圆锥曲线易错题小结

1、圆锥曲线易错题小结1求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为。（2，1）在直线上， 又，即ab = 8 ， 由、得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。2求过点A（-4，2）且与x轴的交

2、点到（1，0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为y 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-，0），解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y 6 = 0 。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。3求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y 2 = 0。剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。4已知圆的方

3、程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。其圆心坐标为C（，1），半径r 。当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 r 。即 。即a2 + a + 9 0，解得aR。剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 r ，即a2 + a + 9 0，却忽视了a的另一制约条件4 3 a2 0。事实上，由a2 + a + 9 0及4 3 a2 0可得a的取值范围是（）。

4、变式、过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是A k>2 B -3<k<2 C k<-3或k>2 D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑5、在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（）A一条直线和一个圆 B一条线段和一个圆 C一条直线和半个圆 D一条线段和半个圆正确答案：D错因：忽视定义取值。6已知直线L：y = x + b与曲线C：y =有两个公共点，求实线b的取值范围。错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 1 = 0。 （ * ） L与曲线C有两个公共点， = 4b2 8 ( b2 1 ) > 0，解得

5、b剖析：上述解法忽视了方程y =中y 0 ， 1 x 1这一限制条件，得出了错误的结论。事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。解得1 b 。7等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：=，即：= （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成

6、的解题错误。事实上，C点的坐标须满足，且，故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y1)。它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。8已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：，即为 所以圆O2的圆心为,半径, 而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且，所以 即，化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。 且,点M的轨迹为双曲线右支，方

7、程为9、圆x2 + 2x + y2 + 4y 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于的点共有（ ）A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为，导致错选（ D ）。 事实上，已知圆的方程为：（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆，圆的圆心到直线x + y + 1 = 0的距离为d=，这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为的平行直线即可。如图2所

8、示，图中三个点A、B、C为所求，故应选（C）。10已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点 （1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程的两实根，满足解答：（1）设 因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 则代入（1） 得 故点的方程是一条射线。 （2）设 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的两根满足 故。易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。11已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3

9、）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由得：，故（2）设点，则又双曲线的定义得 又 或 点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或除去点 图略。（3）联列：消去得 整理得： 当时 得 从图可知：， 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。12、已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsinycos=1表示（ ）A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆正确答案：D

10、 错因：学生不能由sin+cos=判断角为钝角。13、已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是 （ ）A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。14，椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。 错解 设所求椭圆方程为 因为，所以a=2b 于是椭圆方程为 设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d, 则： 所以当时，有 所以所求椭圆方程为 剖析 由椭圆方程得 由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类， 其正解应

11、对f(y)=的最值情况进行讨论： （1）当，即时 =7,方程为 （2）当, 即时， ，与矛盾。 综上所述，所求椭圆方程为15已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A、B两点坐标分别为、 因为， 所以， 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以 即，同理 所以 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得 所以 代入(1)式得 所以，所以|有最小值3,无最大值。 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有 所以有最小值为 3，最大值为25/416、双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，

12、则点P到点()的距离_。 错解 设双曲线的两个焦点分别为, 由双曲线定义知 所以或 剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求17、过双曲线x2的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有_条。错解：2错因：设代入椭圆的方程算出有两条，当不存在，即直线AB轴时，AB4，忽视此种情况。正解：318、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的弦AB，则的周长为 。 答案：设其中，所以，将弦AB的方程代入双曲线方程，整理得，可求得，故答案为 错解：10 错因：作图错误，没有考虑倾斜角为的直线与渐近线的关系，而误将直线作成与右支有两交点。19已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述