数学极限的求法

1、数学极限的求法常见：夹逼准则，无穷小量的性质，两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则，中值定理，定积分，泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如xsinxtanxarcsinxarctanxln(1x)eixx1sinxx,tanxx,arcsinxx,1cosx1x2,(1x)a23-x8=81ax,nxxn当上面每个函数中的自变量x换成 g(x)时(g(x)0),仍有上面的等价关系4.xlimx0/.x3(sin)4,.xlimX0 x3(sin-)243xx2:利用极限的四则运算性质求极限进行恒等变形

2、， 例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式;化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和(或积)为有限项。例；求极限成立，例如：当x0时,3x3xe3x；ln(1x2)例：求limx04,.xlimx0令2分子分母有理x212T2T2xx111一1xn-LL-limx(4)已知1223(nDn求门.x21(x1)(x1).x12lim-2lim;rlim2解(1)x12x2x1=x1(x1)(2x1)=x12x1=3lim(，D_2)(=K2)limx_1x3(x3)(.1x2)=x3(x3)(1x2)=4lim(3)x1x1lim/2lim/ /：? ?2 2 limx1x1=x1(x1)(xx1

3、)=x1x2x1=-1.1111111-2233443:利用两个重要极限公式求极限例：求下列函数的极限4limlimcoscos-xcosLLn0n2limx3x3lim(1)x0sinxlimxgsin11lim(1(2)x1)xx1x)lim(2)因为xn1(n1)n所以limxnn1lim(1)1xcos2n22i(3)lim(xax户，(a0,a1)x0 xxx,xcos-cosFcosLLcosH-222232n一一 x_x_x,sinxcos-coscosL22223sinxxxxxlimcos-cos)cosFLLcosn2222(3)4.limnsin2nsinlimn2n_s

4、inxlim2nsin 二nOxxcoscos和222cos-x-L23sinx二 x,xLcos2nsinxx=12lim(1、)mlim(1mm=mxim0a(1alim(1x0 xa-xxxa)xx)xaxlimx0利用两个准则求极限。火逼准则m22g(nn22)gmmaim(1xaxx)xa1aeae.lim(1mm229(nn2)m若一正整数N,当nN时，有xnyn2n且lim(1m2n-m2)一 x.一cossin2nx2nlimza,limvnax则有xn利用夹逼准则求极限关键在于从 Xn的表达式中， 通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列力和zn,使得“xnZnx1

5、11例1.nJn21Jn22Jn2n，求xn的极限解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项.n.n.limlim1,x2x2A又因为nn-n1limxn1x(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限证明：从这个数列构造来看yn显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为 V2a3aY2,LL,Yn0求f(x)在x=0的左右极限解:limx01xsin 一x=1limx0_1xsin 一x=1limx0f(x)limf(x)1x01m f(x)1limf(g(x)xx0f(g(%)f(limg(x)li极

6、限号x吗0可以与符号f互换顺序。lim例：求xln(1解：令y=lnuu,则(1)x一.u。因为1nu在点limln(1lxe处连续limln(1所以 X1)xx可以处理一个有界函数和无穷小的乘积是无穷小类的问题。例 lim(x)xxx1lim例：求xsinxx解：因为sinx1lim0 xx所以sinxlimxx=09:换元法求极限:当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例：3xlim-1xlnx解：令 t则1nxln(t1)lim1lim-limt01ln(t1)xlnx01n(t1)二1例I1取lim(m,nx11mxN).解（变量替换法）mn

7、x,则当1时, t1t1.于是,1tmtnym(1t)(1tt2(1t)(1tt2tm1)tn1)解（变量替换法）.xt,x,tt2原式 lim(吗一tt21，lim(tt1六)t11tim(1-)(110:利用中值定理求极限:1:微分中值定理：若函数f(x)满足(i)在a，b连续.(ii)在(a,b)可导则在(a,b)内至少存在一点，使ff(a)(ba)f()，或)解:sinx(sinxx)cos(xsinx)xsin(sinx)3x(sinxx)cos(xsinx)xlim3=x0 x3cosx1cos0lim2-=x03xsinxlim=x06xlimsixn(10)=n4例2lim:求

8、x0sin(sinx)sinxf(b)f(a)basin(sinx)sinx2:积分中值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续;g(x)在a,b上不变号且可积，则在a,b上至少有一点b使得af(x)g(x)f()bag(x)dx例:nlim4sinnxdx求n0解:啊04sinnxdxlim(sin)n=4n11：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么f(0)f/(0)xRn(X)R(x)f1)xn1(n1)!cosxlim4x0 x(x2e2其中在0与1之间)cosx解：泰勒展开式2x2!4x4!0(x4)x2212!40(x)x2.一2于是 co

9、sx-e1一 x120(x4)x22cosxelim4所以x0 x4lim=x014-x124x0(x4)11212:利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在 X。附近有定义,Vx,则 Vyf(x。Vx)f(x。)limVylim如果Vx0VxVx0f(xoVx)f(x。)Vx存在，则此极限值就称函数f(x)在点 X0的导数，记为f/(x0).即f,(x0)Vxm0f(x。Vx)f(x。)Vx在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点x0的导数。lim(x)ctg2x解：取f(x)=tg2x.则lim(x万)x2ctg2x1tg2xlimx2xtg2

10、xtg(2-)lim2-x2x2f(x)f(-)lim-f,(a)2一、(2sec2x)x13:利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间a，b上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限。lim例：求n2/2.n1nn222n772n(n1)1解：由于nn22n(n1)2121Un1可取函数f(x)=1x2区间为0,1.1,f(x)2上述和式恰好是 1x2在011上n等分的积分和。lim所以LLn212n222nn2(n1)2121Un14：利用级数收敛的必要条件求极限n方法首先判定级数n1收敛，然后求出它的通项的极限l

11、imnn例：2求n.nlim2n由必要条件知n!n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限.=01dxxlim二n利用级数收敛的必要条件：若级数n1收敛，则运用这个nn2n!an解：设nn2n!limn则an1limannn1(n1)(n1)!2n!nnlimn(11)nn=00,0,存在()0,0,当 00 ()时，对。的任意取值，恒有f(x0cos,y0sin)A，则 f(x,y)f(x,y)的极限为 A A/22、例：求 limxy(xy(xy)xy)(x,y)(0,0)x2y2解：令 xcos,ysinf(cos2-/22、cossin(cossin)r-2_2sin12o112一cos2sin2sin424对任意的 0,()2yT,当 0()时有f(cossin)-012sin44故(x,J)1m(0