电磁场与电磁波例题详解

1、第 1 章矢量分析例 1.1 求标量场e=(x+y)2z通过点 M(1,0,1)的等值面方程。解：点 M 的坐标是xo=1,y0=0,z=1,则该点的标量场值为*=(x0+y。)2-zo=00其等值面方程为：e=(x+y)2z=0或z=(x+y)2例 1.2 求矢量场 A=axxy2+ayx2y+azzy2的矢量线方程。2xydxdy-2xydz-2-yz解之即得矢量方程产；：，C1 和 c2 是积分常数X-y=c例 1.3 求函数中=xy2+z2-xyz在点(1,1,2)处沿方向角?二，二丁二的方向导数。=2xy-xzM=(1,1,2)=0,-M41,1,2)=2zxyM41,1,2)=3,

2、tz1：21cos-二一，cos-=,cos=一222所以从而有dxdy2 -2jxyxyddzI一2xyyz解：由于_2M=1,1,2)=yyzM=41,1,2)=-1,解：矢量线应满足的微分方程为讲M41,1,2)cyflM=-cos1-cos-：cos=1x.:y:z例 1.4 求函数中=xyz 在点（5,1,2）处沿着点（5,1,2）到点（9,4,19）的方向导数。解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为l-ax(9-5)ay(4-1)az(19-2)=a*4ay3az17其单位矢量一.-.一.-43l=axcos：.aycos：azcos=axayaz.3143147.3

3、14(5,1,2)=yz(5,1,2)丁(5,1,2)次I=xz(5,1,2)=10,-(5,1,2)=xy(5,1,2)=5cz所求方向导数cos1cos-cosV7fI=rxr二xcy二z123,314例 1.5 已知中=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求在点（0,0,0）和点（1,1,1）处的梯度。解：由于Vt=W(2x+y+3)+ay(4y+x2)+az(6z-6)所以vp(0,0,0)=ax3-ay-2-az6,V(P=a*6+ay3例 1.6 运用散度定理计算下列积分：I=axxz2ay(x2y-z3)az(2xyy2z)dSS222S 是 z=0 和 z=ax_y所

4、围成的半球区域的外表面2解：设：A=axxz2+ay(x2y-z3)+az(2xy+y2z)则由散度定理Ad.=；AdSs可得I=；AdS=、Ad.=(z2x2y2)d.=r2d.s2:ya4=0o2orsin?drdid：2:-a4=d:2sin而？rdr25二一二a5例 1.7 试求V，A和mA:23322A=axxyzayxzazxyA(r,z)=arr2cos:azr2sin;1 一.1A(r,F,)=arrsinra-sina2cosi解:.生；z=ax(2x2y-x3)ay(3xy(1)ex2_2_2_3z-2xy)az(3xz-2xyz)ax:xAxayyAyaz:zAzax:x

5、23xyzay:y3xzaz.z22xy(2)1FA;-lI-1fQ.：9一一(rcos)0(rsin)=3rcosarracpazarra中az1-_1r erczr疗czArA中Azr2cos中02.rsin.z:rrr、A=中2=ar(rcosr=arrcos：-a2rsin:-0)ra.(0-2rsin)az(0r2sin)azrsinar%A=TWrsin65rArraursinia.arra_,-21二二厂rsindrd中，0r0W邛W2n、z=0)和圆柱侧表面S3(面元矢量dS3=arrd中dz,0W9W2兀、0zr=5),故有：AdS=JSAdS1+AdS2十上AdS352n2

6、一，闻52冗一2一一，自=01(a.r+az2z)azrdrd*zy+(a.r+az2z)(azrdrd中)z田42n一2+&0(a.r+az2z)ajddz士52二2二4=o08rdrd+0，Ii125ddz二4252二1252二4二1200二:.尸 Adi=4AdS=1206,即证。.s例 1.10 现有三个矢量场 A、B、C,分别为：A=asincos 中+aecosecos*acpsin 中,B=arzsin*+atpzcos*+az2rzsin 中,C=ax(3y-2x)ayxaz2zr2rr:；zr；:r；:z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋

7、度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发放场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度:1:一一.1:.二)一(rsin 二 cos)(sin【cosicos)r；:rrsin1：二 0rsinua；：故 B 可以由一个标量函数的梯度表示，C可以由一个矢量的旋度表示。(sin二1沾rsin竺r*2sinrarra.rsin%q.:rAc0ArsinAq1sin1：:rsincos决rcos【cos一 rsin 日 sin中I1%.B=-r.:r1汨(rBr)7-.9.z=-(rz2sin:)rfr=2rsin:arazari1

8、B=r.:rBr:zBz：:rz2sin:ra:的rz2cos;azcz2rzsin中-CxC=-xFx-y:z=-202axayazaxay8azexCx-yCy:zCz.x3y2-2x-y2xzz2z=az(2x-6y)(-sin)ar第 2 章静电场与恒定电场例 2.1 已知半径为 a 的球内、外的电场强度为下式所示，求电荷分布2lla，、E=aE0F(ra)r-33、L-LLrcr,、E=arE05-3-3(ra)12a2a3,-p-解：由高斯定理的微分形式中E=一,得电荷密度为P=劭E+1*in8Ae)十1二上可得:rsin丁rsin例 2.2 一个半径为 a 的均匀极化介质球，极化

9、强度是azP0,求极化电荷分布解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为：p-P_-azB=0极化电荷面密度为：ps=Pn=azP0-ar=P0cos例 2.3 一个半径为 a 的导体球，带电量为 Q,在导体球外套有外半径为 b 的同心介质球壳，壳外是空气，如图 2.1 所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。图2.1用球坐标中的散度公式2AA2r；r(rE0F)=0rcrr13-r2Eo(5-3J)=；oE。r2；:r2a2a3152a3(ra)/22(a-r)(r；a)解：由介质中的高斯定律可知,在 r 之 a 区域内：qDdS=Dr，4nr2=Q,故 D=3s由本构方

10、程 D=/E+P=名/0E=说得:介质内(arb):E=)D=arQ,P=D/E=ag二1Q；4二；r；r4二；r1-Q介质外(br):E=D=arQ2,P=0；o4,：=or介质内表面束缚电荷面密度分别为：P1psrzb例 2.4 若真空中电荷 q 均匀分布在半径为 a 的球体内，计算球内，外的电场强度以及电场能量。解：由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为 r 的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。在球外(rAa),取半径为 r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算:DdS=Dr4 二 r2=q故有Dr=q4二；r2对球内(rb),球心距为c(ca-b)的两球面之间有密度为P

11、的解：为了使用高斯定理，在半径为 b 的空腔内分别加上密度为+P 和-P 的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算P1正电荷在空腔内产生的电场为Ei=an,3；。2负电何在空腔内广生的电场为E2=a23；。其中单位向量ai,a2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点考虑到 ra1ran=cax,最后得到空腔内的电场为：c3；0ax例 2.7 一个半径为 a 的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是 p，求圆柱体内、外的电场强度。解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为 r 的柱面上，电场强度大小相等

12、，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为 r,高度为 1 的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有2一r：；DdS=；0Er2二rl=q,q=rl,Er=s2；。计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为 r,高度为 1 的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有一2：?a2DdS=OER2-rl=q,q=1 二 al,Er=s2ro例 2.8 一个半径为a的均匀带电圆盘，电荷面密度是 Ps。，如图 2.4 所示。求轴线上任一点的电场强度。解：由电荷的电荷强度计算公式及其电荷的对称关系，可知电场仅有 z 的分量代入场点源点r二zaxraxrcos:ayrsin:dS=rdrd电场的 z

13、 向分量为求电荷密度解：从电场分布计算计算电荷分布，应使用高斯定理的微分形式-D用球坐标中的散度公式，并注意电场仅仅有半径方向的分量，得出rl 处的电场为 Er=3ql4E(r)=l(r)(r-r)TdSEzzrdro(z2-r2)3/2_：S01z二|一(a2+z2)1/21上述结果适用于场点位于z0 时。但场点位于 zl 时,ll22(rl)(1-)2r(1-2-3-)22(r-l)r1l2(1-)r1一J、(12-3)将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出 Er=3ql22 二；r4图2.52222224(x-a)2y2z2=x2y2z2此方程可以改写为这是球心在（丝,0,0）

14、,半径为过的球面 33例 2.12 如图 2.6 所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L,半径为 a,且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，P=P0ax如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为P=4P=0。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向 n=ar,极化强度在 z 方向，故:=Par=0在顶面，外法向为 n=ax,故isp二Pax二P。在底面，外法向为 n-ax,故：sp=p（-ax）=-Po0图2.6例 2.13 假设 x0 的区域为电解质，电解质的介电常数为3无，如果空气中的电场强度E=*+4输+5(V/

15、m),求电介质中的电场强度 E2。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量Eit=4ay+5ax,可以得出介质中电场强度的切向分量E2t=4+51；对于法向分量，用 Din=D2n,即50Eix=2x,并注意E仅=3,8=3名。,得出 E2x=1。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为E2=ax4ay5az(V/m)例 2.14 一个半径为 a 的导体球面套一层厚度为 b-a 的电解质，电解质的介电常数为,假设导体球带电 q,求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为 00对于电介质和空气中的电场分布，

16、用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由DdS=4 叮2Dr=q 得出Dr=s电场为：Er=q在介质中(arb)。4二；r4二；0r电位为E=Edr=f-q-dr+f-q-dr=-q+q-(-)(arb)rr4 二；024 二；0r例 2.15 真空中有两个导体球的半径都为 a,两球心之间距离为 d,且 da试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得让第一个导体带电 q,第二个导体带电-q,则Pi2=P22=14二；P12=P21=14二；由C=9二-U12例 2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为

17、a,b,其间媒质的电导率为圻,当外加电压为U。时，计算功率损耗并求电阻解：设内，外极板之间的总电流为I。，由对称性，可以得到极板间的电流密度为Jau-a2 二 rE_aE2ari=Piq-Pi2q=4二；0a4二；0d2-p2iq-p22q-4二；0d4二；0aR=I4 二二1abJ4 二二 r 例 2.17 一个半径为 a 的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为仃 o 略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为 I,则任意点的电流密度为导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）接地电阻为U0

18、a=bEdr=4二二ab从而4 二二 U0I=11,二U0-,J-arJ1、2()r单位体积内功率损耗为J2p=二TJ-Aabj总功率耗损为U2由 P=,得Rb2P=气p4二rdr=224；U0bdr4；U0J_LaJ2ar,4 二 rE 二2ar4 二二 ra2a4二二dr=4二二aR=U=I4二;二a例 2.18 如图 2.7 所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为di和d2,介电常数分别为鸟和%,电导率分别为巴和。2,当外加电压 Uo时， 求分界面上的自由电荷面密度。解：设电容器极板之间的电流密度为 J,则JJEi=E=于是JdiJd2Uo=112二1二2即J;did2T分界面

19、上的自由面电荷密度为图2.7例 2.19 在电场强度 E=a*y+ayX 的电场中把带电量为-2q(C)的点电荷从点(2,1,-1)移到点(8,2,-1),试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。(1)沿曲线x=2y2;(2)沿连接该两点的直线。解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力x作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径 C上进行线积分，即 W=Fd=-2qEd。但注意到题目给出的场强为静电场CC的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。方法一：；DmE=0,此电

20、场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。由E=中=a*y+ayX 可得，电位中(x,y,z)=xy+C,其中 C 为常数。点(2,1,1)到点(8,2,-1)之间的电位差U=5(2,1,-1)邛(8,2,-1)=14故无论是沿曲线x=2y2还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷-2q(C)所做的功W=-2qU=-28q(J)。方法二：电场力 F=-2qE=ax(-2qy)+ay(-2qx),Uo；2di1点（2,1,1）移到点（8,2,1）变化的只是 x 和 y,故有 dl=axdxaydy,Fdl=-2qydx-2qxdy(1)曲线C:x=2y2有dx=4ydy2一,一._2、2_2.

21、一1(-2qy4ydy-2qdy2y)=1-12qydy-28q(J)(2)曲线C:y1=1,即x=6y4,有dx=6dyx-2622(-2qy6dy-2qdy(6y4)=1(-24qy8q)dy=-28q(J)例 2.20 球形电容器内外导体球半径分别为 a 和 b,如果保持内外导体间电位差U 不变，试证明当内外导体球半径满足关系 a=b/2 时，内导体球表面的电场最小,并求此最小电场强度。解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系由于内外导

22、体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为 Q 的电荷， 因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系,内导体球面为r=a,外导体球面为r=b。在 ar62 时，巴0;ab/2 时，三，0;故 a=b/2 时 Er有最小值。；:aja.当内外导体球半径满足关系 a=b/2 时，内导体球表面的电场最小。此最小值为 Em-ar型=ar处。ab例 2.21 电场中一半径为 a 的介质球，已知球内、外的电位函数分布为：；-；03cos?1-E0rcosaE0-,r-a；,2；0r2=-0-E0rcos,r_a；2十验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解：题目给

23、出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向切向则为 ae 和右中方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面r=a上工=Et；也可以直接根据电位的边界条件，在r=a的分界面上，得到巴=匕的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据Pps=P6来计算。1)验证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件，有：r=a时，%=E0acos9+aE0cos9=-3-0-E0rcos日=92；2；0；2；0,Q二平2,边界条件成立。方法二：-E二Ei-.I；-032cos 二；-03sin-=ar(E0cos-aE0飞)aX-E。

24、sinaE03-),r-a；,2；0r-；-2；0ra=b/2 时有Er的最值.:a分界面r=a上，n=ar_._.;_;o_.3；o.Eit=a4-Eosin【Eosin1)=a-Eosin?-E2t；-2；o-；2；o,Eit=E2t,边界条件成立。2）计算球表面的束缚电荷密度:由上面可得o2aPl=(-o)Ei=(-o)ar(1FKE0cos式一1P2=(；0-；)E2=o,ra例 2.22 有一半径为 a,带电荷量为 q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为小和无，分界面可视为无限大的平面，求：（1）球的电容量；（2）储存的总静电能。解：此导体球为单导体系

25、统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由 C=Q求出， 其中Q为导体球所带电荷量， 即 q；为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。E2一23；o；,2；0(arEocos二-a,Eosini),r三aEi二ar(E0cos二32cos二；一；o3a%丁)iFaEosin、3-),rarE23；o(arE0cos?-a【E0sin),D=；oEP=;E.P=(；-；o)E3；2；。*，-_/40年，图 2.8由图 2.8 所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分

26、布具有球对称特性。在raa处做同心的高斯闭合球面，有22sDdS=Dr12 二 rDr22r=q在的和与的介质分界面上，有Eit=E2t,即Eir=E2r=E.，故有Dir=；1Eir=；1Er,D2r=；2E2r=；2Er,Dr12二r2Dr22二r2=（；1Er-工2Er）2r2=qq4 二 a（；i一）（注：也可计算为:1_2We二-E2d11E2r2sinMrdid-iii12E2r2sindrdid:0aa加20222_q2 2n/fon/foFJaFJa24：a（”；2）第 4 章恒定磁场例 4.1 半径为 a、高为 L 的磁化介质柱，如图 4.1 所示，磁化强度为M0(M0为常矢

27、量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流Jms。解：取圆柱坐标系的 z 轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0 处，上底面位于 z=L 处。此时，M=azMo,磁化电流为Jm=1M=1(M0az)=0在界面z=o上，n=3z,JmS=MMn=M0azM(aj=0zIIIS0zz在界面 z=L 上，n=az,Jms=Mn=M03zxaz=0在界面 r=a 上，n=ar,JmS=M 父 n=M0az父 ar=M0atp例 4.2 内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流 I,求柱内、外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为0,r:二a0

28、,rbJ=azI二（b2-a2）图4.1由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当 ra 时，磁场为 0。当 arb 时，选取安培回路为半径等于 r 且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为例 4.3 半径为 a 的长圆柱面上有密度为J,。的面电流，电流方向分别为沿圆周方向和沿轴线方向，分别求两种情况下柱内、外的 Bo解：(1)当面电流沿圆周方向时，由问题的对称性可以知道，磁感应强度仅仅是半径 r 的函数，而且只有轴向方向的分量，即B=azBz(r)由于电流仅仅分布在圆柱面上，所以在柱内或柱外VMB=0。#B=azBz(r)代入VMB=懿噜=0,即磁场

29、是与 r 无关的常量。在离面无穷远处的观察点，由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流元之和，所以磁场为零。由于 B 与 r 无关，所以，在柱外的任一点处，磁场包为 0。为了计算柱内的磁场，选取安培回路为图 4.2 所示的矩形回路。,22=J 二 r-a22Ir-ab2由Bdl=2irrB(p=N0I,得 B(p=oIr2-a2ZT22-2二rb-a当 rb 时，回路内包围的总电流为 I,于是 B(p=JI有寸 Bdl=hBz=hN0Js0因而柱内任一点处，B=azN0Js0ZSzSc二 a 上 y2-xay2x-aolxa2n(x+aj+y2x-a(x-af+y2(2)当面电流沿轴线

30、方向时候，由对称性可知，空间的磁场仅仅有圆分量，且只是半径的函数。在柱内，选取安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆。可以得出，柱内任一点的磁场为零。在柱外，选取圆形回路，cB,d=N0I,与该回路交链的电流为2naJs0,B.dl=2 兀田中，所以 B=5 铲。，。9。例 4.4 如图 4,3 所示，一对无限长平行导线，相距 2a,线上载有大小相等，方向相反的电流 I,求磁矢位 A,并求 Bo解：将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加。对单个导线，先计算有限长度产生的磁矢位。 设导线的长度为 1,导线 1 的磁矢位为(场点选在xoy 平面)oll2dzol|l2(l2)2r

31、i212AiazIiazln4二2(r12.z2/2二ri,.Lll当 1Tg 时，有A=azlnL2二r1由两个导线产生的磁矢位为A=az(A+A2)=az 翌 J_jLazqnaz 四 ng”/2nIrir2J2nr14n(x-a)+y2相应的磁场为同理，导线 2 产生的磁矢位为0lA2-azln2二r2例 4.5 已知内，外半径分别为a,b的无限长铁质圆柱壳（磁道率为k）沿轴向有恒定的传导电流 I,求磁感应强度和磁化电流。解：考虑到问题的对称性，用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度。-0IIIa:2二r.22XMXDHXDQLrFa.,IIIrM:Jm-M=az=ar2r当ra 时

32、，H=aqj2a22 二 r磁感应强度如下：ilr2IrMa时，B=a52;ra时，B=a中2二a2二r为了计算磁化电流，要求磁化强度:1,、lrrEa时，M=acp(-1)2,与2二aiLIra时，Macp(1),JmM0L2二r在r=a的界面上计算磁化面电流时， 可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即Jms=MiniM2n2这里的ni和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果设从介质 1 到介质 2 的单位法向是 n,则有Jms=M1n-M2nJms=Mn=Mar=(rfla-2二b1.LI(胃,，1八Jms-az(1|1)-0

33、2”2,az(d-1)02,100代入界面两侧的磁化强度，并注意n=a.，得例 4.7 空气绝缘的同轴线，内导体的半径为 a,外导体白半径为 b,通过的电流为 Io 设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。IrIra 时，H=a(p2;arb 时，H=a 中2 二 a2r单位长度的磁场能量为2.2a1obIo口八|八|bWm=L0H2二rdr+0H22二rdr=0+-0lne02a216二4二ab故得单位长度的自感为 L=+lnb,其中的第一项是内导体的内自感。8 二 2 二 a

34、例 4.8 一个长直导线和一个圆环(半径为 a)在同一平面内，圆心与导线的距离是 d,证明它们之间互感为 M=N0(d-Vd2-a2)。IJj证明：设直导线位于 z 轴上，由其产生的磁场 B=2-：x2二(drcos?)其中各量的含义如图 4.4 所示。a2二LI磁通重为;Bds:-rdrd-002二(d,rcos1)上式先对日积分，并用公式2二 d-_2-0dacos,d2-a2尔于所以互感为 M=(d-d2-a2)图4.4例 4.9 一根通有电流 I 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中。(1)求出 H,B,M 及磁化电流分布；(2)若将导线埋在介质分界面间，电流 I 沿 z 方向流动，在

35、 z0 的半无穷空问中充满导磁率为N的均匀介质， 在ZAO的半无穷空间为真空， 求出 H,B,M 及磁化电流分布；(3)若将导线埋在介质分界面间，电流 I 沿 z 方向流动，在 x0 的半无穷空间为真空， 求出 H,B,M 及磁化电流分布。解：(i)由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线,上-cHdl=H：2 二 r=II-I二 H 中=，即 H=a(p2 二 r2 二 r454B1-(J-1)I故：B=NH=acp,M=丁一 H=(-_1)H=acp,Jm=VMM=0,5二r002 二 r(2)如图 4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线 C,由安培环路定律有：,cHdl 二 H2

36、r 二 IB1，Mi=H=(7-1)H=a“0o.-(_2r-1)IJm=VxM=0,Jms=MMn=Mxar=-az;IIISIz2 二 rza0:B2=N0H=a%：，M2=0,Jm=0,Jms=。如图 4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线 C,由安培环路定律有:伊dl=H1：,j.rH2：；”r=I对于分界面，x=0处a中为法向,根据边界条件Bin=B2n,B一xA0：M2=Yj-_H2=0,Jm=0,-0I2：则有:-1)I2:r有B仰=B2(p=B(p,即：Hi(p=-y,代入安培环路定律，有B：二 r0I口,0二rJ。I.0二rH1H2xacp=0;Jms=0。图4.5(a

37、)图4.5(b)例4.10半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I。如图4.6所示，取图中a=2n处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。图4.6解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是r方向的射线，所以中m应该与r和z无关，拉普拉斯方程应该是:解出来m-CD代入已知条件a=中=2n为参考点，有中m=2nC+D再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路l,起点A和终点B在邛=2n的两侧，由于H=-中m,比照静电场中电场强度和电位之间的关系，,B有*mA3mB=AHdl力，中mA=0,9mB=2垢+D,则2项+口=-IA这

38、样始终有两个未知量不能确定。于是又考虑中=2n和平=0是同一点,那么参考点也可以看作是邛=2n，代入中m=CP+D中，中=2n时中m=D=0,故中m=C平，这就只有一个未知量了。B-再做参考积分回路，则mA-；：mB=0-2二C=Hd=IA例 4.11 一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度 6=1mm,铁心内半径a=8cm,横截面边长 b=2cm,相对磁导率叫=500。 铁心上均有紧密绕有线圈 1000 匝， 如图 4.6 所示。忽略气隙附近的漏磁通，求此线圈的自感。图 4.6解：由于忽略气隙附近的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感应线只在磁环内流动，且垂直磁环截面，磁感应线穿过

39、空气隙时仍均匀分布在截面上。设磁环上磁感应强度为Bk，磁场强度为HR；气隙中磁感应强度为B0,磁场强度为H。，由安培环路定律有：bHdl=H 即（2 町一 6）+小邛石=NI,其中 r=a+=9cmC2对于空气与铁心的分界面，a中为法向，根据边界条件即=B2n,有B：一 BB1（p=B2cp=Bcp,可行H闻=H，H0（p=-JJ0故有 B（2 叫6）+器芯=NI,解得Btp=N-02二r一二,通过铁心截面的磁通量=fBepdScp=Bep,Sep=-b2S2二r-解得 C 二一，故m=C-2 二b=0.02m,r=0.09mN=500%N=1000,得Nb2,200。=0.251(mH)2-

40、：r-：丁工线圈的自感 LNb22 二 r-、 ._7十代入数据C.=10m,第 5 章时变电磁场例 5.1 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。解：将J=E代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有-_cP_cP、(二E)=；：E)一二0；:tft由于：D=；J、(E)=、E=：-二:-t.所以：一十,P=0,P(t)=Poe6ft；例 5.2 设 z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为H(x,y,0,t)=axH0sinaxcos(ot-ay),试求理想导体表面上的电流分布、 电荷分布以及分界面处的电场强度。解：JS=nH=azaxH0s

41、inaxcos(t-ay)=ayH0sinaxcos(t-ay):S-=H0sinaxcos(t-ay)=aH0sinaxsin(t。ay).:t：:yPS=-a0sinaxcos(t-ay)c(x,y)假设 t=0 时，ps=0,由边界条件n-D=Ps 以及 n 的方向可得aH0sinaxcos(t-ay)0aH0sinaxcos(t-ay)0例 5.3 试求一段半径为 b,电导率为仃， 载有直流电流 I 的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理D(x,y,0,t)=azE(x,y,0,t)=az解：如图 5.1,一段长度为 l 的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的 z 轴重合,直流电流将均

42、匀分布在导线的横截面上，于是有：在导线表面 H它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有例 5.4 在两导体平板(2=0 和 2=)之间的空气中传播的电磁波，其电场强度矢量 E=ayE0sin(n/d)zcost-kx),其中kx为常数。试求：(1)磁场强度矢量 H;(2)两导体表面上的面电流密度Js。解：由麦克斯韦方程组得 VME=-AxgEy/+az(8Ey/dx)=-6B/祝，对上式积分得B=ax-E0cos(z)sin(t-kxx)azEkxsin(-z)cos(t-kxx),dddEEnk.二即H=ax0-cos(z)sin(t-kxx)+az-0-sin(z)co

43、s(ot-kxx)。d0d0dE=azCT,2二b因此，导线表面的坡印廷矢量S=EH-arI22。二-SSds-SSardS=图5.12-2nbl2。nb)=I(2)导体表面上得电流存在于两导体相向的一面,例 5.5 一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a,外导体半径为b,长度为L,同轴线两端用理想导体板短路。已知在aWrEbQMzEL区域内的电磁场A.B.为 E=arsinkz,H=acoskz确定 k。故z=0面上，法线n=a*z,面电流密度Js=az=Hz=d面上，法线n=-az,面电流密度Js=-Az父Hz-0E0二-ay-dJ0E0二二ay-dJ0sin一kxx);sin(t-k

44、xx)。(D确定A,B之间的关系。(3)求r=a&r=b面上的Ps,Js。解: 由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。(1)A,B之间的关系。所以(2)因为:zAk=aicoskz-jJH-r,1rH.i，.rH-H=-ara-Bk一.=arsinkz=j=Er所以(3)因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为nMH=Js,nD=Ps在r=a的导体面上，法线n=a，所以对上式积分，得磁场强度瞬时值为E0Hax-sirko(z-ct)-ay0c故坡印廷矢量的瞬时值EcS=EH-azV0c(2)因为 E 的模和幅角分别为EOSIAk(z-ct)二k0(z-ct)E0cosk0(z-c

45、t)所以，E 随时间变化的轨迹是圆Jsa=nH；-sa=nDsaBB1=azcoskz=azcoskz_r_aAAr：a=sinkzr与=sinkz_r_a在r=b的导体面上，法线n=_ar,所以Jsb=nxH上=-azBcoskz一=-azcoskzbPsb=nDr3=sinkzr*=sinkz一 r1-b例 5.6 已知真空中电场强度 E=axE0cosk0(zct)+ayE0sink0(zct),式中k0=2n/%=8/c。试求:(1)磁场强度和坡印廷矢量的瞬时值。(2)对于给定的 z 值(例如 z=0),试确定 E 随时间变化的轨迹(3)磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均

46、值。解：(1)由麦克斯韦方程可得-EyFExE=a-ayx二z二z-axE0k0cosk0(z-ct)-ayE0k0sink0(z-ct)_Li一一0.:t22+E=ExEyE05(3)磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为1.av,eReED41jkzj(-k0z)jkz-j(-rk0z)(axEe0ayEOe2)(a*；0E0e0ay；0E0e2)412一二，0E02-12av,m-2-0E0例 5.7 试将麦克斯韦方程组写成 8 个标量方程。解：已知麦克斯韦方程组的积分形式为:二一STdS，sBdS=0-sDdS=q(1)直角坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为:Sav=

47、Re；EH=-azE。220cdS,Edl微分形式为:_-DH=JftE=-Ft，又因为直角坐标系中A色fxt:yaxd:xAxayAyaz:zAz柱坐标系中A1：/A、1AA=(rAr)r二rr二：z11、A=-r球坐标系中七1f2A=-(rA)r二rarar.:rArarArsin二r2sin-C0rsinacprsin6AL,：z(aydyazdz)=SJx；:DXdydz：t(axdxazdz)工lzH(aydyaxdx)二SlE(aydyazdz)xE(axdx-azdz)Jzft.也：Bx,xft汨ydydzdxdzdxdz,dxdyEE(aydy+axdx)lz；y:t.:Bzd

48、xdyBxdydzBydxdz-Bzdxdy=0SxSySz-Dxdydz，iDydxdzSxSyDzdxdy=qSz麦克斯韦的微分方程可写为:-Hz；：Hy.:y；z.Hx：Hz；z.:Hy：Hx.:xfycDx电z出ycBx日yczacDyyJ比x正z=d07（m/s）p.150_vp_4.241078二2二一=2二1.5108（rad/s）1.78由题可知，心苔泊令,由麦克斯韦方程噜有:二2才:3.54（rad/m）1.51084.24107空.:tax；:xEx(z)ayy0azzz.0二一ay；:E二ayj20-ej(t-z)故有t空出二二2tayj20d07(S/m)包裹该室。若要

49、求屏蔽的频率是10kHz100MHz,铜皮的厚度应是多少。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz 时所对应的厚度。因为趋肤深度21、=0.00066(m)二：二所以，铜皮白最小厚度h=55=0.0033(m)。例 6.7 如果要求电子仪器的铝外壳(。=3.54x107(S/m),匕=1)至少为 5 个趋肤深度，为防止 20kHz200MHz 的无线电干扰，铝外壳应取多厚。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽20kHz 时所对应的厚度因为铝壳为 5 个趋肤深度，故铝壳的厚度应为h=55。=0.003(m)例 6.8 已知平面波的电场强度E=同(2j3)ay4az3)ej(1.8y-(V/m)试确定其传播方向和极化状态，并判断它是否为横电磁波。丁akE=0,即E的所有分量均与其传播方向垂直，所以此波为横电磁波。又因为上式中两个分量的振幅并不相