用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现

1、用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现专业班级：材料43学生姓名：王宏辉学号：2140201060指导教师：李耀武完成时间：2016年6月8日用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现实验内容：2，一221用家特卡洛方法估计积分xsinxdx,e-xdx和exydxdy的值，00x2y21并将估计值与真值进行比较。2用蒙特卡洛方法估计积分1ex2dx和1dxdy的值,并对误0x2y211x4y4差进行估计。要求：(1)针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；(2)利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；(3)进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过

2、计算均方误差(针对第1类题)或样本方差(针又t第2类题)以评价估计结果的精度。目的：(1)能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；(2)熟练使用MATLAB对样本进行基本统计，从而获取数据的(3)能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析。实验原理：蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。具体操作如下：bb()b一一一般地，积分Sg(x)dx改与成Sf(x)dxh(x)f(x)dx的形aaf(x)a式，(其中为f(x)一随机变量X的概率密度函数，且f

3、(x)的支持域x|f(x)0(a,b),h(x)幽)；令丫牛凶，则积分S=E(Y);利用f(x)matlab软件，编程产生随机变量X的随机数，在由yh(x)I(x),I(x)1,x(a,b),得到随机变量Y的随机数，求出样本均0,x(a,b)值，以此估计积分值。积分Sg(x,y)dxdy的求法与上述方法类似，在此不赘述。A概率密度函数的选取：0(a,b),为使方法普一重积分，由于要求f(x)的支持域x|f(x)x2遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数f(x)1e万支持域为21-R,故选用f(x)Je2。.2支持域为R2。八、一13类似的，一重积分选用f(x,y)-e2,估计评价:进行重复试验

4、，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。程序设计：依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function函数内容。编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。程序代码及运行结果：第一类一重积分程序代码：%造示性函

5、数functionI=I1（x,a,b）ifx>=a&&x<二bI=1;elseI=0;%保存为I1.m%嘴一类一重积分，程序主体：%保存为f11.mfunctionoutf11=f11()g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数g1=inline(g1);a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限b=input('输入积分上界b:');Real=input('积分真值:');输入积分真值fprintf('输入样本容量10

6、71-1072:)V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');form=V(1):V样本容量10Am1-10Am2n=10Amforj=1:10x=randn(1,n);fori=1:nt1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量y1=g1(x)*(pi*2)A0.5),*exp(x.A2/2);Y1(j)=y1*t1'/n;%单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y1*t'/10;%十次均值D=abs(EY-Real);%绝对误差RD=D/Real;%

7、绝对误差d=0;fori=1:10d=d+(Y1(i)-Real)A2;endd=d/(10-1);EY1(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10Am时的样本均值D1(m-V(1)+1)=D;%绝对误差RD1(m-V(1)+1)=RD;%绝对误差MSE1(m-V(1)+1)=d;%方差endReal,EY1,D1,RD1,MSE1outf11=EY1;D1;RD1;MSE1;%存放样本数字特征运行结果:%估计积分xsinxdx,积分真值为10m=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):x.*sin(x)gi=x.*sin(x)输入积分下界a:0输入积分上界b:pi/2积分真值：1输入样

8、本容量10AV1-10AV2:V1:1V2:5n=100100010000100000Real=EY1=1.26351.00881.00661.01091.0018D1=0.26350.00880.00660.01090.0018RD1=0.26350.00880.00660.01090.0018MSE1=0.64390.02050.00280.00060.0001m=1.26351.00881.00661.01091.00180.26350.00880.00660.01090.00180.26350.00880.00660.01090.00180.64390.02050.00280.0006

9、0.0001一一一2%估计积分e-xdx真值为0.88620M=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):exp(-x.A2)gi=exp(-x.A2)输入积分下界a:0输入积分上界b:+inf积分真值：piA0.5/2%0.8862输入样本容量10AV1-10AV2:10100100010000Real=0.8862EY1=0.93330.90770.88730.8871D1=0.04700.02150.00100.0009RD1=0.05310.02430.00120.00100.19270.01120.00160.00000.93330.90770.04700.02150.05310.

10、02430.19270.01120.88730.88710.00100.00090.00120.00100.00160.0000第一类二重积分程序代码:%造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数functionI=I2(x,y)ifxA2+yA2<=1I=1;elseI=0;end%保存为I2.m施一类二重积分程序主体%保存为f12.mfunctionoutf12=f12()g2=input('输入二元被积函数如exp(x.A2+y.A2):','s')%输入被积函数g2=inline(g2,'x','y');Real=

11、input('积分真值:');输入积分真值fprintf('输入样本容量10AV1*10AV1-10AV2*10AV2:r')V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');form=V(1):V样本容量10Am1-10Am2forj=1:10x=randn(1,n);y=randn(1,n);fori=1:nt2(i)=I2(x(i),y(i);%示性及求和向量endy2=g2(x,y)*(2*pi).*exp(x.A2+y.A2)/2);Y2(j)=y2*t2&#

12、39;/n;%单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y2*t'/10;%十次均值D=abs(EY-Real);%绝对误差RD=D/Real;%绝对误差d=0;fori=1:10d=d+(Y2(i)-Real)A2;endd=d/(10-1);EY2(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10Am时的样本均值D2(m-V(1)+1)=D;%绝对误差RD2(m-V(1)+1)=RD;%绝对误差MSE2(m-V(1)+1)=d;%方差endReal,EY2,D2,RD2,MSE2outf12=EY2;D2;RD2;MSE2;%存放样本数字特征%保存为f12.m运行结果：%估计

13、积分ex2y2dxdy,真值为pi*(exp(1)-1)%5.3981x2y21m=f12输入二元被积函数如exp(x,A2+y.A2):exp(x,A2+y.A2)g2=exp(x.A2+yJ2)积分真值:pi*(exp(1)-1)%5.3981输入样本容量10AV1*10AV1-10AV2*10AV2:V1:1V2:4n=100100010000Real=EY2=4.77025.12505.4317D2=0.62790.27320.0335RD2=0.11630.05060.0062MSE2=3.89650.55640.0247m=4.77025.12505.43170.62790.273

14、20.03350.11630.05060.00623.89650.55640.02475.40410.00600.00110.00175.40410.00600.00110.0017第二类一重积分程序代码：%造示性函数functionI=I1(x,a,b)ifx>=a&&x<二bI=1;elseI=0;end%保存为I1.m施二类一重积分程序主体%程序保存为f21.mfunctionoutf21=f21()输入被积函g1=input('输入一元被积函数如exp(x.A2):','s')%数g1=inline(g1);a=input(,

15、输入积分下界a:');%输入积分上下限b=input('输入积分上界b:');fprintf('输入样本容量10AV1-10AV2:丁)V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');form=V(1):V(2)%样本容量10Am1-10Am2n=10Amforj=1:10x=randn(1,n);fori=1:nt1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量endy1=g1(x)*(pi*2)A0.5),*exp(x.A2/2);Y1(j)=y1*t1

16、9;/n;%单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y1*t'/10;%十次均值d=0;fori=1:10d=d+(Y1(i)-EY)A2;endd=d/(10-1);EY1(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10Am时的样本均值MSE1(m-V(1)+1)=d;%方差endEY1,MSE1outf21=EY1;MSE1;%存放样本数字特征%程序保存为f21.m运行结果：1、一2%估计积分exdx0m=f21输入一元被积函数如exp(x.A2):exp(x.A2)gi=exp(x.A2)输入积分下界a:0输入积分上界b:1输入样本容量10AV1-10AV2:V1:1V

17、2:4n=100100010000EY1=2.07821.65831.50291.4590MSE1=0.43150.08890.00570.00081.45900.00082.07821.65831.50290.43150.08890.005712%用matlab指令求积分exdx0f=inline('exp(x.A2)')f=Inlinefunction:f(x)=exp(x.A2)>>S=quadl(f,0,1)1.4627第二类二重积分程序代码：%造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数functionI=I2(x,y)ifxA2+yA2<=1I=1

18、;elseI=0;end%保存为I2.m施二类二重积分函数主体%程序彳存为f22.mfunctionoutf22=f22()g2=input('输入二元被积函数如1./(1+乂八4+丫八4)八0.5:',&')%输入被积函数g2=inline(g2,'x','y');fprintf('输入样本容量10AV1*10AV1-10AV2*10AV2:丁)V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');form=V(1):V(2)%样本

19、容量10Am1-10Am2n=10Amforj=1:10x=randn(1,n);y=randn(1,n);fori=1:nt2(i)=I2(x(i),y(i);%示性及求和向量endy2=g2(x,y)*(2*pi).*exp(x.A2+y.A2)/2);Y2(j)=y2*t2'/n;%单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y2*t'/10;%十次均值d=0;fori=1:10d=d+(Y2(i)-EY)A2;endd=d/(10-1);EY2(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10Am时的样本均值MSE2(m-V(1)+1)=d;%方差endEY2,MS

20、E2outf22=EY2;MSE2;%存放样本数字特征施二类二重积分，程序保存为f22.m运行结果:%估计积分1dxdyx2y21Jix，/m=f22输入二元被积函数如1./(1+xA4+yA4)A0.5:1./(1+xA4+yA4)A0.5g2=1./(1+xA4+yA4)A0.5输入样本容量10AV1*10AV1-10AV2*10AV2:V1:1V2:4n=10n=100100010000EY2=3.07592.96992.85662.8269MSE2=3.07592.96991.32670.09002.85662.82690.00600.0014实验结果整理：第一类一重积分：2估计积分x

21、sinxdx0积分真值：1积分估计值：1.0018样本容量：10100100010000100000样本均值：1.26351.00881.00661.01091.0018绝对误差：0.26350.00880.00660.01090.0018相对误差：0.2635均方误差：0.6439、一一2估计积分e-xdx0积分真值：0.8862样本容量：10样本均值：0.9333绝对误差：0.0470相对误差：0.0531均方误差：0.19270.00880.00660.02050.00280.01090.00180.00060.0001积分估计值：10010000.90770.88730.02150.0

22、0100.02430.00120.01120.00160.8871100000.88710.00090.00100.0000第一类二重积分:估计积分exydxdyx2y21积分真值：5.3981积分估计值：5.4041样本容量：10100100010000样本均值：4.77025.12505.43175.4041绝对误差：0.62790.27320.03350.0060相对误差：0.11630.05060.00620.0011土匀方误差：3.89650.55640.02470.0017第二类一重积分:12估计积分exdx0积分估计值：1.4590样本容量：10100100010000样本均值：

23、2.07821.65831.50291.4590样本方差：0.43150.08890.00570.0008用matlab指令求得积分结果1.4627第二类二重积分:估计积分f1dxdy51x4y4积分估计值：2.8269样本容量：10100100010000样本均值：3.07592.96992.85662.8269样本方差：1.32670.09000.00600.0014实验结果分析:2从第一类积分看，以估计积分xsinxdx为例:0样本容量：10样本均值：1.2635绝对误差：0.2635相对误差：0.2635均方误差：0.643910010001.00881.00660.00880.00660.00880.00660.02050.0028100001000001.01091.00180.01090.00180.01090.00180.00060.0001随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势；随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，说明估计具有无偏性；绝对误差、相对误差、均方误差呈减