直线的参数方程的几何意义

1、课题直线的参数方程的几何意义教学目标要求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点分析与直线的参数方程有关的典型例题知识要点概述.xX0tcos、，一(1)定义：过定点M0(X0,y。)、倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，yV。tsin其中t表示直线l上以定点M。为起点，任意一点M(x,V为终点的有向线段M0M的数量，上的几何意义：直线上点到M的距离.此时，若t>0,则加0几的方向向上；若仁0,则喝股的方向向卜；若t=0,则点/与点M重合.(3)参数t的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为tA,tB,则性质一：A、B两点之间的距离为|AB|tAtB|,特别地，A、B两点到M

2、0的距离分别为|tA|,|tB|.性质二：A、B两点的中点所对应的参数为久一9,若M0是线段AB的中点，则2tAtB0,反之亦然。精编例题讲练一、求直线上点的坐标例1.一个小虫从P(1,2)出发，已知它在x轴方向的分速度是-3,在y轴方向的分速度是4,问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程XX°+at'(t是参数)。y=y0+bt解：由题意知则直线PQ的方程是x=1-3力，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q(-8,12)。y=2+4t例2.求点A（-1,-2）关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A'的坐标。x=-1-j=t,13解：由条件

3、，设直线AA'的参数方程为"3（t是参数），y=-2+.J3t,A到直线l的距离d=t=AA'=-4=，,1313代入直线的参数方程得A'（-33,-4）o1313点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线,经过点机（1,5）,倾斜角为3,1）求直线1和直线x-F-2#=。的交点到点出的距离；2）求直线和圆元=堡的两个交点到点强的距离的和与积.（及y=5+t解：直线的参数方程为2（t为参数）1）将直线？的参数方程中的x,y代入其一>

4、-2#=。,得t=-+&回.所以，直线？和直线耳一尸2的=口的交点到点此的距离为M=a+6拘2）将直线'的方程中的x,y代入-">="，得+10=°设此方程的两根为“也,则£*=T）0=10.可知它均为负值,所以kMI=飞+37点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三求直线与曲线相交的弦长y=ax，,J_,例1过抛物线的焦点作斜角为&的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.3真解因直线的倾角为曰，则斜率为一1,又抛物线的焦点为F(1,0),则可设AB的方程为2_A代入了二工整理得

5、产+4拒-16=。由韦达定理得tl+t2=-4"/2,tit2=-16O，网二H=施十力-41也=/=7而例2已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=l交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.3花解：因为直线L过定点M,且L的倾斜角为4，所以它的参数方程是1 37rI乃,3不y=2+-fsia4(t为参数)L1一2/3方力尊即&(t为参数)把它代入抛物线的方程彳导'/2+yfoV2-VT5f1=解得二-由参数t的几何意义得中卷|二也|二2点评:本题的解答中，为了将普通方程化为参数方程，先判定点M(-1,2)在直线上，并求出直线的倾斜角，这

6、样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标，再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为3的直线和抛物线h=2五相交于a,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为色，由已知可得3.4e二一sinG=cos,-c3X=2H一广Jy-7所以直线的参数方程为5(t为参数)代入/=2已整理得短一1电一5口=口句+£口15t=-一中点M的相应的参数是=16注)所以点M的坐标为164点评:在直线的参数方程中，当t>0,则的方向向上；当t<0,则板的方向向下，所以A,B中

7、点的M所1对应的t的值等于2，这与二点之点的中点坐标有点相同例2.已知双曲线x2-2=1,过点P(2,1)的直线交双曲线于Pl,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。x=X0+tcosfl斛：设M(X0,y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的万程是y=yo+tsin0(t是参数)，代入双曲线万程得：(2cos20-sin2t2+2(2x0cos0-yosin凯+(2x02-y02-2)=0,2x0由题忌t+t2=0,即2x0cos0-y0sin0=0,得tan。=°又直线P1P2的斜率k=tan0=yy0,点P

8、(2,1)在直线P1P2上，x-xo，邦=%,即2x2-y2-4x+y=0为所求的轨迹的方程。五，求点的轨迹问题例1.已知双曲线，过点P(2,1)的直线交双曲线于P1,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程。tl+t2=0。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有解：设M(x。，y。)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos29-sin20)t2+2(2x0cos0-y0sin9t+(2x02-y02-2)=0,由题意ti+t2=0,即2x0cos0-yosin0=0,得。又直线P1P2的斜率，点P(2,1)在直线P1P2上,即2x2-y

9、2-4x+y=0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例1.直线l过点P(1,2),其参数方程为x=：二，(t是参数)，直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,y=2+t求PQ。；2,x=1-2t,一解：将直线l的方程化为标准形式，代入2x+y-2=0得t'=弩,y=2+争PQ=It'|=啖点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。的直线l与圆x2+y2=9相交于A,B两点，求PA+PB和PAPB的值。x=-1解：直线l的方程可写成y=2+2t2it,，代入圆的方程整理得:t2+V2t-4=0,设点A,B对应的PA+PB=

10、|t1|+|t2|=|t1-t2|=参数分别是t1,t2,则t1+t2=-V2,t1t2=-4,由t1与t2的符号相反知V(t1+t2)2-4t1t2=3近,PAPB=It1t2I=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1.已知抛物线y2=2px,过焦点F作倾斜角为。的直线交抛物线于A,B两点，求证：AB=组°,sinu分析：弦长AB=|ti-12卜P八解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程,x=2+tcos0,y=tsin0tl+t2=得t2sin20-2ptcos0-p2=0,由韦达定理:

11、tlt2=-2pcos0sin20'p2，sin20AB=|tl-t21=W1-t2)2-4t1七=糜需亭潦？例2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点，若FA=2FB,求则椭圆的离心率。1.x=-c+2t,13ty=2t，代入椭圆整分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=-2t2或|t1|=2|t2|。x2y2斛：设椭圆方程为了+沫=1,左焦点F1(c,0),直线AB的方程为理可得：（：b2+|a2）t2-b2ct-b知识巩固训练=0,由于t1=-2t2,则b2ct1+t2=-122.上3c24b+4a-b4t1t

12、2=-13=-2t2,2X2+得:t22132c2=4b2+4a2,将b2=a2-c2代入,8I=3才+a2-c2,得e2=号4故，=3。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。应用一：求距离例1、直线l过点P0(4,0),倾斜角为，且与圆x2y27相交于a、B两点。6(1)求弦长AB.(2)求P0A和P0B的长。应用二：求点的坐标例2、直线l过点P0(2,4),倾斜

13、角为一，求出直线l上与点F0(2,4)相距为4的点的坐标。6应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点P0(1,0),倾斜角为一的直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，求线段AB的中点4M点的坐标。解：因为直线l过点P0(4,0),倾斜角为一，所以直线l的参数方程为63.x4tcosx4t6,即2,(t为参数)，代入圆方程，得1一y0tsinyt672(4且t)2Jt)27,整理得t24<13t9022(1)设A、B所对应的参数分别为t1,t2,所以t1t24y3,11t29,所以|AB11tlt2|.(t1t2)24t1t223.(2)解方程t2473t90得，t13v3,t2J3,所以

14、P0A|t1|3<3,P0B|t2|志.解：因为直线l过点P0(2,4),倾斜角为一，所以直线l的参数方程为6x2tcosx2t6,即2,(t为参数)，(1)y4tsin-y41t62设直线l上与已知点P0(2,4)相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t,则|P0M|11|4,所以t4,将t的值代入(1)式，当t=4时，M点的坐标为(22<3,6)；当t=4时，M点的坐标为(22v,3,2),综上，所求M点的坐标为(22看,6)或(22V3,2).点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程,充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。解：直线l过点P0(1,0),倾斜角为一，所以直线l的参数方程为4iEt_2,(t为参数)，因为直线i和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程322，0.22-