出当CPE总是等边三角形时，k的值是BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如图 2,过点 P 作 PMLCE

13、于点 M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB,EM FP 一 口-。 一 八 ,.点 P是 BF的中点，. . EM=MC,又. PMLCE, . PC=PEMC PBH2(2) PC=PE立，理由如下：如图3,过点F作FD, AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, / Z DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AAS , .AD=AE,在 4DAP和 4EAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, A

14、P=AP, .DAPAEAP (SAS ,.PD=PE . FD± AC, BC± AC, PMXAC,.FD/ BC/ PM,.Dl£ FPMC PB '点P是BF的中点， .DM=MC,又 PMXAC,PC=PD,又. PD=PE是等边三角形,Z CEP=60, Z CAB=60 ;Z ACB=90 , Z CBA=90 -ACZ ACB=90 - 60 =30 ,AC k , =tan30 , BC BCk=tan306'=，3鱼时，4CPE总是等边三角形.3，当k为【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题;

15、判定与性质；6.平行线分线段成比例.5 .全等三角形的6 .问题背景：如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点 B关于l的对称点B'连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用:如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30, B为弧AD的中点，P为 直径CD上一动点，则 BP+AP的最小值为 .（2）知识拓展：如图（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是 线段AD和AB上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：（

16、1） 272 .（2）如图，在斜边 AC上截取AB' =AB连接BB'. AD平分/ BAC 点B与点B关于直线AD对称.过点B作B' MAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B'的长即为所求（点到直线的距离最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4更 aB ="AB=" 10 ,- - - 1.BE+EF的最/、值为5近【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C' AE再根据勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最/J、值：如图

17、作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点巳此时PA+PB最小，且等于 A.作直 径AC,连接C' F根据垂径定理得弧 BD=M DE.IW / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ：/ AOE=90 ,°/ C AE=45 °又AC为圆的直径，.1. / AEC =90°./C=/C' AE=4 5，C' E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是 272(2)首先在斜边 AC上截取AB' =AB连接BB',再过点B作B' 1AB,垂足为F,交AD于 E,连接BE,则线

18、段B'的长即为所求.7.已知：如图，AB为。的直径，AC与。相切于点A,连接BC交圆于点D,过点D作 OO的切线交AC于E.(1)求证：AE= CE(2)如图，在弧 BD上任取一点 F连接AF,弦GF与AB交于H,与BC交于M,求证： /FA谕/ FBM= / EDC.(3)如图，在(2)的条件下，当 GH= FH, HM = MF 时，tanZ ABC= 3 , DE=竺 时，N44为圆上一点，连接 FN交AB于L,满足/ NFH+Z CAF= / AHG,求LN的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) NL13【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角，得ZADC=

19、 90。，由切线长定理得 EA= ED,再由等角的余角相等，得到/C=/EDC进而得证结论.(2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/C,再通过等量代换，角的加减进而得证结论.(3)先由条件得到 AB=26,设HM = FM = a, GH= HF=2a, BH= 4 a 再由相交弦定理3得到GH?HF= BH?AH,从而求出FH, BH, AH,再由角的关系得到 HFOHAF,从而求LN的长.出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到 LN?LF= AL?BL,进而求出【详解】解：(1)证明：如图1中，连接AD., AB是直径，/ ADB= / ADC= 90 °, EA、

20、ED是。的切线，EA= ED, / EAD= / EDA Z C+Z EAD= 90 °, / EDO/ EDA= 90 °,. . / C= / EDC,.ED=EC,.AE= EC.(2)证明：如图2中，连接AD.AC是切线，AB是直径，/ BAC= / ADB= 90 ；3 / BAD+Z CAD= 90 °, / CAD+Z C= 90 °,4 / BAD= /C,5 / EDC= / C,/ BAD= / EDC6 / DBF= / DAF,7 / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD,8 / FA9/ FBM= / ED

21、C(3)解：如图3中，.AC=39,，,一 3. tan / ABC=一43932 ,4 AB.AB=26,ACAB. GH=FH, HM = FN,设 HM = FM= a, GH=HF= 2a,4BH=-3a,.GH?HF= BH?AH, .4a2= 4a (26 4 a)33 a= 6,.FH= 12, BH= 8, AH=18, .GH= HF,ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= Z AHG, / NFH+Z CAF= 90 ; / NFH+Z HLF= 90 °,/ HLF= / CAF, . AC/ FG,/ CAF= /AFH,/ HLF= /

22、 AFH, / FHL= / AHF, .HFLAHAF,.fh2=hl?ha,-.122=HL?18,HL2 =4而,.HL=8, .AL=10, BL= 16, FL= FH2 .LN?LF= AL?BL,. .4、13 ?LN= 10?16,40,13LN=-.【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键8 .如图，AB是。的直径，E是。上一点，C在AB的延长线上，ADLCE交CE的延长 线于点D,且AE平分/ DAC.（1）求证：CD是。的切线;(2)若 AB= 6, ZABE=

23、60。，求 AD 的长.9【答案】（1）详见解析；（2）-2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到 / OAE= / DAE,再利用半径相等得 / AEO= / OAE,等量代 换即可推出OE/AD,即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在 RtAABE中，AE= AB cos30 ；在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 AE可解题.【详解】证明：如图，连接 OE, . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DAE. .OA=OE,/ AEO= / OAE./ AEO= / DAE. .OE/ AD. .DCXAC, .OEXDC. .CD是。O的切线.(2)解

24、：.AB是直径，/ AEB= 90 ； / ABE= 60 :/ EAB= 30 ；在 RtABE 中,AE=AB cos30°=6X在 RtA ADE 中，/ DAE= / BAE= 30°, ，AD=cos30 X° AE=3 X3J3 = -.22【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示 出所求线段是解题关键.9 .超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A处行

25、驶到B处所用的时间为5秒且/AP* 60°, / BPO= 45 :（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.（参考数据：V2 1.414,73 1.73） .B O【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度.【解析】解：（1） AB 100（ J3 1户 73.2 （米）.6分73 2（2）此车制速度v二y= 二18.3米/秒10 .抛物线 y=ax2bx+4 (aQ 过点 A(1, - 1), B(5, - 1),与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线表达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ若点P在直线BC下

26、方的抛物线上，Q为坐标 平面内的一点，且 ？CBPQ的面积为30,求点P坐标； 过此二点的直线交y轴于F,此直线上一动点 G,当GB+1gF最小时，求点G坐标.2(3)如图2,。01过点A、B、C三点，AE为直径，点 M为上的一动点(不与点 A, E重 合)，/MBN为直角，边BN与ME的延长线交于 N,求线段BN长度的最大值£21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3万【解析】【分析】(1)把点A (1, -1) , B (5, -1)代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；(2)如图，连接P

27、C,过点P作y轴的平行线交直线 BC于R,可求彳#直线BC的解析式1 为：y=-x+4,设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因为？CBPQ的面积为 30,所以 Sapbc=一2X (-t+4-t2+6t-4) 书 15,解得t的值，即可得出点 P的坐标；当点P为(2,-4)时，求 一 3得直线QP的解析式为：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因为GB+2GF=GB+GR所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点 G的坐标；当点 P为(3,- 5)时，同理可求；(3)先用面积法求出 sin/ACB=2近3, tan/ACB=2,在R9ABE

28、中，求得圆的直径，133因为 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因为 tanNuMB：2,所以 BN=- MB,当 MB 为 BN 32直径时，BN的长度最大.【详解】 解：(1)二.抛物线 y=ax2+bx+4 (aw。过点 A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61抛物线表达式为y=x2- 6x+4.BC于 R,（2）如图，连接PC,过点P作y轴的平行线交直线1= 5k m k= 1,解得4= mm= 4直线BC的解析式为：y=-x+4, 设点 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), ?CB

29、PQ的面积为30, Sapbc=- X (-t+4-t2+6t-4) 与 15, 2解得t=2或t=3 ,当 t=2 时，y=-4当 t=3 时，y=-5, ，点P坐标为（2,-4）或（3, -5）；当点P为（2, -4）时， 直线 BC解析式为：y=-x+4, QP/ BC, 设直线QP的解析式为：y=-x+n,将点P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直线QP的解析式为：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+2GF=GB+GR2(0, -2),y=-x-2,当G于F重合时，GB+GR最小，此时点 G的坐标为 同理，当点P为（3, -5）时，直线QP的解析式为

30、: 同理可得点G的坐标为（0, -2）,）A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）, AC=726 , BC=572 ,1ABX5,2c 1. Saabc= ACX BCsM ACB=2sin / ACB=23 , tan / ACB=2 ,133AE 为直径，AB=4,/ ABE=90 ；13 AEsin / AEB=sinZ ACB=2/13 =AE=2.13 ,. MBXNB, /NMB=/EAB, / N=/AEB=/ ACB,tanN=MBBN .BN=3MB,2当MB为直径时，BN的长度最大，为3a.【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质.解决（3）问的关键是找到 BN与BM之间的数量关系.11.如图，某次中俄 海上联合”反潜演习中，我军舰 A测得潜艇C的俯角为30°.位于军 舰A正上方1000米的反潜直升机 B侧得